郭柏壽

【摘要】在初等數學書刊中，有關拋物線開口的比較都是定性化的描述，即：拋物線解析式二次項系數絕對值越大，開口越小;反之，開口越大.對于拋物線開口大小的量化問題尚未見報道，也就是當解析式給定后，如何判斷一條拋物線開口是另一條的幾倍或幾分之幾，或者如何判定兩條拋物線在幾何形狀上全等？基于這些問題，提出拋物線開度的定義，推導出拋物線開度的計算公式;舉例說明這一新的概念在與拋物線有關的問題求解中的具體應用.建議在今后的初等數學書刊編輯中引入該概念，以加深學生對拋物線性質的理解.

【關鍵詞】拋物線;開度;計算公式;應用

初等數學中函數及其圖像的理解對學生而言比較抽象，尤其涉及函數y=ax2+bx+c時，都知道其圖像為拋物線，然而當a，b，c變化時，函數的圖像如何變化？對于形如y=kx+b的函數，可以說拋開直線的函數表達形式，單純就其歐幾里得幾何形狀而言，直線只有一種，即平面或空間內不同位置的直線經過平移或旋轉后均可重合.然而針對拋物線能這么判斷嗎？拋物線重合或就其幾何性狀來講全等的條件是什么？怎樣量化一條拋物線開口大小是另一條的幾倍或幾分之幾？在初等數學教材及著作中，對于y=ax2這樣的函數僅表明：當|a|越大時其圖像開口越小，|a|越小時開口越大. 可見，目前對拋物線開口大小仍處于描述或定性表述階段.那么拋物線開口大小如何定量表述呢？怎么證明當|a|相等時，兩條拋物線單純就其幾何形狀而言一模一樣（即可以重合到一起或簡稱全等）？

鑒于以上問題，特引入拋物線開度的定義，并推導出開度的計算公式，最后簡要說明這一新的概念引入后的具體應用.建議在今后初等數學書刊編輯中對該定義給予推廣和應用.

一、拋物線開度的定義

如果要比較兩條拋物線開口的大小，唯一的方法就是讓其頂點和對稱軸分別重合，開口朝向同一方向，然后從對稱軸上任取一點，過該點作垂直于拋物線對稱軸的直線，分別與兩條拋物線交于兩點，比較這條直線被兩條拋物線截得的線段長度，開口的大小便可一目了然（圖1），當截得的線段相等時，兩條拋物線必然一模一樣.

圖1 拋物線開口大小比較的思路

故得衡量拋物線開口大小的“拋物線開度”定義如下：對于解析式為y=ax2+bx+c的拋物線，在其對稱軸上任取一點T，過T作對稱軸的垂線，與拋物線交于兩點A和B，設拋物線的頂點為M（圖2），則將|AB|2|TM|稱之為拋物線的開度，并以σ表示，即σ=|AB|2|TM|.

二、拋物線開度公式的推導

如圖2，作y=ax2+bx+c的圖像，顯然其對稱軸方程為x=-b2a，則頂點M的坐標為-b2a，-b2-4ac4a，過T點垂直于對稱軸的直線必然平行于x軸，T的坐標為（-b2a，t），則該垂線解析式為y=t，它與拋物線兩個交點分別為A（x1，t）和B（x2，t），可知x1和x2是方程ax2+bx+c=t的兩個解.

圖2 拋物線開度定義圖示

即：x1=-b-b2-4a（c-t）2a，

x2=-b+b2-4a（c-t）2a，

|AB|=|x2-x1|=-b+b2-4a（c-t）2a-

-b-b2-4a（c-t）2a=b2-4a（c-t）a，

|TM|=t-（-b2-4ac4a）=b2-4a（c-t）4a，

故可知σ=|AB|2|TM|=b2-4a（c-t）a2b2-4a（c-t）4a=4|a|.

可見：拋物線的開度與所選T點沒有任何關系，只與解析式二次項的系數有關，而且當二次項系數一定時，其開度為定值;如果σ相等，那么兩條拋物線幾何形狀相同，亦即可以相互重合或稱作全等.

三、拋物線開度的應用

1.比較任意兩條拋物線開口的大小

對于任意的兩條拋物線而言，比如：A1x2+B1x+C1y+D1=0和A2x2+B2x+C2y+D2=0 （A1，A2，C1，C2均不等于0），要比較它們開口大小，首先將其一般式分別變形如下：

y=-A1C1x2-B1C1x-D1C1，①

y=-A2C2x2-B2C2x-D2C2.②

可知方程①和②的二次項的系數分別為：-A1C1和-A2C2.

由上節(jié)推導的拋物線開度公式得：

σ1=4C1A1;σ2=4C2A2

比較σ1和σ2的大小，便知兩條拋物線開口的大小.

2.在與拋物線有關的解析幾何問題求解中的應用

例題：已知拋物線y=ax2+bx-c與x軸交于兩點A（x1，0），B（x2，0），且x21+ x22=269，又知另一條拋物線y=3（x-1）2，問后一條拋物線向上平移幾個坐標單位能和y=ax2+bx-c的圖像重合？

解 將y=-3（x-1）2的右邊展開，得：

y=-3x2+6x-3.③

③式的圖像要平移后和y=ax2+bx-c的圖像重合，那說明這兩條拋物線幾何形狀相同，即它們開度相等，且開口朝向相同，所以可知：

a=-3.④

由原題知，僅是上移后就重合，說明兩條拋物線對稱軸重合，即它們對稱軸方程相同，而對稱軸方程為：x=-b2a，既然二次項系數a都為-3，那么一次項系數b也相等，即：

b=6.⑤

又因為x1和x2是ax2+bx-c=0的兩個根，所以：

x1+x2=-ba ?⑥

x1x2=-ca⑦

由⑥和⑦得：x21+x22=b2+2aca2，即：

b2+2aca2=269.⑧

聯(lián)立④⑤⑧得：

a=-3，

b=6，

b2+2aca2=269，

可求得：c=53.

y=ax2+bx-c即為y=-3x2+6x-53.⑨

⑨-③，得：

Δy=-53-（-3）=43.

因此，可知后一條拋物線向上平移43個坐標單位即可與y=ax2+bx-c的圖像重合.

四、結 語

經查閱大量相關文獻，尚未發(fā)現拋物線開度的定義及其計算公式.

引入拋物線開度定義后，在描述拋物線開口大小的時候就具有了定量化的公式，教師不必再以定性化的表述去說明拋物線的開口程度，這樣做有助于學生對概念的精準理解和把握，并使學生積極大膽地將新概念所賦予的知識信息應用到解決問題之中.所以，這個概念的確立有一定意義，建議在初等數學書刊編輯中給予應用.

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