侯小山

【摘要】用平均個(gè)數(shù)法證明了每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都肯定是二個(gè)奇素?cái)?shù)之和.平均個(gè)數(shù)法是在1+1奇數(shù)三角中，推導(dǎo)出其第n行元素中（1+1）的平均個(gè)數(shù)為 r2（2n）=π（2n）×π（2n）2n，用素?cái)?shù)定理證明平均個(gè)數(shù)1

【關(guān)鍵詞】平均個(gè)數(shù)法;Goldbach;1+1奇數(shù)三角;（1+1）

一、引 言

1742年，哥德巴赫（C.Goldbach）提出了一個(gè)關(guān)于偶數(shù)的著名問(wèn)題：

每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都是二個(gè)奇素?cái)?shù)之和？

272年過(guò)去了，這個(gè)問(wèn)題仍然沒(méi)有解決;國(guó)際主流數(shù)學(xué)界一直都是在用解析數(shù)論，解決其弱命題：a+b，1+c;采用過(guò)篩法、圓法、密率、概率;目前世界公認(rèn)的最好成績(jī)是我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明的（1，2）.

本文認(rèn)為：可以用簡(jiǎn)單而初等的平均個(gè)數(shù)法解決Goldbach.

因?yàn)榕紨?shù)2n越大，2n表為（奇數(shù)+奇數(shù)）越多，而奇素?cái)?shù)就屬于奇數(shù)，

所以對(duì)于全體偶數(shù)而言：偶數(shù)2n越大，2n表為（奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)）的個(gè)數(shù)r2（2n）也越多.事實(shí)也確實(shí)如此，例如：r2（6）

0006=3+31

0066=0061+5=0059+7=0053+13=…12

0666=0661+5=0659+7=0653+13=…62

6666=6661+5=6659+7=6653+13=…330

雖有反例r2（6n）>r2（6n+2），但不影響大勢(shì).

因此解決Goldbach，只需證明：當(dāng)2n→∞時(shí)，r2（2n）→∞.

本文的目的是要徹底解決Goldbach.

本文解題的方法叫作平均個(gè)數(shù)法.這個(gè)方法就是在1+1奇數(shù)三角中，只證明當(dāng)偶數(shù)2n趨于無(wú)窮時(shí)，2n表為（奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)）的平均個(gè)數(shù)也趨于無(wú)窮;因?yàn)槠淦骄鶄€(gè)數(shù)小于實(shí)際個(gè)數(shù)，r2（2n）

二、用平均個(gè)數(shù)法解決Goldbach

引理2.1（素?cái)?shù)定理）

π（x）～xlnx.

定義2.1 如果將全體（奇數(shù)+奇數(shù)）排成三角形，如圖 1，則稱(chēng)其為：1+1奇數(shù)三角;如果其中的（奇數(shù)+奇數(shù)）=（奇素?cái)?shù)+奇素?cái)?shù)），則簡(jiǎn)稱(chēng)為：（1+1）.如3+3，31+13，3+103等都是（1+1），而1+1，3+1，9+5，15+21等都不是（1+1）.

1+1

3+1 ?1+3

5+1 ?3+3 ?1+5

7+1 ?5+3 ?3+5 ?1+7

… ?… ? … ?… ?…

圖1 ?1+1奇數(shù)三角

定理 每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都肯定是二個(gè)奇素?cái)?shù)之和.

證明 因?yàn)樗財(cái)?shù)集∏={2，3，5，7，11，…}不規(guī)則，沒(méi)有第n個(gè)素?cái)?shù)pn的通用公式，所以不能計(jì)算出每一個(gè)大偶數(shù)2n表為（1+1）的實(shí)際個(gè)數(shù)r2（2n），也不能證明定理.

因?yàn)镚oldbach沒(méi)有要求，也沒(méi)必要求出2n表為（1+1）的實(shí)際個(gè)數(shù)r2（2n），

所以只需證明r2（2n）≥1（2

下面就來(lái)證明r2（2n）≥1（2

因?yàn)?+1奇數(shù)三角的第n行元素，恰是偶數(shù)2n表為的全體（奇數(shù)+奇數(shù)）;

因?yàn)?+1奇數(shù)三角的第n行元素共有r2（2n）個(gè)（1+1）.

所以1+1奇數(shù)三角的第3行到第n行就共有∑ni=3r2（2i）個(gè)（1+1）.

因?yàn)椴淮笥?n的素?cái)?shù)有π（2n）個(gè)，它們可以組成〈π（2n）-1〉×〈π（2n）-1〉個(gè)（1+1），例如二個(gè)奇素?cái)?shù)3與7可以組成2×2個(gè)（1+1）：3+3，7+3，3+7，7+7;

因?yàn)樵凇处校?n）-1〉2個(gè)（1+1）中約有一半的（1+1）都大于2n，例如〈π（10）-1〉2=9個(gè)（1+1）中，7+5，5+7，7+7都大于10，約占9個(gè)（1+1）的一半，其實(shí)是少于一半，

所以1+1奇數(shù)三角第3行到第n行中（1+1）的總個(gè)數(shù)至少為∑ni=3r2（2i）=〈π（2n）-1〉22.

因?yàn)?+1奇數(shù)三角的第3行到第n行，共有n-2行元素，

所以1+1奇數(shù)三角的第n行中（1+1）的平均個(gè)數(shù)為r2（2n）=〈π（2n）-1〉22（n-2）.

因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)，偶素?cái)?shù)2，以及行數(shù)1與2都可以忽略不計(jì)，且誤差極小，

所以1+1奇數(shù)三角的第n行中（1+1）的平均個(gè)數(shù)可簡(jiǎn)寫(xiě)為r2（2n）=π（2n）×π（2n）2n.

因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)，將素?cái)?shù)定理π（2n）～2nln2n代入r2（2n）并求極限，得：

limr2（2n）=lim2nln2n×2nln2n2n=lim2nln2n×ln2n=∞，

所以當(dāng)n→∞時(shí)，1+1奇數(shù)三角的第n行中（1+1）的平均個(gè)數(shù)也是趨于無(wú)窮的.

因?yàn)樵?+1奇數(shù)三角的第3行到第n行中，第n行的元素最多，（1+1）也應(yīng)較多，

所以在1+1奇數(shù)三角的第n行中（1+1）的平均個(gè)數(shù)小于實(shí)際個(gè)數(shù)：

r2（2n）

所以當(dāng)平均個(gè)數(shù)r2（2n）→∞時(shí)，必有實(shí)際個(gè)數(shù)1

因此每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都肯定是二個(gè)奇素?cái)?shù)之和.

證畢.

三、結(jié) 論

用平均個(gè)數(shù)法可以證明每一個(gè)不小于6的偶數(shù)都肯定是二個(gè)奇素?cái)?shù)之和！