劉麗華　黃曉宇

摘 要：數(shù)學(xué)最優(yōu)化方法是解決環(huán)境管理問(wèn)題的一種常用手段。而對(duì)于普遍存在沖突與妥協(xié)等問(wèn)題的環(huán)境管理領(lǐng)域，博弈論也是一種重要的應(yīng)用手段。目前，污水處理廠作為我國(guó)常見的排污個(gè)體，因其管理受各種限制，未能實(shí)現(xiàn)環(huán)境-成本的最優(yōu)化。本文從該角度，將最優(yōu)化理論與合作博弈理論結(jié)合，通過(guò)研究排污量-成本的分配模型，以同一流域范圍內(nèi)的不同排污口為基礎(chǔ)，為改變常用平均分?jǐn)偡▽?dǎo)致成本較高的弊端，建立了排污口處理率分配優(yōu)化模型，并通過(guò)數(shù)學(xué)方法，求得了該二次規(guī)劃問(wèn)題的解析解。同時(shí)，使用Shapley值法對(duì)聯(lián)盟獲得的收益（即減少的成本）進(jìn)行再分配，使各參與成員的成本對(duì)比參與聯(lián)盟前有所降低。本文以粵西漠陽(yáng)江流域范圍內(nèi)的春灣、合水、春城三家污水處理廠為實(shí)例，進(jìn)行了模型應(yīng)用驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞： 最優(yōu)化方法 合作博弈 分配模型

在社會(huì)發(fā)展過(guò)程中，水資源已成為影響區(qū)域發(fā)展的重要資源，流域范圍內(nèi)水資源利用的沖突，歸根就是各利益主體的水資源開發(fā)利用和水環(huán)境保護(hù)合作問(wèn)題。解決流域環(huán)境問(wèn)題沖突時(shí)，排污權(quán)分配是一個(gè)重要問(wèn)題，一般以多目標(biāo)優(yōu)化模型為技術(shù)手段，以達(dá)到流域全局最優(yōu)策略；但各個(gè)主體的既得利益也不能忽視，如何通過(guò)談判達(dá)到多贏效果也是一個(gè)重要問(wèn)題。因此，博弈論也被廣泛應(yīng)用于流域內(nèi)的排放、分配問(wèn)題的研究。污水處理廠作為我國(guó)常見的排污個(gè)體，由于種種原因仍處粗放式管理，同一流域的污水處理廠，可能存在地域性的不公平，未能達(dá)到整體的最優(yōu)化。本研究從這個(gè)角度切入，通過(guò)建立最優(yōu)化-合作博弈模型，研究了同一流域內(nèi)不同污水處理廠的排污量分配及利益分配方案，實(shí)現(xiàn)區(qū)域整體最優(yōu)化，并通過(guò)利潤(rùn)再分配減少了各參與主體的成本。

1 文獻(xiàn)綜述

目前我國(guó)在控制改善環(huán)境質(zhì)量方面，污染物總量控制制度發(fā)揮著重要作用?；诳偭靠刂葡碌暮恿髋盼蹤?quán)分配，我國(guó)學(xué)者利用優(yōu)化模型進(jìn)行研究，如陳陽(yáng)[1]等研究了一種基于相互補(bǔ)償?shù)膮f(xié)商分配模型。劉首文[2]等、黃國(guó)如[3]等以基本遺傳算法求解多個(gè)排放口的最優(yōu)化處理問(wèn)題。王艷[4]運(yùn)用最優(yōu)控制原理與博弈論，研究了流域水環(huán)境管理的區(qū)域間自愿合作協(xié)商促進(jìn)機(jī)制。劉紅剛[5]等采用合作博弈論方法，建立了在給定污染物總削減比例條件下各區(qū)域環(huán)境合作的博弈模型。在國(guó)外方面，Deininger[6]使用線性規(guī)劃方法研究了在保證預(yù)設(shè)水質(zhì)要求的條件下污染負(fù)荷的最優(yōu)分布。Liebman和Lynn[7]、Shih[8]使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃識(shí)別了污染負(fù)荷沿著一條河流的最優(yōu)分布。Loucks等[9]建議對(duì)于同一類問(wèn)題推廣線性規(guī)劃方法。Ecker[10]提出了一個(gè)幾何規(guī)劃模型，并用于在維持現(xiàn)狀溶解氧水平的基礎(chǔ)上優(yōu)化河流污染負(fù)荷分配，以達(dá)到處理費(fèi)用最小化。CardweIJ和Ellis[11]提出了一種最優(yōu)化模型，用于在考慮參數(shù)不確定性和模型不確定性的清況下，進(jìn)行多個(gè)點(diǎn)源的污染負(fù)荷分配?？傮w來(lái)說(shuō)，國(guó)外對(duì)環(huán)境沖突問(wèn)題的研究日漸深入，博弈論在國(guó)外環(huán)境科學(xué)領(lǐng)域的研究成果非常豐富，提出過(guò)包括流域污染微分博弈的旁支付方法、流域污染多階段超級(jí)博弈模型等方法，幾乎博弈論的每一個(gè)最新成果，在環(huán)境問(wèn)題中都能找到應(yīng)用實(shí)例。

