王紅利　楊建偉

[摘 要]大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是對(duì)高等理工科學(xué)生實(shí)驗(yàn)?zāi)芰涂茖W(xué)研究思維培養(yǎng)的重要課程，也是各專業(yè)后繼實(shí)驗(yàn)課程學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，研究并提高我國(guó)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)水平顯得非常重要。數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中做好誤差估計(jì)、數(shù)據(jù)處理以及近似替代等方面起著舉足輕重的作用。將理論知識(shí)與實(shí)際操作結(jié)合起來(lái)，以提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰脱芯克季S水平。

[關(guān)鍵詞]大學(xué)物理實(shí)驗(yàn) 數(shù)學(xué)知識(shí) 應(yīng)用

[中圖分類號(hào)] O45 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2015）10-0112-02

一、引言

物理作為一門(mén)以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的學(xué)科，與數(shù)學(xué)的結(jié)合相當(dāng)緊密，其發(fā)展依賴于數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，而且物理中大量地應(yīng)用到了數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法。幾乎所有物理實(shí)驗(yàn)中的誤差估計(jì)、數(shù)據(jù)處理以及近似替代等都離不開(kāi)數(shù)學(xué)知識(shí)，因此數(shù)學(xué)是做好物理實(shí)驗(yàn)寫(xiě)好實(shí)驗(yàn)報(bào)告的關(guān)鍵所在。雖然目前國(guó)內(nèi)很多理工科類高校在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程學(xué)習(xí)之前，已經(jīng)開(kāi)設(shè)相應(yīng)的高等數(shù)學(xué)課程，但由于學(xué)生對(duì)所學(xué)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的整體把握度還不夠，甚至于對(duì)部分內(nèi)容的掌握還相對(duì)生疏，從而不知道在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中如何去應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量誤差大、數(shù)據(jù)處理不合理、分析計(jì)算過(guò)程復(fù)雜等諸多問(wèn)題。因此，如何在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中正確和熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)就成為做好大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)寫(xiě)好實(shí)驗(yàn)報(bào)告的關(guān)鍵。筆者根據(jù)自身多年的教學(xué)體會(huì)，結(jié)合一些具體實(shí)例分析了數(shù)學(xué)知識(shí)在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。

二、微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，一開(kāi)始就要講解誤差的基本知識(shí)和近似計(jì)算方法，這其中包括如何運(yùn)用微分來(lái)計(jì)算間接測(cè)量誤差和相對(duì)誤差。我們知道，利用任何測(cè)量工具和儀器進(jìn)行測(cè)量時(shí)，誤差總是在所難免。假設(shè)x是由測(cè)量得到，實(shí)際測(cè)得的只是x的某一近似值x0，因此由x0計(jì)算得到的量y0=f（x0）也只是被測(cè)量y=f（x）的某一近似值。如果已知測(cè)量值x0的誤差限為δx[4]（其與所使用的測(cè)量工具的精度有關(guān)），于是絕對(duì)誤差記為△x=x0-x，且△x？燮δx，則當(dāng)δx很?。y(cè)量工具較精密）時(shí)，由微分的意義知被測(cè)量誤差的絕對(duì)值

△y=f（x）-f（x0）≈f ′（x0）△x？燮f ′（x0）δx，

于是可求得相對(duì)誤差限

三、最佳最小二乘解在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

在許多大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，如電位差計(jì)測(cè)電動(dòng)勢(shì)、金屬絲的線膨脹系數(shù)的測(cè)量等，我們經(jīng)常需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得一系列數(shù)據(jù)，例如，n個(gè)數(shù)組（xi，yi）（i=1，2，…，n）去尋找自變量x和因變量y之間最能反映出給定數(shù)據(jù)之間的最佳關(guān)系，這就是所謂的曲線擬合問(wèn)題。要找出不同變量之間的關(guān)系。我們可以通過(guò)傳統(tǒng)的處理方法，如圖解、目測(cè)的方法來(lái)達(dá)到目的。然而，在有些情形下，由于誤差的介入，使得到的結(jié)果往往并不是最佳的近似，甚至還會(huì)得到非常錯(cuò)誤的結(jié)論。而最小二乘法是一種行之有效的數(shù)學(xué)方法，用此法擬合同一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，不論誰(shuí)來(lái)處理，只要數(shù)據(jù)處理過(guò)程沒(méi)有錯(cuò)誤，都會(huì)得到一致的結(jié)果。

我們可以用最佳最小二乘解的知識(shí)，很容易解決在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)取得測(cè)量數(shù)據(jù)之后遇到的尋找經(jīng)驗(yàn)公式問(wèn)題，即曲線擬合問(wèn)題。這種方法與傳統(tǒng)的最小二乘法相比，具有形式簡(jiǎn)單、計(jì)算簡(jiǎn)便、過(guò)程簡(jiǎn)約的特點(diǎn)。事實(shí)上這種通過(guò)求解最佳最小二乘法的方法與傳統(tǒng)的最小二乘法可以證明是等價(jià)的。高等數(shù)學(xué)中關(guān)于最小二乘解的定義[5]是：設(shè)A∈Cm×n，b∈Cm，若存在u∈Cm，使得對(duì)？坌x∈Cn，都有‖Au-b‖2？燮‖Ax-b‖2，則稱是u矛盾方程組（即無(wú)解）Ax=b的一個(gè)最小二乘解。注意這里的‖·‖2表示通常的歐幾里得范數(shù)。又設(shè)x0是Ax=b的最小二乘解，若對(duì)于Ax=b的每一個(gè)最小二乘解u，都有‖x0‖2？燮‖u‖2，則稱x0是最佳的最小二乘解（最佳逼近解）。

事實(shí)上，我們知道x0是唯一的并且x0=A+b，其中A+是系數(shù)矩陣A的加號(hào)廣義逆。而且還可以得到誤差估計(jì)為‖δ‖=‖Ax0-b‖2.

