汪國(guó)山

【分類號(hào)】G420

摘要：知識(shí)學(xué)習(xí)是學(xué)生必要的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)，能力培養(yǎng)是學(xué)生的提高學(xué)習(xí)和根本目的。注意用腦學(xué)習(xí)及在學(xué)習(xí)過程中即時(shí)用腦調(diào)控學(xué)習(xí)任務(wù)、目標(biāo)、方法、手段等，才是能力提高的關(guān)鍵。本文通過一道具體的數(shù)學(xué)題讓讀者體驗(yàn)、思考、感悟其中的道理，從而獲得這種獲得能力。

關(guān)鍵詞：用腦學(xué)習(xí)? 過程調(diào)控? 培養(yǎng)能力

有這樣一道數(shù)學(xué)題：兩條線段集一點(diǎn)組成一個(gè)角（圖1所示），若在角內(nèi)向頂點(diǎn)引一條線段可組成幾個(gè)角？向頂點(diǎn)引兩條、三條線段又可分別組成多少個(gè)角？若引出N條線段又可組成多少個(gè)角？請(qǐng)你實(shí)際畫一畫找出其中的規(guī)律。

我們通過實(shí)際畫發(fā)現(xiàn)：引出一條線段（圖2）可以組成3個(gè)角;引出二線段（圖3）可以組成6個(gè)角;引出三條線段（圖4）可以組成10個(gè)角;引出四條線段（圖5）可以組成15個(gè)角。若要回答引出N條線段可以組成多少個(gè)角，就必然要找出它的規(guī)律。對(duì)此，我們參照它們組成的角度，試圖找到它們的通項(xiàng)，可寫了很多個(gè)都不合適。它們的通項(xiàng)是什么呢？究竟怎樣才能找到它們的規(guī)律呢？于是我們按照題目的要求再實(shí)際畫每一種情況組成的角度數(shù)，并認(rèn)真分析它們的單角數(shù)，跨一條線段組成的角度數(shù)，跨兩條線段組成的角度數(shù)，跨三條線段組成的角度數(shù)，以此類推，結(jié)果它們的規(guī)律自然就顯露出來了，現(xiàn)將分析過程及數(shù)據(jù)列表如下。（見下頁(yè)）

由表可知一個(gè)角內(nèi)引出N條線段可以組成一個(gè)首項(xiàng)為N+1、尾項(xiàng)為1、等差為1、共有N+1項(xiàng)的遞減數(shù)列，求它一共可組成多少個(gè)角的數(shù)量，也即求這個(gè)數(shù)列的和?？捎袃煞N方法：一是將首項(xiàng)與尾項(xiàng)相加，次項(xiàng)與次尾項(xiàng)相加，類推，這樣可得到（N+1）÷2項(xiàng)、每一項(xiàng)大小為（N+2）÷2的數(shù)，其和為（N+1）*（N+2）÷2。另一方法是將這一遞減數(shù)列之和轉(zhuǎn)化為求一個(gè)底邊為N+1、上底為1、高為N+1的等腰梯形的面積，即（上底+下底）*高÷2，即有[（N+1）+1]*（N+1）÷2。題解完畢。

引出的

線段數(shù)

單

角

數(shù)

跨一條

線段的

角度數(shù)

跨二條

線段的

角度數(shù)

跨三條

線段的

角度數(shù)

跨四條

線段的

角度數(shù)

······

······

······

跨N條

線段的

角度數(shù)

總計(jì)的

角度數(shù)

1

2

1

3

2

3

2

1

6

3

4

3

2

1

10

4

5

4

3

2

1

15

··

··

··

··

··

··

··

··

N

N+1

N

N-1

N-2

N-3

····

1

（N+1）（N+2）

2

（上頁(yè)表格）

然而同樣是畫出角來，計(jì)算總計(jì)的角度為什么就寫不出通項(xiàng)，即找不出它的規(guī)律呢？這就是當(dāng)我們解題（或解決其他問題）遇到困難或障礙時(shí)，要及時(shí)調(diào)整思路，轉(zhuǎn)換解題方法，否則一條道走到底也許要花費(fèi)更大精力和更多時(shí)間，也許是方法根本性的錯(cuò)誤，用之無法來解決問題。像本題這樣只考察總計(jì)角度，如果花足夠深的功夫也許能找到通項(xiàng)，但事倍功半，得不償失。元認(rèn)知理論告訴我們?nèi)藗冊(cè)诮鉀Q問題時(shí)，必須時(shí)時(shí)對(duì)認(rèn)知（解決問題是實(shí)踐過程同時(shí)也是認(rèn)知過程）結(jié)果進(jìn)行反省、監(jiān)控、以致調(diào)整，直至達(dá)到最終目標(biāo)。本題即是對(duì)解題過程反思、監(jiān)控、調(diào)整的典型案例。

其次，不僅在方法上知道轉(zhuǎn)換思路調(diào)整方法，而且要從解題的具體過程中落實(shí)轉(zhuǎn)換思路，將軟方法轉(zhuǎn)化為解決具體問題的硬方法，注重解題過程分析與研究，從而達(dá)到目的。像上述這道數(shù)學(xué)題若不從畫角入手，并在畫的過程中列出單角數(shù)、跨一條線段組成的角度數(shù)、跨二條線段組成的角度數(shù)、以此類推，直至跨N條線段組成的角度數(shù)，就不能發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)角被N條線段分割時(shí)，單角數(shù)和跨各線段角數(shù)及它們之間的關(guān)系，也即上述表格中最下面一行的數(shù)據(jù)就無從可得，因而本題無從求解?？梢娊忸}或解決實(shí)際問題，關(guān)注過程落實(shí)，注重過程分析是至關(guān)重要的。

上述在解題或解決實(shí)際問題過程中的適時(shí)監(jiān)控、反思、調(diào)整是充分發(fā)揮主觀能動(dòng)性的體現(xiàn)，是自主解決問題的關(guān)鍵;也是學(xué)生提升自己分析和解決問題能力的必要手段;還是學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、養(yǎng)成愛動(dòng)腦習(xí)慣的重要途徑。而注重分析具體問題，具體應(yīng)用方法是解題的實(shí)際過程和內(nèi)容，沒有它就無從談對(duì)解題過程的監(jiān)控調(diào)整，也無從談達(dá)到最終的解題目的。這是解本題的二點(diǎn)重要啟示。