梁素梅

【摘要】本文通過對數(shù)求導法的講解，提出了許多老師和學生在利用對數(shù)求導時，容易忽略的兩個問題，找出了問題產(chǎn)生的根源，給出了相應(yīng)的兩點注記，可給學生利用對數(shù)求導法時帶來極大的方便.

【關(guān)鍵詞】對數(shù)求導；冪指函數(shù)；復(fù)雜函數(shù)

一、對數(shù)求導法的適用對象

在《高等數(shù)學教程》導數(shù)教學一章中，我們發(fā)現(xiàn)有些題目它并不能用公式直接求導，而是需要應(yīng)用對數(shù)求導法才可以求出其導數(shù).在此，先介紹一下對數(shù)求導法的適用對象.對于特殊類型函數(shù)y=u（x）v（x） （它既不是指數(shù)函數(shù)，又不是冪函數(shù)，稱為冪指函數(shù)）或若干個因子通過乘、除、乘方和開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù).通常采用取對數(shù)化乘、除為加、減，化乘方、開方為乘積，變成隱函數(shù)，然后按隱函數(shù)求導法則求函數(shù)的導數(shù)，此方法稱為對數(shù)求導法.因此上述兩類函數(shù)就是其適用對象.

二、對數(shù)求導方法

對數(shù)求導法有如下兩個步驟：

第一步：將適用的函數(shù)兩邊取對數(shù)（并通過對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將其化簡為簡單式子，乘、除變加、減，乘方變倍數(shù)）.

第二步：利用隱函數(shù)求導法繼續(xù)對其求導.

三、實例解析

例1 y=x1-x1+x.

解 此題屬于若干個因子通過乘、除、乘方和開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)采用對數(shù)求導較簡單.

1.將函數(shù)兩邊取對數(shù)，得lny=ln|x|+12ln1-x-12ln1+x .

2.上式兩邊關(guān)于x求導得：1yy′=1x-12（1-x）-12（1+x） ，

即y′=y1x-11-x2=x1-x1+x1x-11-x2.

例2 y=xsinx.

解 此題屬于典型的冪指函數(shù)（冪在變，指數(shù)也在變），采用對數(shù)求導較簡單.

1.將函數(shù)兩邊取對數(shù)，得lny=sinxlnx.

2.兩邊關(guān)于x求導得：1yy′=cosxlnx+sinxx.

所以y′=y（cosxlnx+sinxx）=xsinxcosxlnx+sinxx

從以上兩個例子可以看出，利用對數(shù)求導法求這兩類函數(shù)的導數(shù)時，確實非常的簡單、方便.同時，我們大家也不難發(fā)現(xiàn)做題中涉及如下兩個方面：1.對數(shù)函數(shù)的真數(shù)需是正數(shù)，所以兩邊的對數(shù)函數(shù)的真數(shù)需加上絕對值.2.兩邊的函數(shù)需取對數(shù).在平時的教學中，也經(jīng)常有學生提出如下問題：1.取對數(shù)時能不能把絕對值符號去掉？2.能不能取其他正數(shù)為底的對數(shù)函數(shù)？

針對這兩個問題，經(jīng)過思考后，給出解答：

解答1：因為（ln|x|）′=1x，x>0-1-x，x<0=1x 和（lnx）′=1x，求導后的結(jié)果是一樣的，為避免出錯，取對數(shù)時是可以把絕對值符號去掉，簡化計算流程.

解答2：如果取以a為底的loga 的對數(shù)，而不是自然對數(shù)，以例2為題，則有l(wèi)ogay=sinxlogax，1y1lnay′=cosxlogax+sinxx1lna，y′=xsinx（cosxlnx+sinxx）.所以是可以取其他正數(shù)為底的對數(shù)函數(shù)的，但是取自然對數(shù)沒有多余的1lna的出現(xiàn)，簡化了計算流程.建議取自然對數(shù)，方便做題.

并且，再從這兩個解答對兩個實例進行分析.

例3 y=x1-x1+x.

解 此題屬于若干個因子通過乘、除、乘方和開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)采用對數(shù)求導較簡單.

1.將函數(shù)兩邊取對數(shù)，得lny=lnx+12ln（1-x）-12ln（1+x）.

2.上式兩邊關(guān)于x求導得：1yy′=1x-12（1-x）-12（1+x）

即y′=y（1x-11-x2）=x1-x1+x（1x-11-x2）.

例4 y=xsinx.

解 此題屬于典型的冪指函數(shù)（冪在變，指數(shù)也在變），采用對數(shù)求導較簡單.

1.將函數(shù)兩邊取對數(shù)，得logay=sinxlogax.

2.兩邊關(guān)于x求導，得1y1lnay′=cosxlogax+sinxx 1lna，

所以y′=xsinx（cosxlnx+sinxx）

同時，從這兩個解題中，我們總結(jié)成如下兩個注記：

注記1：對數(shù)求導法中，可不加絕對值符號.

注記2：對數(shù)求導法中，取自然對數(shù)較簡單.

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系編.高等數(shù)學（第六版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2007：1-88.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第三版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2001：98-100.

[3]劉廣軍，楊春華，耿玉霞.高等數(shù)學教程 [M].長春：吉林大學出版社，2010：42-43.