例如，我們測(cè)得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：（1，3），（2，5），（3，6），（4，7），從數(shù)據(jù)點(diǎn)的走向上看這些點(diǎn)非常接近一條直線，希望使用直線y=m+kx來(lái)擬合上述數(shù)據(jù)點(diǎn)。將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入y=m+kx可得矛盾方程組Ax=b，即

1 11 21 31 4mk=3567.

顯然系數(shù)矩陣A是列滿秩的，所以A的左逆（ATA）-1AT就是A的加號(hào)廣義逆A+，于是

所以最佳擬合直線為y=2+1.3x，其誤差為

‖δ‖2 =‖Ax0-b‖2 =0.5477.

事實(shí)上，這種方法可以用來(lái)擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)近似滿足的其他曲線，譬如拋物線、橢圓等。

四、等價(jià)無(wú)窮小在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，很多地方都會(huì)用到等價(jià)無(wú)窮小的高等數(shù)學(xué)知識(shí)。等價(jià)無(wú)窮小的定義為：設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f（x）和g（x）都是無(wú)窮小量，，則稱f與g是當(dāng)x→0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小，記作f（x）～g（x）（x→0）。如在楊氏模量的測(cè)量這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，平面鏡轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，在利用光桿法測(cè)量長(zhǎng)度變化量時(shí)，就用到了當(dāng)θ很小時(shí)用其來(lái)近似替代tanθ，這樣就使問(wèn)題在不犧牲誤差限的前提下大大簡(jiǎn)化。同樣，在莫爾條紋的觀測(cè)和應(yīng)用這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，也用到了當(dāng)θ很小時(shí)用其來(lái)近似替代2sin，這里的θ表示兩個(gè)等距光柵之間的夾角。此外在全息光柵、用單擺測(cè)量重力加速度、雙棱鏡干涉測(cè)量單色光波長(zhǎng)等許多大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中也有相同的處理方法。

五、數(shù)學(xué)軟件在大學(xué)物理中的應(yīng)用

我們知道，Maple、Matlab、Mathematica和Mathcad都是非常有名的數(shù)學(xué)軟件，它們集成了數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算、圖形界面、高級(jí)語(yǔ)言編程以及動(dòng)畫(huà)制作等強(qiáng)大功能。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，這些數(shù)學(xué)軟件也逐步被應(yīng)用到大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)中。例如，在密立根油滴實(shí)驗(yàn)中，我們可以根據(jù)該實(shí)驗(yàn)中的相關(guān)公式和各參變量數(shù)值，借助Mathematica軟件中的Plot命令做出油滴勻速下降的時(shí)間與油滴所帶電量、油滴電量誤差以及基本電荷誤差等的曲線圖，這樣我們就很容易從做出的這些曲線圖中很直觀的看出油滴勻速下降所需的時(shí)間越短，油滴所帶的電量就越多、油滴電量的誤差就越大；還可以看出油滴勻速下降的時(shí)間無(wú)限接近某一常數(shù)時(shí)，基本電荷的誤差也越小。又如，在普朗克常數(shù)測(cè)量試驗(yàn)中，我們運(yùn)用Matlab軟件對(duì)所取得的物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理進(jìn)行模擬，這樣可以極大程度地避免繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程，并增加數(shù)據(jù)處理的準(zhǔn)確性。

數(shù)學(xué)軟件在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的使用將計(jì)算機(jī)應(yīng)用與大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)相融合，既可以使實(shí)驗(yàn)內(nèi)容以圖文并茂的形式展示，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性；也可以幫助學(xué)生深刻理解物理場(chǎng)景，拓寬學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

八、結(jié)束語(yǔ)

本文分析了大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性，通過(guò)一些實(shí)例分析了微分、最佳最小二乘解、等價(jià)無(wú)窮小以及數(shù)學(xué)軟件等數(shù)學(xué)知識(shí)在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的具體應(yīng)用，但事實(shí)上大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，在此我們不再贅述。筆者的意圖在于通過(guò)分析大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，引起廣大物理學(xué)習(xí)者的注意，要想做好物理實(shí)驗(yàn)，寫(xiě)好實(shí)驗(yàn)報(bào)告，就必須先學(xué)好數(shù)學(xué)，同時(shí)也通過(guò)本文起到拋磚引玉的作用。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 單雯雯，袁保合.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，2012.

[2] 王燕紅，宋玲.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].鄭州：黃河水利出版社，2009.

[3] 趙光強(qiáng)，申莉華，李玉琮.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教程[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2010.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[5] 楊明，劉先忠.矩陣論[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.

[責(zé)任編輯：張 雷]