蔡夢(mèng)洋

【摘要】直線與方程是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休.”數(shù)形結(jié)合思想正好可以降低思維難度，提供簡(jiǎn)捷的解題途徑.因此，就教科書編寫而言，如何將幾何與代數(shù)很好地融合在一起，如何處理數(shù)形結(jié)合的系統(tǒng)性與學(xué)生的認(rèn)知水平之間的關(guān)系，是普遍受關(guān)注的話題.對(duì)此，本文就日本東京書籍株式會(huì)社2009年出版的日本教科書《新數(shù)學(xué)Ⅱ》[1]（以下簡(jiǎn)稱《新數(shù)學(xué)》）中的第二章中的第二節(jié)為“直線與方程”和我國(guó)人民教育出版社2009年出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》[2]（以下簡(jiǎn)稱《數(shù)學(xué)》）中的一些內(nèi)容進(jìn)行比較，希望對(duì)我國(guó)高中數(shù)學(xué)教科書“直線與方程”部分的編寫與學(xué)習(xí)提供借鑒.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);直線;方程

一、內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，教科書應(yīng)更注重基礎(chǔ)

《數(shù)學(xué)》在初中的平面直角坐標(biāo)系和方程的相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，直接引入直線與方程和圓的方程的知識(shí).分節(jié)討論直線的傾斜角與斜率、直線的方程、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離和圓的方程.教科書中本部分主要內(nèi)容是如何用代數(shù)方法研究直線.本部分內(nèi)容首先探求確定直線位置的幾何要素，然后給出不同確定直線方程和圓的方程的方法.再是用代數(shù)方法研究有關(guān)的幾何問(wèn)題：判定兩直線的位置關(guān)系、圓與直線的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離等.在《新數(shù)學(xué)》中，關(guān)于坐標(biāo)與直線的方程式，以及與圓的方程的關(guān)系的介紹設(shè)置在一章中，首先引入直線和平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)間的距離、線段的內(nèi)分、內(nèi)分點(diǎn)的坐標(biāo)四個(gè)方面的相關(guān)內(nèi)容，然后再深入由斜率和直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)求直線方程式，學(xué)習(xí)直線之間的位置關(guān)系，最后再進(jìn)一步引入圓的表達(dá)式及求解方法，研究圓與直線之間的位置關(guān)系.在內(nèi)容布置上，這一章從一維直線入手，再深入到二維平面，引入一系列相關(guān)的概念，一步步地深入，使得引出直線與方程和圓的方程的知識(shí)相對(duì)而言更容易被學(xué)生接受，使學(xué)生能進(jìn)一步理解直線與方程之間本質(zhì)的聯(lián)系.

相比之下，《新數(shù)學(xué)》中的“直線與方程”內(nèi)容基于初中所學(xué)的直線的一般式對(duì)不同類型的直線的方程的題目進(jìn)行求解，并沒(méi)有給出《數(shù)學(xué)》中涉及的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式的一般形式.這樣的安排更加注重基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，更容易被學(xué)生所理解.這在一定程度上降低了教科書的難度.

二、內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，教科書應(yīng)更注重基礎(chǔ)

通過(guò)前面知識(shí)結(jié)構(gòu)比較，我們發(fā)現(xiàn)兩本書在知識(shí)點(diǎn)的涉及上沒(méi)有較大的區(qū)別，但在知識(shí)點(diǎn)的引入先后順序上有一定的差異，并且在知識(shí)點(diǎn)的介紹方式上也各有特點(diǎn).

我們通過(guò)對(duì)其中兩條直線交點(diǎn)的求法來(lái)展現(xiàn)兩本書的異同點(diǎn).《數(shù)學(xué)》：在第三節(jié)中由思考題引出如何求兩條直線的交點(diǎn)這個(gè)問(wèn)題.通過(guò)建立幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，用代數(shù)方法求出兩條直線的交點(diǎn)，寫出兩條直線的方程A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0，聯(lián)立求解，若方程有唯一解，則兩直線相交，此解就是交點(diǎn);若方程無(wú)解，則兩直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行.《新數(shù)學(xué)》：給出命題“平面上兩直線不平行即相交”，聯(lián)立方程求解，此解即為兩直線的交點(diǎn)，隨后通過(guò)一個(gè)具體例題進(jìn)行演示.

