陳炳愛(ài)

摘 要：數(shù)學(xué)方法是人類通過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐活動(dòng)，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)語(yǔ)言提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，形成的穩(wěn)定的、實(shí)效的數(shù)學(xué)活動(dòng)手段、方式或途徑.“二分法”是數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)的結(jié)合，既要掌握基本的算法思想，又要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用計(jì)算器，合理組織技術(shù)平臺(tái)下的數(shù)學(xué)活動(dòng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法；二分法求方程；教學(xué)過(guò)程的整體分析

數(shù)學(xué)方法是人類通過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐活動(dòng)，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)語(yǔ)言提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中，形成的穩(wěn)定的、實(shí)效的數(shù)學(xué)活動(dòng)手段、方式或途徑。從心理學(xué)上看，數(shù)學(xué)方法屬于程序性知識(shí).在中小學(xué)階段，大多數(shù)數(shù)學(xué)方法屬于基本技能范疇，需要學(xué)生識(shí)記、掌握，甚至達(dá)到“自動(dòng)化”程度.但是數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教學(xué)生“學(xué)知識(shí)”，還要教學(xué)生“怎樣學(xué)知識(shí)”，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程和經(jīng)驗(yàn)，不但要提高解題能力，還要提升對(duì)知識(shí)體系與內(nèi)涵的理解，才能達(dá)到新課程（高考或課標(biāo)）的要求，這一點(diǎn)對(duì)我們數(shù)學(xué)老師來(lái)說(shuō)不容易.下面就以我聽(tīng)過(guò)的一節(jié)協(xié)作校（市級(jí)）公開(kāi)課“二分法求方程的近似解”課堂實(shí)錄（片段）做分析，整理如下與大家分享.

1 研究目的

“二分法”是數(shù)學(xué)新課程的新增內(nèi)容，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)的結(jié)合，既要掌握基本的算法思想，又要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用計(jì)算器，合理組織技術(shù)平臺(tái)下的數(shù)學(xué)活動(dòng).上好這樣一堂課，不僅需要研究教材，確定合適的技能目標(biāo)，還要研究教學(xué)法，選擇合適的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)合適的教學(xué)過(guò)程.

3 核心知識(shí)與方法論

二分法的本質(zhì)在于逼近，除了二分，還可以三分、四分、0.618分（黃金分割），這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)計(jì)算的逼近思想.二分法還是運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)解決方程問(wèn)題的重要方法之一，體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系.“函數(shù)的零點(diǎn)”與“方程的解”之間的關(guān)系，是理解二分法的關(guān)鍵，抓住這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，也就抓住了函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系.

由此可見(jiàn)，本課的核心概念是：方程與方程的解，函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)，方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的圖像，區(qū)間的中間值.必須掌握的技能是二分法的算法思想步驟.需要認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)思想是：函數(shù)思想，算法思想，逼近思想，數(shù)形結(jié)合思想.

4 教學(xué)過(guò)程的整體分析

4.1 教學(xué)模式

本課所采用的教學(xué)方式是教師啟發(fā)下的學(xué)生自主探究.教師以問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，不直接下結(jié)論，通過(guò)問(wèn)題情境，提出問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生思考，探索問(wèn)題的解決辦法，形成基本的算法，并在具體的應(yīng)用中反思、鞏固建構(gòu)學(xué)習(xí)的成果。

4.2 閃光點(diǎn)

4.2.1 努力展示學(xué)生的思維過(guò)程

本課中，教師并不滿足于學(xué)生答對(duì)問(wèn)題，而是通過(guò)追問(wèn)，檢查學(xué)生的思考狀況，明確每一個(gè)思維環(huán)節(jié)的意義，讓學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的理解。如例一中，

為什么要畫(huà)函數(shù)的圖像？

為什么范圍在3到4之間？

你怎么判斷在3到4之間？看出來(lái)的還是算出來(lái)的？

為什么想到取3.5？

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)。在課堂教學(xué)過(guò)程中，及時(shí)追問(wèn)是提高學(xué)生思維參與、加速知識(shí)領(lǐng)悟的重要策略。面對(duì)學(xué)生簡(jiǎn)單、短小的回答，教師需要及時(shí)追問(wèn)，在追問(wèn)的過(guò)程中了解學(xué)生的理解程度，捕捉可能的問(wèn)題，補(bǔ)救可能的不足。

