王修禮

【摘要】不采用x作為自變量而采用間接參數(shù)t作插值函數(shù)，計(jì)算型值點(diǎn)權(quán)重，得到一種新的插值方法，WXL插值樣條，由連續(xù)4個(gè)型值點(diǎn)得出中間一段唯一的插值結(jié)果，型值點(diǎn)不受單調(diào)增加限制，插值通過(guò)給定型值點(diǎn)且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，平面上4個(gè)型值點(diǎn)循環(huán)插值可以得到一光滑橢圓形曲線，在水輪機(jī)等效率曲線繪制使用得到比較理想的效果.

【關(guān)鍵詞】分段插值;通過(guò)型值點(diǎn); 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);新插值樣條;光滑連續(xù)曲線;繪制特性曲線

引 言

在水輪機(jī)能量性能試驗(yàn)中，要通過(guò)計(jì)算機(jī)自動(dòng)繪制出等效率曲線及其他性能曲線.通過(guò)試驗(yàn)可以得到一系列等效率點(diǎn)數(shù)據(jù)，繪成曲線有的是開(kāi)放的有的是閉合的.對(duì)于繪制閉合曲線的基本要求是：

1.插值點(diǎn)通過(guò)所有給定的型值點(diǎn)，在型值點(diǎn)處不產(chǎn)生誤差;

2.型值點(diǎn)不受單調(diào)增減的限制，可以形成閉合曲線;

3.一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，保證曲線的光滑性.

4.曲線的凹凸性符合型值點(diǎn)趨向.

在插值計(jì)算中，有多種方法，如多項(xiàng)式插值、Hermite插值、樣條插值、有理B樣條插值等，都采用x作為自變量進(jìn)行計(jì)算，采用函數(shù)就會(huì)遇到自變量x單調(diào)增加或單調(diào)減少的限制，有時(shí)不得不采用分段進(jìn)行插值.現(xiàn)在常用的Hermite 三次樣條可以進(jìn)行開(kāi)放曲線的插值，但受到單調(diào)增減的限制;有理B樣條插值，可以得到光滑的曲線，但不是每個(gè)型值點(diǎn)都通過(guò).有許多文獻(xiàn)介紹了不同的插值方法，但得到的曲線形狀都不是太理想.基于以上要求和現(xiàn)行的插值方法，希望從不同的角度找出一種新插值方法，以滿足要求，且不需要太大的計(jì)算量.

一、新插值樣條——WXL插值樣條

1.采用樣條進(jìn)行插值，且自變量不是x，而是采用間接變量t，[0≤t≤1]，給出t的插值函數(shù)，對(duì)插值點(diǎn)的x 和y分別計(jì)算出各型值點(diǎn)的x和y的權(quán)重，得到所插點(diǎn)的x和y值.

2.給定4個(gè)連續(xù)型值點(diǎn)，確定中間一段插值，該段插值與其他點(diǎn)無(wú)關(guān).

3.滿足引言中提到的4項(xiàng)基本要求.

通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間（從1996年開(kāi)始考慮）的探討和改進(jìn)，終于找到了一種間接插值函數(shù).

給定點(diǎn)： P（i）=[X（i），Y（i）]，i=1，2，3，….

插值點(diǎn)：SP（i）=[SX（i），SY（i）]，i=1，2，3，…，S.

SX（i）為點(diǎn)P（i+1）到點(diǎn)P（i+2）之間的X插值.

SY（i）為點(diǎn)P（i+1）到點(diǎn)P（i+2）之間的Y插值.

插值函數(shù)表達(dá)式為：

SX（i）=∑i=4i=1Ri* X（i），i=1，2，3，4.（1）

SY（i）=∑i=4i=1Ri* Y（i），i=1，2，3，4.（2）

其中Ri為插值因子函數(shù)，是WXL插值樣條的關(guān)鍵.

Ri=fi（t），i=1，2，3，4.

對(duì)于X和Y都采用相同的插值fi（t）.

具體的插值函數(shù)fi（t）的表達(dá)式暫不列出.給出Ri隨t的變化規(guī)律見(jiàn)圖1.

