高廣河 謝愛(ài)菊

【摘要】 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷參與特定的教學(xué)活動(dòng)，獲得一些體驗(yàn). ”應(yīng)用題教學(xué)就是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解決日常生活和生產(chǎn)中簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題能力的重要途徑，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的思維能力和良好的思維品質(zhì)等多方面都具有重要意義，是各級(jí)各類(lèi)考試的必考題型之一.

【關(guān)鍵詞】 應(yīng)用題；思路；解法

應(yīng)用題的解決方法很多，歸類(lèi)解決是一種比較好的方法，我們這里主要總結(jié)工程問(wèn)題的解決辦法. 工程問(wèn)題的基本量有：工作總量、工作效率、工作時(shí)間. （1）一般公式：工作效率 × 工作時(shí)間 = 工作總量；工作總量÷工作時(shí)間 = 工作效率；工作總量÷工作效率 = 工作時(shí)間. （2）用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問(wèn)題的公式：工作效率 = 1 ÷ 工作時(shí)間；工作時(shí)間 = 1 ÷ 工作效率. （3）常見(jiàn)的相等關(guān)系有兩種：①如果以工作量作相等關(guān)系，部分工作量之和 = 總工作量；②如果以時(shí)間作相等關(guān)系，完成同一工作的時(shí)間差 = 多用的時(shí)間.

工程問(wèn)題主要表現(xiàn)為兩個(gè)工程隊(duì)在“修路筑橋、開(kāi)挖河渠”等工作中的時(shí)間安排.

例1 加工某種工件，甲單獨(dú)工作要20天完成，乙只要10天就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù). 問(wèn)乙需工作幾天后甲再繼續(xù)單獨(dú)加工才可正好按期完成任務(wù)？

講評(píng)：將全部任務(wù)的工作量看作整體1，由甲、乙單獨(dú)完成的時(shí)間可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設(shè)乙需工作x 天，則甲再繼續(xù)加工（12 - x）天，乙完成的工作量為，甲完成的工作量為，依題意有 + = 1，∴ x = 8.

從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來(lái)看，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題是一樣的.水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問(wèn)題，不過(guò)是工作量有加有減罷了.因此，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題的解題思路基本相同.

例2 一水池裝有甲、乙、丙三個(gè)水管，甲、乙是進(jìn)水管，丙是排水管，甲單獨(dú)開(kāi)需10小時(shí)注滿(mǎn)一池水，乙單獨(dú)開(kāi)需6小時(shí)注滿(mǎn)一池水，丙單獨(dú)開(kāi)15小時(shí)放完一池水. 現(xiàn)在三管齊開(kāi)，需多少時(shí)間注滿(mǎn)水池？

講評(píng)：由題設(shè)可知，甲、乙、丙工作效率分別為，，-（進(jìn)水管工作效率看作正數(shù)，排水管效率則記為負(fù)數(shù)），設(shè)x小時(shí)可注滿(mǎn)水池，則甲、乙、丙的工作量分別為，，-，三水管完成整體工作量為1，依題意有 + - =1，∴ x = 5.

所列方程為分式方程時(shí)，檢驗(yàn)時(shí)要分兩個(gè)方面，一是檢驗(yàn)所求的解是否是原方程的解，二是檢驗(yàn)是否符合題意.

例3 一件工作，如果甲單獨(dú)做，那么甲按規(guī)定時(shí)間可提前2天完成，乙則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天才完成. 現(xiàn)在甲乙二人合作兩天后，剩下的乙單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成. 若甲乙二人合作，完成工作需多長(zhǎng)時(shí)間？

講評(píng)：設(shè)規(guī)定時(shí)間為x天，則甲單獨(dú)要（x - 2）天，乙單獨(dú)要（x + 3）天，甲一共做了2天，乙一共做了x天， 依題意有2 × + = 1，∴ x = 12. 經(jīng)檢驗(yàn)x = 12是原方程的解，并符合題意. 所以規(guī)定要12天完成.

1 ÷ + = 1 ÷ = 6天. ∴兩人合作完成要6天.

有的情況下，工程問(wèn)題并不表現(xiàn)為兩個(gè)工程隊(duì)在“修路筑橋、開(kāi)挖河渠”，甚至?xí)憩F(xiàn)為“行程問(wèn)題”“經(jīng)濟(jì)價(jià)格問(wèn)題”等等，工程問(wèn)題不僅指一種題型，更是一種解題方法.

例4 兩列火車(chē)同時(shí)從甲、乙兩地同時(shí)相對(duì)開(kāi)出.慢車(chē)行完全程需要20小時(shí)，快車(chē)行完全程需要10小時(shí).開(kāi)出后8小時(shí)兩車(chē)相遇.已知快車(chē)中途停留1小時(shí)，慢車(chē)中途停留了幾小時(shí)？

講評(píng)：該題一看是行程問(wèn)題，但沒(méi)有具體的路程，可以用工程問(wèn)題來(lái)解題. 把總路程看成整體1. 慢車(chē)的工作效率為，快車(chē)的工作效率為，設(shè)慢車(chē)停留了x小時(shí). 依題意有 + = 1，∴ x = 2.

例5 一項(xiàng)工程甲乙兩公司合作12天可以完成，共需要付施工費(fèi)102000元，如果甲乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，乙公司所用時(shí)間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費(fèi)比甲公司每天的施工費(fèi)少1500元. （1）甲、乙兩公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天？ （2）若讓一個(gè)公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程哪個(gè)公司施工費(fèi)較少？

講評(píng)： （1）設(shè)甲公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，則乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需1.5x天.根據(jù)題意，得 + = ，解得x = 20. 經(jīng)檢驗(yàn)x = 20是原方程的解，并符合題意. 5x = 30. 甲公司單獨(dú)做用20天，乙用30天. （2）設(shè)甲公司每天的施工費(fèi)為y元，則乙公司每天的施工費(fèi)為（y - 1500）元. 根據(jù)題意，得12（y + y - 1500） = 102000，解得y = 5000. 甲公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的施工費(fèi)：20 × 5000 = 100000（元），乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的施工費(fèi)：30 × （5000 - 1500） = 105000（元）；100000元 < 105000元，故甲公司的施工費(fèi)較少. 總之，題目中只出現(xiàn)時(shí)間量時(shí)，可以看成工程問(wèn)題，解決工程問(wèn)題，把整個(gè)工程當(dāng)作單位1，以時(shí)間的倒數(shù)作為工效是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.