2 區(qū)域污染物排放量最優(yōu)化分配模型

2.1 問(wèn)題提出

假設(shè)某一流域存在n個(gè)排污口，如n個(gè)污水處理廠。將每個(gè)排污口作為整個(gè)博弈系統(tǒng)的一個(gè)參與者，則所有的參與者形成一個(gè)集合I 。在給定集合I排放總量情況下，如何分配集合內(nèi)部各參與者（排污口）之間污染物排放量，并盡可能使其節(jié)約成本。其中，不同的參與者用i（i =1， 2， ...， n）表示，其排放量用s表示，各排污口的處理率為η。

由于η為各排污口的處理率，因此可將ηi稱為各個(gè)參與者（排污口）i的處理策略，將I=（n1，n2，...，nn）稱為參與者的策略集。

通常，各污水處理廠的污水處理費(fèi)用，也就是參與者i的成本可以用下式來(lái)表達(dá)：

區(qū)域內(nèi)總排污成本為：

其中，M表示處理成本，η表示污水廠的處理率，q表示流量，a、b、c分別為參數(shù)，具體由于各地區(qū)不同工藝設(shè)備、成本控制、排污流量等因素而產(chǎn)生差異，需通過(guò)具體調(diào)查確定。對(duì)于同一污水處理廠，若當(dāng)?shù)毓芾碚咭笪廴疚锵鳒p量越大時(shí)，則要更大幅度地提高污染物的處理率，以達(dá)到更高的治理要求，則處理成本Mi越高。

一般來(lái)說(shuō)，在形成合作聯(lián)盟之前，各個(gè)參與者間無(wú)好的信息交流或合作協(xié)議，較為公正的排污分配方案是統(tǒng)一采用平均分?jǐn)偡?，例如，每個(gè)排污口都采取相同處理率。此時(shí)則有：

其中，上標(biāo)N代表為非合作狀態(tài)。式2-4即為采用平均分?jǐn)偡桨盖闆r下的總成本。

平均分?jǐn)倢?duì)于每個(gè)參加者來(lái)說(shuō)或許是公平的，但這其實(shí)是因各參與者間缺乏信息共享、沒有形成統(tǒng)一聯(lián)盟，而形成一個(gè)整體高成本的Nash均衡的博弈結(jié)果，即所謂的“囚徒困境”。根據(jù)合作博弈理論，其結(jié)果必定符合Pareto最優(yōu)，通過(guò)形成協(xié)議聯(lián)盟進(jìn)行合作，降低總體成本，獲得額外利益，并進(jìn)一步將收益公平合理分配，從而使各個(gè)參與者合作后的成本都低于合作前的成本，這種做法是完全可以實(shí)現(xiàn)的。

當(dāng)采取合作時(shí)，則總體成本存在最優(yōu)化模型：

其中，約束條件（2-6）表示進(jìn)行區(qū)域合作后的排污量必須到達(dá)規(guī)定排污量削減指標(biāo)。約束條件（2-7）表示處理率的范圍在0-1之間。