圖1 Ri/Rimax隨T的變化規(guī)律

二、WXL插值樣條的使用

給定M個(gè)型值點(diǎn)P（i）后，用WXL插值樣條進(jìn)行插值計(jì)算時(shí)，由于是每4個(gè)型值點(diǎn)確定中間一段插值，插值段數(shù)比給定的型值點(diǎn)數(shù)少兩個(gè)，還需求補(bǔ)充兩個(gè)邊界條件才能完成整個(gè)曲線插值.遇到的兩種情況，采用不同的處理方法.

1.給出的型值點(diǎn)要求完成的插值曲線是開(kāi)放式的.將給定的M個(gè)型值點(diǎn)的第一個(gè)和最后一個(gè)進(jìn)行雙重處理，得到（M+2）個(gè)型值點(diǎn)，進(jìn)行插值后得到M段插值，完成整個(gè)插值曲線.

即：給定的型值點(diǎn)為：

P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，…，P[X（i），Y（i）]，…，P[X（M），Y（M）]，共M個(gè)點(diǎn).經(jīng)以上處理后變?yōu)椋?/p>

P[X（0），Y（0）]，P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，…，P[X（i），Y（i）]，…，P [X（M），Y（M）]，P [X（M），Y（M）]，共（M+2）個(gè)點(diǎn).

3.給出的型值點(diǎn)要求完成的插值曲線是閉合式的.在給定的M個(gè)型值點(diǎn)的第一個(gè)之前加進(jìn)最后一個(gè)型值點(diǎn);在最后一個(gè)之后加進(jìn)第一個(gè)型值點(diǎn)，得到（M+2）個(gè)型值點(diǎn)，進(jìn)行插值后得到M段插值的閉合曲線.給定的型值點(diǎn)為：

P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，… P[X（i），Y（i）]，…

P[X（M），Y（M）].共M個(gè)點(diǎn).經(jīng)處理后變?yōu)椋?/p>

P [X（M），Y（M）]，P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，… P[X（i），Y（i）]，… P [X（M），Y（M）]，P[X（0），Y（0）].共（M+2）個(gè)點(diǎn).

三、WXL插值樣條的性質(zhì)

1.連續(xù)性

插值因子函數(shù)Ri=fi（t），i=1，2，3，4，為連續(xù)函數(shù)，改變間接變量t的步長(zhǎng)可以得到所需要的插值點(diǎn)數(shù).

2.過(guò)型值點(diǎn)

從插值因子值表1可以得出，在某一插值段插值結(jié)束時(shí)，即t=1時(shí)，R3=1，其他因子值均為0，插值為該段第三點(diǎn)的值;而在隨后的插值段值插開(kāi)始時(shí)，即t=0時(shí)，R2=1，其他因子值均為0，插值為第二點(diǎn)的值，也就是上段第三點(diǎn)的值，插值通過(guò)該點(diǎn).

3.唯一性

4個(gè)型值點(diǎn)確定唯一一段（中間兩點(diǎn)之間）插值，無(wú)論插如多少點(diǎn)，曲線形狀不變.

4.很強(qiáng)的外凸性

通過(guò)插值的圖形可以看出圖形有很強(qiáng)的外凸性，這對(duì)單調(diào)曲線插值不利，但在作逼近（用梯形面代替積分）計(jì)算時(shí)有利.

5.權(quán) 性

滿足∑i=4i=1Ri=1.

圖2顯示的是平面上4點(diǎn)，P1（4，3），P2（-4，3），P3（-4，-3），P4（4，-3），通過(guò)插值（插入9個(gè)點(diǎn)，本文所有插圖都是按9個(gè)點(diǎn)插值給出）計(jì)算后的橢圓圖形.

圖2 4個(gè)型值點(diǎn)插值后的橢圓圖形

6.一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

分別對(duì)函數(shù)表達(dá)式（1）和（2）對(duì)自變量t進(jìn)行求導(dǎo)，即分別對(duì)插值因子函數(shù)Ri對(duì)t進(jìn)行求導(dǎo)，得到一階導(dǎo)數(shù)：

y′=∑i=4i=1 SY′ （i）t/ ∑i=4i=1SX′ （i）t，i=1，2，3，4，….（3）

表2給出根據(jù)插值因子函數(shù)fi（t）的一階導(dǎo)數(shù)計(jì)算出的導(dǎo)數(shù)插值因子（每段插值3個(gè)點(diǎn)，t的步長(zhǎng)為0.25，保留4位小數(shù)）.