《數(shù)學(xué)》中將直線與方程式的相關(guān)內(nèi)容分階段提出，與學(xué)生在不同年齡的認(rèn)知水平相適應(yīng)，有利于學(xué)生更好地吸收知識(shí)，而且內(nèi)容起到前后呼應(yīng)的作用.而《新數(shù)學(xué)》則在第五章中集中提出，且內(nèi)容比較簡(jiǎn)單.與《數(shù)學(xué)》相比，《新數(shù)學(xué)》中的各個(gè)定理缺乏證明過(guò)程，欠缺嚴(yán)謹(jǐn)性.《數(shù)學(xué)》中對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行了一般情況下的推廣，有利于學(xué)生課后的思考以及思維的拓展.在這幾點(diǎn)上，值得《新數(shù)學(xué)》借鑒.

三、例題設(shè)置上，教科書應(yīng)更注重歸納思想

《數(shù)學(xué)》在“直線的方程”的例題上主要以計(jì)算為主，通過(guò)6個(gè)例題來(lái)鞏固四種形式的直線方程式的求解;《新數(shù)學(xué)》則通過(guò)3個(gè)計(jì)算的例題，在初中已學(xué)的一般式基礎(chǔ)上分別推導(dǎo)斜截式、點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式的方程，給定以上的形式計(jì)算斜率和截距.《新數(shù)學(xué)》對(duì)例題求解的要求則是從斜截式出來(lái)推導(dǎo)其他形式的直線方程，而《數(shù)學(xué)》對(duì)例題的解決則是基于四種形式的直線方程的公式.

《數(shù)學(xué)》在“直線的關(guān)系”的6個(gè)例題由4個(gè)計(jì)算和2個(gè)應(yīng)用題組成，通過(guò)計(jì)算交點(diǎn)和直線的位置關(guān)系來(lái)鞏固這部分知識(shí);《新數(shù)學(xué)》則更加有針對(duì)性地設(shè)計(jì)3個(gè)例子，分別為由兩直線求交點(diǎn)坐標(biāo)、求過(guò)一點(diǎn)與某直線平行以及過(guò)一點(diǎn)與某直線垂直的直線方程.《新數(shù)學(xué)》設(shè)置的例題更加基礎(chǔ)，更加有針對(duì)性，使學(xué)生在初次接觸新知識(shí)點(diǎn)時(shí)更易接受.

《新數(shù)學(xué)》在例題設(shè)置上將歸納思想體現(xiàn)得淋漓盡致，在直線的方程式、直線間的關(guān)系上均由例子引出結(jié)論，再由例題鞏固結(jié)論.例如，在引入直線間的關(guān)系的時(shí)候，教科書利用具體直線的圖像讓學(xué)生觀察分別得到平行與垂直時(shí)，直線的斜率之間的關(guān)系.再由歸納的方法過(guò)渡到一般直線的位置關(guān)系的判定原理.《數(shù)學(xué)》則更加注重演繹的方式，在直線的方程這一章均由演繹得到結(jié)論，再由習(xí)題對(duì)結(jié)論進(jìn)行應(yīng)用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]飯高茂，松本幸夫.新數(shù)學(xué)II[M].日本東京：東京書籍株式會(huì)社，2009.

[2]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.數(shù)學(xué)（必修2）.北京：人民教育出版社，2009.

[3]朱哲.日本教科書中的勾股定理[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2008（12）：37-40.

[4]田月思，王麗燕，駱旭蘭，朱哲.中日數(shù)學(xué)教科書中“平方根”內(nèi)容比較[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（初中），2009（8）：34-36.