此外，根據(jù)合作博弈的定義，該聯(lián)盟合作后的成本必須小于合作前各成員單干的成本，否則該聯(lián)盟的形成就沒有意義。因此還有下式成立：

2.2 優(yōu)化模型解析解

3 合作博弈分配模型

3.1 優(yōu)化模型存在問(wèn)題

經(jīng)過(guò)優(yōu)化模型分配后的排放量，雖然在整體經(jīng)濟(jì)效益上最優(yōu)的，但對(duì)于參與的各個(gè)成員來(lái)說(shuō)，則未必最優(yōu)。最優(yōu)化的結(jié)果通常為大部分參與成員成本下降，某些參與成員反而成本上漲。因此對(duì)這些成員來(lái)說(shuō)，他們沒有真正參與合作的動(dòng)機(jī)，聯(lián)盟也就不能成立。因此，要保證聯(lián)盟成立，統(tǒng)一優(yōu)化過(guò)程可行，還需進(jìn)一步對(duì)聯(lián)盟得到的利潤(rùn)進(jìn)行科學(xué)合理的分配，使每個(gè)參與成員的成本在參與聯(lián)盟后都比參與前有所降低，確保聯(lián)盟合作的可行性。

在這個(gè)聯(lián)盟中，Z（I）是所有參與者都參與的大聯(lián)盟，同時(shí)，任意參與者都可能會(huì)形成一個(gè)子聯(lián)盟，該子聯(lián)盟是大聯(lián)盟集合I的真子集。因此，若存在n個(gè)參與者，則共可以形成2n個(gè)子聯(lián)盟。設(shè)某個(gè)參與者的子集合K形成的博弈聯(lián)盟為Z（K）。

定義V為聯(lián)盟所獲得的收益，則V（I）為大聯(lián)盟所獲得的收益，V（K）為子聯(lián)盟所獲得的收益。用pi表示參與成員i從聯(lián)盟最大收益值中V（I）應(yīng)獲得的利潤(rùn)，集合P=（p1，p2，…pi）稱為該合作博弈的分配策略。根據(jù)合作博弈的定義，pi應(yīng)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

（1）整體合理性：

即每個(gè)參與者所分配到的額外收益，等于整個(gè)合作聯(lián)盟比合作前增加的額外收益的總和。

（2）個(gè)體合理性：

即每個(gè)參與者參與聯(lián)盟后得到的收益，應(yīng)當(dāng)高于他未參加合作時(shí)（即單干時(shí)）所獲得的收益，否則該成員沒有參與聯(lián)盟的動(dòng)機(jī)。

3.2 博弈模型的求解

因此，要對(duì)合作聯(lián)盟得到的利潤(rùn)進(jìn)行合理分配，就是要求解滿足上述條件的pi的過(guò)程。合作博弈模型的求解方法比較多，本文主要選擇Shapley值法與核心法，分別進(jìn)行求解。

對(duì)于一個(gè)聯(lián)盟來(lái)說(shuō)滿足式（3-1）及式（3-2）的分配方案有很多種，在一般情況下，或在強(qiáng)有力的約束協(xié)議下，只要滿足上述兩式條件的分配方案都可以被參與成員接受。但是如果聯(lián)盟協(xié)議的約束力并不強(qiáng)，并假設(shè)所有參與者都追逐最大利益的情況下，則還要考慮子聯(lián)盟的情況。若有數(shù)個(gè)參與者發(fā)現(xiàn)當(dāng)他們組成一個(gè)小聯(lián)盟后，獲得的收益比參與大聯(lián)盟時(shí)要更高，這樣他們就不會(huì)參與大聯(lián)盟，而形成收益更高的小聯(lián)盟了，而大聯(lián)盟也就隨之不能成立。因此，在這種情況下，大聯(lián)盟的分配必須保證每個(gè)成員的的收益都高于他任何可能參與的小聯(lián)盟的收益，才能保證大聯(lián)盟的穩(wěn)定性。

由于核心是滿足以上所有條件的解集，因此理論上來(lái)說(shuō)核心內(nèi)的解才是最符合聯(lián)盟收益最大化的。從滿足整體合理性及個(gè)人合理性的角度來(lái)說(shuō)，以核心作為分配策略才最為合理。但遺憾的是，由于要求過(guò)高，核心的解集往往是空集，從而大大限制了核心法的運(yùn)用，因此只能尋求其他的妥協(xié)方法進(jìn)行求解，從而求得到相對(duì)公平的分配策略。