通過(guò)計(jì)算可得，在某一插值段插值結(jié)束時(shí)，即t=1時(shí)，左導(dǎo)數(shù)與隨后的插值段值插開(kāi)始時(shí)，即t=0時(shí)，右導(dǎo)數(shù)相等，斜率值為該點(diǎn)的前后兩點(diǎn)的y增量與x增量之比.這個(gè)導(dǎo)數(shù)值是插值方法所希望得到的值.

7.插值不越界

計(jì)算可得，結(jié)合在型值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，可得由P1（-8，-4），P2（-6，0），P3（2，1），P4（4，-2）所確定的插值P2到P3段，插值點(diǎn)都處于過(guò)P2點(diǎn)的直線（斜率與P1和P3連線相同）與過(guò)P3點(diǎn)的直線（斜率與P2和P4連線相同）相交點(diǎn)及P2，P3點(diǎn)所形成的區(qū)域內(nèi).見(jiàn)圖3.該性質(zhì)保證插值結(jié)果的穩(wěn)定性，不會(huì)造成插值超差.

圖3 插值點(diǎn)在固定區(qū)域內(nèi)

8.與插值方向無(wú)關(guān)

給定一系列的型值點(diǎn)，從開(kāi)始到結(jié)尾插值或從結(jié)尾到開(kāi)始點(diǎn)插值，得到的結(jié)果完全相同，得到的是唯一的一條插值曲線.

9.二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)

仿照一階導(dǎo)數(shù)的方法求出二階導(dǎo)數(shù)的插值函數(shù)，計(jì)算出二階導(dǎo)數(shù)值，在型值點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)不同，即二階導(dǎo)數(shù)在型值點(diǎn)處不連續(xù).中間插值二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的.

10.幾何不變性

平移或旋轉(zhuǎn)型值點(diǎn)后，得到的圖形形狀不變，與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān).

圖4顯示平面4點(diǎn)，P1（-5，-3），P2（0，6），P3（5，3），P4（0，0），經(jīng)過(guò)45°旋轉(zhuǎn)后再平移10，前后形狀對(duì)比，圖形本身形狀不變.

圖4 圖形幾何形狀保持不變

11.直線保持性

給定的4個(gè)型值點(diǎn)共線，插值段也保持共線.

12.多維插值性

由于是通過(guò)間接變量t進(jìn)行計(jì)算，可以同時(shí)對(duì)多維參數(shù)進(jìn)行插值.例如在水輪機(jī)模型試驗(yàn)中，同一工況點(diǎn)有單位轉(zhuǎn)速、單位流量、單位功率、效率等多個(gè)參數(shù)，要求出在某一效率下的其他參數(shù)值，只要把該效率值所對(duì)應(yīng)的某插值段的t值求出，就可以按該t值計(jì)算出其他所有參數(shù)的對(duì)應(yīng)值，不用像以往分別進(jìn)行效率對(duì)各個(gè)參數(shù)的插值計(jì)算.

四、插值結(jié)果圖形分析

1.平面4點(diǎn)循環(huán)插值圖形與橢圓線的比較

（1）圖2中所得到的插值點(diǎn)與對(duì)應(yīng)橢圓公式（x2/5.5872）2+y2/（4.2426）2=1）的計(jì)算點(diǎn)完全相同，并保持橢圓長(zhǎng)短軸的坐標(biāo)方向相同.

（2）計(jì)算各點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)與根據(jù)橢圓公式求導(dǎo)所得的導(dǎo)數(shù)值也完全相同.

（3）但是若增加型值點(diǎn)數(shù)（在橢圓線上的點(diǎn)），得出的插值點(diǎn)值和一階導(dǎo)數(shù)值就不完全與公司計(jì)算的相同了，在t=0.5時(shí)偏差最大.圖5 顯示在半個(gè)橢圓上4個(gè)型值點(diǎn)插值后的曲線與橢圓線的對(duì)比.

圖5 半橢圓插值（4點(diǎn)）與橢圓線比較

2.與Hermite 三次樣條比較

Hermite三次樣條在現(xiàn)行的插值領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛的使用，但使用中受到一些限制.

