樊萬阜

【摘要】概念生成的核心，就是要讓學(xué)生在探索、辨析、感悟和運用中提升自己的數(shù)學(xué)思維，完善自己的知識體系，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)思想，以達到使學(xué)生獲得必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與最佳發(fā)展的目的.掌握了概念的根，就可以準確把握知識在不同教學(xué)階段的不同含義和不同的教學(xué)要求：先從實際模型抽象出概念，然后用數(shù)學(xué)方法研究性質(zhì)，最后運用模型解決問題.

【關(guān)鍵詞】概念生成；數(shù)學(xué)概念的核心；數(shù)學(xué)的本質(zhì)

概念生成的核心，就是要讓學(xué)生在探索、辨析、感悟和運用中提升自己的數(shù)學(xué)思維，完善自己的知識體系，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)思想，以達到使學(xué)生獲得必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與最佳發(fā)展的目的.可以說，概念生成的過程，就是數(shù)學(xué)精神的陶冶過程.另外，每一節(jié)數(shù)學(xué)課，每一個數(shù)學(xué)概念，又都不是孤立存在的，我們應(yīng)站在系統(tǒng)的高度來看待.也就是說，概念教學(xué)不能“就事論事”，只注重這個“點”，這樣只會“見木不見林”，應(yīng)該找到知識體系大樹中，概念的根深藏于什么位置，圍繞根來開展教學(xué)，這是概念生成的基礎(chǔ)，這樣會讓學(xué)生體會“數(shù)學(xué)概念推廣” 這一重要的數(shù)學(xué)思維過程.

學(xué)習(xí)一個新概念，首先應(yīng)讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)它的意義、作用.因此，教師應(yīng)設(shè)置合理的教學(xué)情景，使學(xué)生體會學(xué)習(xí)新概念的必要性.概念的引入，通常有兩類：一類是從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程引入，一類是從解決實際問題出發(fā)的引入.

從數(shù)學(xué)體系發(fā)展過程角度看，一些概念是從數(shù)學(xué)知識發(fā)展需要引入的.例如：在講分數(shù)指數(shù)冪時，我們的教材上只是給出定義：a1[]n=n[]a（a>0）.為什么引入分數(shù)指數(shù)冪呢？教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶我們學(xué)過的加、減、乘、除、乘方、開方的概念的引入，以及相反數(shù)、倒數(shù)的引入過程：乘法的引入，就是當多個因數(shù)相加時，為了簡化運算，引入乘法；當多個因數(shù)相乘時，為了簡化運算，引入乘方.還有一些看起來是規(guī)定的概念，也要讓學(xué)生了解其規(guī)定的合理性.相反數(shù)的引入，將加法和減法統(tǒng)一為加法；倒數(shù)的引入，將乘法和除法統(tǒng)一為乘法；那么分數(shù)指數(shù)冪的引入，將乘方和開方統(tǒng)一為乘方.這樣學(xué)生就好理解了.另外，許多新概念的研究是與與之相似的概念類比進行的.例如，類比指數(shù)的運算法則引出對數(shù)的運算法則，類比指數(shù)函數(shù)引出對數(shù)函數(shù)，等等.

從實際問題的角度來看，數(shù)學(xué)概念一般來源于實際問題的解決或數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，在其以定理、法則、公式這些冷冰冰的形式化知識展現(xiàn)的背后，隱藏著原始的、生動活潑的教學(xué)思維，這就是概念形成的目標.華羅庚教授說得好：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里去找材料，不要只看課本上的結(jié)論.”中學(xué)數(shù)學(xué)概念與實際生活有著密切的聯(lián)系，讓學(xué)生了解概念的實際背景，有利于學(xué)生認識學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的作用，同時也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)概念的引入就可以用學(xué)生熟悉的實際問題，如時間、速度、路程的關(guān)系；生產(chǎn)中的函數(shù)關(guān)系、氣溫變化、買賣商品中的函數(shù)關(guān)系等，引入函數(shù)概念.再如指數(shù)函數(shù)的引入，教師可以讓學(xué)生做一個折紙游戲：將一張厚度為0.1毫米的報紙進行對折1，2，3，…，30次，你知道會有多高嗎？若對折x次，得到高度為y，y與x 有怎樣的關(guān)系？學(xué)生很感興趣，動手去折，折到7～8次，就折不動了.用計算器算一算，對折30次，得到約為1087千米，并且得到y(tǒng)=2x（x>0）這個函數(shù).這樣引入，既讓學(xué)生體會到生活中的指數(shù)函數(shù)，而且感受到了指數(shù)函數(shù)增加的速度，體會指數(shù)爆炸.

如果課堂教學(xué)抓不住數(shù)學(xué)概念的核心，沒有前后一致、貫穿始終的數(shù)學(xué)思想主線，在學(xué)生沒有基本了解數(shù)學(xué)概念和思想方法時就進行大量解題操練，就會導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，學(xué)生花大量時間學(xué)數(shù)學(xué)，做無數(shù)的練習(xí)，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍很脆弱.例如，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)后，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小：（1.7）2.5，（1.7）3，學(xué)生能夠做對，但是說不清楚為什么.學(xué)生知道利用的是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，卻把（1.7）2.5，（1.7）3這兩個數(shù)當成函數(shù)，說明學(xué)生對于函數(shù)概念、函數(shù)值、用函數(shù)觀點看問題，都需要再次理解.因此，一個概念的學(xué)習(xí)，不僅僅是一節(jié)概念課就能完成的，對概念的理解與掌握是一個循序漸進的過程，需要在概念課的后繼課程中不斷地反復(fù)應(yīng)用，不斷地加深理解.

那么，我們在做教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)該怎么辦呢？ 首先問自己幾個問題：（1）概念的來源理清了嗎？（2）概念的內(nèi)涵與外延是什么？（3）與之相關(guān)概念的相互關(guān)系是什么？（4）概念有什么文化作用？例如，向量概念，高中階段數(shù)學(xué)和物理所使用的傳統(tǒng)定義是：向量是一種既有大小又有方向的量.物理中的向量概念又叫矢量，例如速度、加速度、力等就是這樣的量，它是有自己的準確含義的；數(shù)學(xué)中的向量概念，它舍棄了物理中的實際意義，抽象為數(shù)學(xué)中的概念，強調(diào)的是向量的幾何意義.又如角的概念的推廣、復(fù)數(shù)的引入等我們都可以這樣處理.

掌握了概念的根，就可以準確把握知識在不同教學(xué)階段的不同含義和不同的教學(xué)要求：先從實際模型抽象出概念，然后用數(shù)學(xué)方法研究性質(zhì)，最后運用模型解決問題，這樣就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，突出了數(shù)學(xué)的來龍去脈，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而形成對數(shù)學(xué)的完整認識.