墻明

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

利用軸對(duì)稱研究某些最短路徑問(wèn)題

2.內(nèi)容解析

最短路徑問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常遇到，初中階段主要以“兩點(diǎn)之間，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”為基礎(chǔ)知識(shí)，有時(shí)還要借助軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進(jìn)行研究。

本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題——“將軍飲馬問(wèn)題”為載體開展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.教學(xué)目標(biāo)

能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變換在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。

2. 教學(xué)目標(biāo)解析

學(xué)生能將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)”“線”，把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題;能利用軸對(duì)稱將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題;能通過(guò)邏輯推理證明所求距離最短;在探索最短路徑的過(guò)程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想。

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是極值問(wèn)題，作為八年級(jí)的學(xué)生，在此之前很少接觸，解決這方面問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有實(shí)際背景的極值問(wèn)題，更會(huì)感到陌生，無(wú)從下手。

對(duì)于直線異側(cè)的兩點(diǎn)，怎樣在直線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最小，學(xué)生很容易想到連接這兩點(diǎn)，所連線段與直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)。但對(duì)于直線同側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最小，一些學(xué)生會(huì)感到茫然，找不到解決問(wèn)題的思路。

在證明“最短”時(shí)，需要在直線上任取一點(diǎn)（與所求作的點(diǎn)不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，學(xué)生想不到，不會(huì)用。

教學(xué)時(shí)，教師可從“直線異側(cè)的兩點(diǎn)”過(guò)渡到“直線同側(cè)的兩點(diǎn)”，為學(xué)生搭建“腳手架”。在證明“最短”時(shí)，教師可告訴學(xué)生，證明“最大”“最小”這類問(wèn)題，常常要另選一個(gè)量，通過(guò)與求證的那個(gè)“最大”“最小”的量進(jìn)行比較來(lái)證明。由于另取的點(diǎn)具有任意性，所以結(jié)論對(duì)于直線上的每一點(diǎn)（C點(diǎn)除外）都成立

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

問(wèn)題1 ? 有一天，一位將軍要從山峰A處出發(fā)，到河邊飲馬，然后到B地，請(qǐng)問(wèn)到河邊什么地方飲馬可使他所走的路程最短？（圖片略）

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，連接AB，線段AB與l的交點(diǎn)即為最佳飲馬點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感受“兩點(diǎn)之間，線段最短”，為把“同側(cè)的兩點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為“異側(cè)的兩點(diǎn)”做鋪墊。

2.將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題

問(wèn)題2 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：

從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地。到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”.

你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？（圖片略）

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試回答，并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：（1）將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直線;（2）在直線l上找到一點(diǎn)C，使AC與BC的和最小？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，在具體感知軸對(duì)稱圖形特征的基礎(chǔ)上，抽象出軸對(duì)稱圖形的概念。

3.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（略）

4.證明AC +BC “最短”（略）

5.例題講解（略）

6.歸納小結(jié)

教師和學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題。

（1）我們本節(jié)課解決了什么問(wèn)題？主要用到了什么數(shù)學(xué)知識(shí)？

（2）我們運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想呢？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生小結(jié)。

【設(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生把握研究問(wèn)題的基本策略和方法，體會(huì)軸對(duì)稱在解決最短路徑問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價(jià)值。

7.布置作業(yè)