（1）Hermite三次樣條每段都是一元三次函數(shù)，型值點(diǎn)必須是單調(diào)增減（或減少），否則計(jì)算出錯(cuò)，遇到型值點(diǎn)返回時(shí)，只能采用分段進(jìn).

（2）行，這樣在分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)就不連續(xù)了.而WXL插值樣條是采用間接變量t作自變量，分別對(duì)x，y進(jìn)行計(jì)算，型值點(diǎn)可以任意增減.

（3）Hermite三次樣條在給定的型值點(diǎn)較多時(shí)，計(jì)算量很大，但現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的發(fā)展，這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)不困難了.而WXL插值樣條計(jì)算量很小，每4個(gè)點(diǎn)確定一段插值，計(jì)算量不隨型值點(diǎn)的增加而增加.

（4）在型值點(diǎn)出Hermite三次樣條二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而WXL插值樣條不連續(xù)，但有很強(qiáng)的外凸性.

（5）Hermite三次樣條有時(shí)會(huì)產(chǎn)生插值越界現(xiàn)象，這對(duì)插值計(jì)算和不利，越界現(xiàn)象出現(xiàn)的規(guī)律還不好掌握，而WXL插值樣條沒(méi)有越界現(xiàn)象，插值穩(wěn)定，是比較理想的.

3.與有理B樣條比較

在AUTOCAD和Excel中都采用有理B樣條，通過(guò)控制偏差進(jìn)行逼近和擬合，優(yōu)點(diǎn)是曲線光滑，不受型值點(diǎn)單調(diào)增減限制，不會(huì)產(chǎn)生插值越界現(xiàn)象，缺點(diǎn)是除開(kāi)始和結(jié)尾兩點(diǎn)外其他點(diǎn)有微小偏差，在中間的插值偏小.取單位圓上的4個(gè)坐標(biāo)軸點(diǎn)，分別用AUTOCAD的“Spline”擬合和用WXL插值樣條插值，兩者比較可以看出，WXL插值樣條與單位圓完全重合，“Spline”擬合的曲線在兩點(diǎn)中間產(chǎn)生偏差，其值與圓的半徑之比為0.0173.圖6表示對(duì)比結(jié)果.

圖6 “Spline”擬合線與WXL插值樣條線

五、繪制水輪機(jī)等效率曲線

在水輪機(jī)模型試驗(yàn)中，等效率曲線是很重要的，等效率線的繪制是將某一等效率值下的一系列工況點(diǎn)（即對(duì)應(yīng)各個(gè)導(dǎo)葉開(kāi)度下的單位流量和單位轉(zhuǎn)速值）光滑連成曲線.效率的綜合誤差一般為0.25%，等效率線擬合時(shí)方法不當(dāng)，造成的偏差有時(shí)會(huì)大于綜合誤差.現(xiàn)大多采用Hermite三次樣條分段進(jìn)行，得到的結(jié)果不是非常理想.圖7是某混流式轉(zhuǎn)輪用現(xiàn)行方法繪制的等效率曲線.

圖7 一混流式轉(zhuǎn)輪等效率曲線

采用WXL樣條對(duì)中心三條等效率線進(jìn)行插值，得到結(jié)果見(jiàn)圖8.

圖8 WXL樣條等效率線

從插值曲線結(jié)果可以看出，在每段的插值點(diǎn)都有外凸的趨向，使得曲線不是很光滑，但總體效果還是比較理想的.

六、在其他領(lǐng)域的使用

由于WXL插值樣條不受型值點(diǎn)走向的限制，曲線光滑連續(xù)，在繪制地圖等高線、計(jì)算機(jī)圖形仿真、斷面近似逼近計(jì)算等都可以采用，相信可以得到比較理想的結(jié)果.

七、結(jié) 語(yǔ)

采用間接變量計(jì)算4點(diǎn)權(quán)重進(jìn)行插值計(jì)算的WXL插值樣條，不受型值點(diǎn)單調(diào)增減的限制，具有良好的光滑連續(xù)等優(yōu)良特性，在水輪機(jī)綜合特性曲線繪制使用效果理想，可以在許多需要插值計(jì)算領(lǐng)域推廣采用.

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