Shapley值法是一個(gè)重要的求解方法之一，其可確保得到合作博弈的唯一解。其結(jié)果可能在核心集合內(nèi)，也可能在核心集合外，但能保證存在唯一解。事實(shí)上，Shapley值法是對(duì)于該博弈聯(lián)盟的每個(gè)參與者，考察其對(duì)所有可能存在的子聯(lián)盟的貢獻(xiàn)率及其概率大小，按照該貢獻(xiàn)率給出參與者在聯(lián)盟博弈中的一個(gè)分配方式。Shapley值由特征函數(shù)V確定，特征函數(shù)V即該聯(lián)盟合作后獲得的額外利潤(rùn)。由于當(dāng)聯(lián)盟中僅存在一人時(shí)，即相當(dāng)于該參與者單干，因此他采取的策略仍為平均分?jǐn)偡〞r(shí)的策略，即η。由此可知，當(dāng)聯(lián)盟K為單參與者i時(shí)，V（i）= 0。

綜上所述，根據(jù)最優(yōu)化結(jié)果得到的分配方案建立的博弈模型，是以求解分配方案P=（p1，p2，…pi）為目標(biāo)。首先必須求得聯(lián)盟的特征函數(shù)V，包括大聯(lián)盟I的特征函數(shù)，以及所有子聯(lián)盟K的特征函數(shù)。隨后根據(jù)式（3-3）（3-4）（3-5），尋找該博弈模型的核心，看是否為空集。

一般情況下都采用Shapley值法進(jìn)行求解博弈模型，因其是根據(jù)成員貢獻(xiàn)來(lái)進(jìn)行收益分配，且一定有解，解可能在核心集合內(nèi)。Shapley值法可根據(jù)以下公式進(jìn)行求解：

上式中，Pi即為Shapley值。|K|為博弈聯(lián)盟K所含的元素個(gè)數(shù)，V（K）表示包含參與者i的聯(lián)盟K的博弈特征函數(shù)，V（K＼i）表示在聯(lián)盟K中，若將參與者i除去后，剩余參與者組成的博弈聯(lián)盟的特征函數(shù)。

4 研究案例

4.1 案例現(xiàn)狀及參數(shù)選取

本研究選用粵西陽(yáng)春市漠陽(yáng)江流域。參考《粵西水質(zhì)保護(hù)規(guī)劃》，根據(jù)不同規(guī)劃年限城鎮(zhèn)生活污水處理率的要求，綜合考慮水污染源預(yù)測(cè)結(jié)果、污水處理廠建設(shè)規(guī)劃現(xiàn)狀、削減量，提出的漠陽(yáng)江流域城鎮(zhèn)污水處理工程建設(shè)方案中的重點(diǎn)規(guī)劃項(xiàng)目，漠陽(yáng)江上游的春灣污水處理廠于2010年新建，處理規(guī)模1.0萬(wàn)t/d，2020年將擴(kuò)建至2.5萬(wàn)t/d；合水污水處理廠于2010年新建，處理規(guī)模1.0萬(wàn)t/d，2020年將擴(kuò)建至1.5萬(wàn)t/d；春城污水處理廠與2010年擴(kuò)建至規(guī)模4萬(wàn)t/d，2020年將擴(kuò)建至8.0萬(wàn)t/d。本研究將采用以上污水處理廠2020年數(shù)據(jù)。

根據(jù)上級(jí)單位分配給陽(yáng)春市的“十一五”COD排放總量，規(guī)劃提出近年內(nèi)COD目標(biāo)總量控制方案，見下表。

表4-1 漠陽(yáng)江陽(yáng)春市流域COD總量控制目標(biāo)

本研究采用2020年COD允許排放量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

此外，由2.1節(jié)可知，污水處理廠的處理率參數(shù)a、b、c，具體由于各地區(qū)不同工藝設(shè)備、成本控制、排污流量等因素而產(chǎn)生差異。根據(jù)文獻(xiàn)調(diào)查，式（2-5）中的污水處理參數(shù)a=200，b=1000，c=0.8，污水處理廠進(jìn)水COD濃度為650mg/L。

