俞健 蘇擁英

本文為廣東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目——“廣州市海珠實(shí)驗(yàn)中學(xué)學(xué)期課程統(tǒng)整的實(shí)踐研究（2012YQJK063）”的子課題“課程統(tǒng)整理念下的初中幾何知識結(jié)構(gòu)的研究與實(shí)踐”的部分研究成果

【摘要】知識點(diǎn)和知識結(jié)構(gòu)是解題的源泉和基礎(chǔ)，解題過程是知識結(jié)構(gòu)中知識點(diǎn)的體現(xiàn)和重組，兩者相輔相成.本文通過舉例的方式分析和說明了不同的知識結(jié)構(gòu)對具體的解題過程有著不同的影響和作用，說明我們須掌握全面和多樣的知識結(jié)構(gòu)，才能更好地促進(jìn)解題活動(dòng).

【關(guān)鍵詞】知識結(jié)構(gòu);解題

在《中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐》一書論及平面結(jié)構(gòu)原則時(shí)，提到在解題思路的探求時(shí)，要注意內(nèi)容與方法的統(tǒng)一，在解題過程中，不僅要注意方法技巧的應(yīng)用，而且要揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容的轉(zhuǎn)化，注意從內(nèi)容的聯(lián)系上去尋找解題思路.

同時(shí)，提到如下的一道例題：

已知：a1-b2+b1-a2=1，求證：a2+b2=1.

該題有平方法、配方法、三角法和幾何法等多種解法，但是“切點(diǎn)重合”法卻能夠獨(dú)辟蹊徑，由“兩點(diǎn)重合”的知識鏈，立即解決問題，體現(xiàn)了不同的知識結(jié)構(gòu)對解題的指導(dǎo)和影響.

數(shù)學(xué)知識不是孤立的單點(diǎn)或離散的片段，數(shù)學(xué)方法也不是個(gè)別無關(guān)的一招一式，它們血肉相連，組成一條一條的知識鏈，并組合為知識體系，并形成一定的知識結(jié)構(gòu).

其實(shí)，知識結(jié)構(gòu)有多種定義.它既可以指某個(gè)人的，即指一個(gè)人經(jīng)過專門學(xué)習(xí)培訓(xùn)后所擁有的知識體系的構(gòu)成情況與結(jié)合方式.它也可以指某學(xué)科教材的，就是由某些知識點(diǎn)組合成的知識集合及方式，它具有一定的結(jié)構(gòu)或框架，可以由知識點(diǎn)、知識鏈或知識組等組合而成的，上題所論及的知識結(jié)構(gòu)應(yīng)該指的是后者.知識結(jié)構(gòu)可以是串聯(lián)，也可為并聯(lián)，可以是環(huán)形，也可以是樹形，多種多樣，這是由具體的知識點(diǎn)和人為分析和組合而成的.同樣的知識點(diǎn)，可以根據(jù)人們不同的理解被組合成不同的知識結(jié)構(gòu).采取不同的知識結(jié)構(gòu)來解題可能會(huì)對具體的解題活動(dòng)有著不一樣的影響.

下面接著如上的思路，就知識結(jié)構(gòu)對具體的解題過程的影響和作用進(jìn)行一些嘗試.

例1 如圖1，設(shè)M和N分別是△ABC兩邊AB和AC的中點(diǎn)，證明：MN∥BC，且MN=BC2.

圖 1

我們的一般解法為：

證明 由題意知，由于M和N分別是△ABC兩邊AB和AC的中點(diǎn)，

得AM=12AB，AN=12AC，∠A=∠A，

所以△AMN∽△ABC.

可得：∠AMN=∠B.

由同位角相等，兩直線平行得MN∥BC.

再由相似比為12，得到MN=BC2.

分析 該證法運(yùn)用了相似三角形的判定定理，再由相似三角形的性質(zhì)和“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”這兩個(gè)知識點(diǎn)，證得此題.