4.2.2 以問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生思考

赫爾墨斯指出：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”。教學(xué)效果的好壞，很大程度取決于教師所設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)劣。本課中，教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題，大都是明確的、容易引起學(xué)生思維的問(wèn)題：

問(wèn)題1：游戲中有什么技巧？游戲中包含了什么樣的數(shù)學(xué)方法？

問(wèn)題2：如何求方程的近似根？

問(wèn)題3：請(qǐng)用二分法求方程的近似解；

在與學(xué)生互動(dòng)過(guò)程中，教師又以幾個(gè)小問(wèn)題步步引導(dǎo)學(xué)生思考，如：

①如何利用上面的游戲活動(dòng)中的思想設(shè)計(jì)求近似解的方案？

②如何判斷方程的根所在的區(qū)間？

③如何縮小方程的根所在的區(qū)間？

④回憶：如果二次函數(shù)在區(qū)間（a，b）上滿足f（a）f（b）<0，那么其零點(diǎn)滿足什么條件？

這些問(wèn)題的設(shè)計(jì)，緊緊圍繞“二分法求方程的近似解”這一主題，層次分明，條理清晰，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 。

4.2.3 計(jì)算器支持?jǐn)?shù)學(xué)探究順利開(kāi)展

計(jì)算器的使用不是學(xué)生活動(dòng)的重點(diǎn)，而是支持學(xué)生開(kāi)展探究活動(dòng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。學(xué)生能夠獨(dú)立地、熟練地使用計(jì)算器，在計(jì)算器上的操作成為觀察函數(shù)值、選擇區(qū)間、判斷中止條件的有力工具，使學(xué)生集中精力于算法的探索和檢驗(yàn)，保證了學(xué)生高水平的智力參與，保證了課堂探究目標(biāo)的高效率實(shí)現(xiàn)。

5 不足之處與建議

教師是教學(xué)的主導(dǎo)。主導(dǎo)在很大程度上可以理解為教學(xué)向?qū)?，即在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行啟發(fā)、暗示、引導(dǎo)。在探究教學(xué)中，教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在：提供探究方向，提高探究目標(biāo)，啟發(fā)探究方法等等。通俗地講，就是學(xué)生能做的，就讓學(xué)生自己去做，教師把握一個(gè)方向即可。

整體而言，本節(jié)課的教師教授還是有點(diǎn)偏多，某些關(guān)鍵點(diǎn)還有直接告知學(xué)生的現(xiàn)象。如逼近思想就是老師直接提出的。又如例1提出后，馬上就給出4個(gè)指導(dǎo)性問(wèn)題，在方法上這無(wú)疑限制了學(xué)生的探索，尤其第4個(gè)問(wèn)題，實(shí)際上是直接指示了解題的方法。

本課在提示語(yǔ)的啟發(fā)上還可以做得更好一些。數(shù)學(xué)教學(xué)啟發(fā)，最基本的方法就是能運(yùn)用“元認(rèn)知提示語(yǔ)”（也即“知識(shí)的就近原則”）由遠(yuǎn)及近地進(jìn)行引導(dǎo)。比如本節(jié)課的逼近思想不妨可以這樣設(shè)計(jì)：

（1）游戲時(shí)有什么技巧？

教師的提示語(yǔ)：想想整個(gè)過(guò)程，你是怎么做的？第一步是什么？第二步是什么？……怎么簡(jiǎn)要說(shuō)明步驟等.

（2）游戲中包含了什么樣的數(shù)學(xué)方法？

教師提示語(yǔ)：從總結(jié)出的步驟想想看，對(duì)我們平常的數(shù)學(xué)活動(dòng)有什么啟發(fā)？比如第一步，在數(shù)學(xué)中有沒(méi)有這樣類似的做法，叫什么？第二步呢？……整個(gè)步驟又說(shuō)明什么？

請(qǐng)學(xué)生回答，教師板書(shū)要點(diǎn)（如：估算、猜想、二分、逼近、程序化等），然后總結(jié)。

這樣學(xué)生就會(huì)對(duì)算法和數(shù)學(xué)思想形成充分的經(jīng)驗(yàn)，為后面求方程的近似值，提供更加有效的學(xué)習(xí)。