4.2 最優(yōu)化方法求解排污量分配

根據(jù)上節(jié)，至2020年時(shí)三個(gè)污水處理廠運(yùn)行規(guī)模，可以算出每個(gè)污水處理廠的平均排污流量（春灣污水處理廠為1，合水污水處理廠為2，春城污水處理廠為3，下同）及COD產(chǎn)生量。又根據(jù)表3-2，由于2020年該流域內(nèi)COD允許排放量為6686t，因此總的COD處理率應(yīng)至少達(dá)到0.77。在形成合作之前，為公平起見，每個(gè)污水處理廠都采取相同的處理效率，即都采取77%的削減率，這能達(dá)到管理者的要求。在這種情況下，根據(jù)式（2-1），各廠的成本分別為：

即，1號(hào)參與者采用0.56的處理率，2號(hào)參與者采用0.52的處理率，3號(hào)參與者采用0.88的處理率時(shí)，可以使總成本達(dá)到最小。相比起采用平均分?jǐn)偡ǖ牟呗?，總體成本共節(jié)省了45.45萬(wàn)元。

但是如果直接采用這種方法的話，會(huì)使1號(hào)、2號(hào)參與者的成本有較大的降低，而使3號(hào)參與者的成本有較大的提升，這樣3號(hào)參與者必定不會(huì)同意這種聯(lián)盟的實(shí)現(xiàn)。因此，為了使得合作順利實(shí)現(xiàn)，必須對(duì)合作帶來(lái)的收益（即經(jīng)集體規(guī)劃后節(jié)省下來(lái)的資金）用合作博弈模型重新進(jìn)行分配，使各個(gè)參與者在參加聯(lián)盟后都有所收益，才能保證聯(lián)盟的順利進(jìn)行，保證最優(yōu)化分配的可行性。

4.3 合作博弈模型求解分配方案

5 結(jié)語(yǔ)

本論文對(duì)在同一流域的不同排污口之間的排污量最優(yōu)化分配模型及成本分配的合作博弈模型上進(jìn)行了研究。以同一流域內(nèi)的不同排污口為基礎(chǔ)，為改變平均分?jǐn)偡▽?dǎo)致成本較高的弊端，在達(dá)到管理者要求的處理率的前提下，以總體成本最小為目標(biāo)，建立了排污口處理率分配優(yōu)化模型，并通過(guò)數(shù)學(xué)方法，求得了該二次規(guī)劃問(wèn)題的解析解。由于最優(yōu)化的結(jié)果通常為大部分參與成員成本下降，而某些參與成員反而出現(xiàn)成本上漲，因此這些成員沒有真正參與合作的動(dòng)機(jī)，聯(lián)盟也就不能成立。為保證聯(lián)盟成立使得統(tǒng)一優(yōu)化過(guò)程可行，通過(guò)建立合作博弈的模型，并使用核心解法及Shapley值法，進(jìn)一步對(duì)聯(lián)盟得到的額外收益進(jìn)行科學(xué)合理的分配，使得每個(gè)參與聯(lián)盟成員的成本都比參與前降低。根據(jù)粵西漠陽(yáng)江流域陽(yáng)春市范圍內(nèi)的春灣、合水、春城三家污水處理廠，以當(dāng)?shù)毓芾碚咛岢龅腃OD排放總量控制要求，用合作實(shí)例用模型進(jìn)行了驗(yàn)證分析。在滿足COD最大允許排放量的情況下，通過(guò)組成統(tǒng)一聯(lián)盟，進(jìn)行處理率最優(yōu)化，以及采用合作博弈進(jìn)行收益分配后，春灣、合水、春城三家污水處理廠分別采用56%、52%及88%的處理率，取代之前的平均分?jǐn)偡?，使得處理成本分別比合作前降低了11.79、10.69及22.97萬(wàn)，分別占總成本比例的4.01%、5.56%和3.86%?？梢?，通過(guò)合作降低成本的做法是有效的。

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