我們也可嘗試使用其他證法：

證明 由于M和N分別是△ABC兩邊AB和AC的中點(diǎn)，故得S△MBC=S△ABC2=S△NBC.

由平行線的面積判定法得MN∥BC.

再由平行邊可構(gòu)成相似三角形得到△AMN∽△ABC.

應(yīng)用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)得

MNBC=AMAB=12，故推出MN=BC2.

分析 本證法中運(yùn)用了平行線的面積判定法直接得到結(jié)論之一，再由平行邊構(gòu)成相似三角形的知識，得出兩個(gè)三角形相似，進(jìn)而得到另一結(jié)論.本解法繞開了相似三角形的判定定理的知識鏈，采用了不同的知識結(jié)構(gòu)，同樣可以證得本題.

例2 如圖2，AB∥PQ，直線PA和QB交于R，PB和QA交于S，PS和PQ交于M.若已知PQ=10，求PM.

圖 2

本題的常規(guī)解法為：

設(shè)PM為x，NB為y，則MQ為10-x.

根據(jù)AB∥PQ，可得△RNB∽△RMQ及△RAN∽△RPM，

進(jìn)而得NBMQ=RNRM=ANPM，

可得AN=xy10-x.

再由△NBS∽△MPS及△NAS∽△MQS，

得ANQM=NSMS=NBMP.

即xy10-x10-x=yx，得x2=（10-x）2，可算得x=5.

分析 本解法假設(shè)了相應(yīng)線段的未知量，并在圖中找尋了四組相似三角形，再通過這些相似三角形邊之間的比例關(guān)系，逐步過渡，求得PM的長度.

若運(yùn)用另外的知識結(jié)構(gòu)和工具也可以解決本題.

解 運(yùn)用共邊定理以及由AB∥PQ得到S△PAB=S△QAB，可得

PMMQ=S△PRSS△QRS=S△PRSS△PSQ·S△PSQS△QRS

=RBBQ·PAAR=S△RABS△QAB·S△PABS△RAB

=1.

所以PM=MQ=PQ2=5.

分析 這里運(yùn)用“共邊定理”的知識鏈條，通過多組三角形間面積相等的關(guān)系，轉(zhuǎn)化得到結(jié)果，展示了不同知識作為解題工具的魅力.

別以為這題簡單，它還曾是一道數(shù)學(xué)競賽問題.

例3 如圖3，設(shè)圓內(nèi)兩弦AB和CD交于P，求證：PA·PB=PC·PD.

圖 3

我們一般的常規(guī)證法是：由對頂角相等及相同的弧所對的圓周角相等可知

∠BPC=∠DPC，∠CBP=∠ADP，∠PCB=∠PAD.

可得△PBC∽△PDA，

即得PBPD=PCPA，可得結(jié)論.

分析 本題證明方法使用了對頂角相等、等弧所對圓周角相等和相似三角形的判定定理等知識證得.

我們還可以使用共角定理來證明：

S△APDS△CPB=PA·ADPC·CB=PD·ADPB·CB，

約簡后即得PAPC=PDPB，

即PA·PB=PC·PD.

分析 本方法使用“共角三角形”知識的方法，不僅減少建立相似三角形判定法的推理過程和步驟，而且避免了辨別相似三角形對應(yīng)邊的麻煩，所以，相對而言，本解法更為簡捷和高效.

知識點(diǎn)和知識結(jié)構(gòu)是解題的源泉和基礎(chǔ)，解題過程是知識結(jié)構(gòu)中知識點(diǎn)的體現(xiàn)和重組，兩者相輔相成.我們要做到解題過程的嚴(yán)謹(jǐn)和優(yōu)美，應(yīng)具備全面和多樣的知識結(jié)構(gòu)，來促進(jìn)和活躍解題思想，當(dāng)然這也需要在解題過程中不斷地總結(jié)和積累知識點(diǎn)，完善知識結(jié)構(gòu).

【參考文獻(xiàn)】

[1]羅增儒.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐[M].南寧：廣西教育出版社，2008.

[2]張景中.一線串通的初等數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.