陳學(xué)帥

摘要：介紹了排列、組合中比較困難的分堆與分配問題的解決方法。從分給的對(duì)象和被分的元素是否相同（即有無差別）兩個(gè)方面分別進(jìn)行了研究。分給的對(duì)象相同（即無差別）但被分的元素不相同是分堆問題，當(dāng)各堆的元素?cái)?shù)不同時(shí)是非平均分堆，一堆一堆的拿開即可；當(dāng)各堆（或部分堆）的元素?cái)?shù)相同時(shí)是平均分堆，按堆拿開后，若有k堆元素?cái)?shù)相等，再除以；分給的對(duì)象不同（即有差別）是分配問題，給不同的對(duì)象逐次拿開或先分堆再分配。

關(guān)鍵詞：排列組合分堆分配解決方法

排列、組合中的分堆與分配問題是近幾年高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)，本文就從被分的元素和分給的對(duì)象兩端這兩個(gè)方面來探討一下此類問題的解決方法。

在將某些元素進(jìn)行分配的問題中，我們按分給的對(duì)象是否相同（即有無差別）分為分堆問題與分配問題。

一、分堆問題

分堆是研究將元素所分給的對(duì)象相同（即無差別）但被分的元素不相同的一類問題。當(dāng)各堆（或部分堆）分得的元素?cái)?shù)相同時(shí)，稱為平均分堆；當(dāng)每堆分得的元素?cái)?shù)各不相同時(shí)，稱為非平均分堆。

1.非平均分堆

例：將6名運(yùn)動(dòng)員分成三組，其中有一組1人的，一組2人的，一組3人的，有多少種不同的分法？

解：本題中由于分給的對(duì)象無差別，并且每組的人數(shù)各不相同，所以這是一個(gè)非平均分堆問題，按題設(shè)要求逐堆隨機(jī)拿開即可。

二、分配問題

將元素所分給的對(duì)象不相同（即有差別）時(shí)的問題叫做分配問題。分配問題按被分的元素是否相同又分為被分的元素相同（無差別）的分配問題與被分的元素不相同（即有差別）的分配問題兩類：

（一）被分的元素相同（無差別）的分配問題

此類分配問題中，由于被分的元素?zé)o差別，因此在分配中，若將若干個(gè)元素平均分給幾個(gè)對(duì)象，則只有一種分法；若幾個(gè)對(duì)象所得元素?cái)?shù)各不相同，則存在不同的分法。

例2．要從7個(gè)班中選10人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每個(gè)班至少出1人，共有多少種不同的選法？

分析：本例其實(shí)就是將10個(gè)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的名額分給7個(gè)班的分配問題，被分的名額是無差別的，但分給的對(duì)象即7個(gè)班是不同的。 注：1.插板法與插入法不同，要注意區(qū)分。深刻理解插板法的思想，能快速、簡(jiǎn)捷的處理一部分題目。

2.插板法只適用于每個(gè)分給的對(duì)象至少分得一個(gè)無差別元素的分配問題，如果無此條件則此方法不再適用。

（二）被分的元素不相同（即有差別）的分配問題

1.平均分配

注：在被分的元素不相同（即有差別）的非平均分配問題中，當(dāng)分給的對(duì)象所分得的元素?cái)?shù)沒有明確時(shí)，要運(yùn)用先分堆再分配的方法。