陳薛琴

【摘要】本文以用“幾何畫板”探求點(diǎn)的軌跡問題為切入點(diǎn)，論述用“幾何畫板”進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)。這種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的步驟是：從實(shí)例出發(fā)——用“幾何畫板”進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作——分析驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)規(guī)律——提出猜想、假設(shè)——進(jìn)行證明——再進(jìn)一步探究拓展。

【關(guān)鍵詞】探究式學(xué)習(xí) 幾何畫板 點(diǎn)的軌跡

利用幾何畫板“探求點(diǎn)的軌跡教學(xué)”可以在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生獨(dú)立或分組進(jìn)行觀察和分析，不必用“教師講學(xué)生聽”的傳統(tǒng)教學(xué)方式進(jìn)行。實(shí)現(xiàn)了即充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用、又使學(xué)生成為學(xué)習(xí)主體的效果，是一個(gè)讓學(xué)生自主進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)的直觀環(huán)境，創(chuàng)造出了一種新型的探究式學(xué)習(xí)課堂教學(xué)模式?！按龠M(jìn)有效學(xué)習(xí)”的課堂變革。

問題是思維的起點(diǎn)，是學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行探索的動(dòng)力，我們先來看一個(gè)具體的問題。

問題：D是圓A上的動(dòng)點(diǎn)，C是圓A上的一個(gè)定點(diǎn)，問線段CD的中點(diǎn)M的軌跡是什么圖形？

[進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作]用幾何畫板進(jìn)行探究中點(diǎn)M的軌跡

探究1：拖動(dòng)點(diǎn)C使它分別位于圓A內(nèi)部，圓A外部，此時(shí)，CD中點(diǎn)M的軌跡分別是什么圖形？

[發(fā)現(xiàn)規(guī)律]點(diǎn)M的軌跡均為圓如（圖1-4）。

[提出猜測(cè)]這些軌跡是不是半徑相等的圓！

[從感性上升到理性]

由學(xué)生集體討論分析為什么？觀察幾何性質(zhì)，尋找?guī)缀侮P(guān)系，進(jìn)行合情推理，并證明你的結(jié)論。

證明：取AC的中點(diǎn)O，OM=1/2AD為定值，所以M的軌跡為以O(shè)為圓心圓A半徑一半長(zhǎng)為半徑的圓。

探究2：若C是圓A內(nèi)一定點(diǎn)，問線段CD的垂直平分線與半徑AD的交點(diǎn)F的軌跡圖形是什么？

用幾何畫板進(jìn)行探究式得點(diǎn)F的軌跡為橢圓（如圖5），由學(xué)生集體討論分析為什么？

證明：因?yàn)镋F為線段CD的中垂線，由中垂線的性質(zhì)

FD=FC 所以 FA+FC=FA+FD=AD其中AD為定值，點(diǎn)A與點(diǎn)C為定點(diǎn)，且AC

探究3：若拖動(dòng)點(diǎn)C到圓A外部，問線段CD的垂直平分線與半徑AD所在直線的交點(diǎn)F的軌跡圖形是什么？

用幾何畫板進(jìn)行探究式得點(diǎn)F的軌跡為雙曲線（如圖6），由學(xué)生進(jìn)一步分析為什么？

證明：因?yàn)镋F為線段CD的中垂線，由中垂線的性質(zhì)

FD=FC 所以 其中R為定值，點(diǎn)A與點(diǎn)C為定點(diǎn)，且AC>AD根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)F的軌跡是以點(diǎn)A，C焦點(diǎn)，R為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線.

[總結(jié)交流]用“幾何畫板”的動(dòng)態(tài)功能，探究點(diǎn)的軌跡，通過觀察軌跡幾何圖形，尋找?guī)缀尾蛔冴P(guān)系，利用圓、橢圓、雙曲線的定義判定軌跡，進(jìn)而寫出軌跡方程。

[拓展探究]

探究4：若C是圓A內(nèi)一定點(diǎn)，線段CD的垂直平分線與半徑AD的交于點(diǎn)F，在直線CF上任取一點(diǎn)L（不是C點(diǎn)）探求點(diǎn)L的軌跡是什么？

用幾何畫板進(jìn)行探究得軌跡為橢圓（如圖7）.

探究5：若拖動(dòng)點(diǎn)C到圓A外部，線段CD的垂直平分線與半徑AD所在直線的交于點(diǎn)F在直線CF上任取一點(diǎn)L（不是C點(diǎn)）點(diǎn)L的軌跡又會(huì)是什么呢？

用幾何畫板進(jìn)行探究得軌跡為雙曲線（如圖8）.

利用幾何畫板不僅可以讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，還可以讓學(xué)生主動(dòng)探究，這樣圓中相關(guān)的軌跡問題就成為一個(gè)開放性問題。

以下學(xué)生自主探究?jī)?nèi)容（讓學(xué)生猜想探究，用幾何畫板演示）

自主探究1：在直線EF上取一點(diǎn)S，探求點(diǎn)S的軌跡（如圖9）。

自主探究2：在直線CD上取一點(diǎn)T，過T點(diǎn)作CD的垂線TQ交直線AD與Q，探求點(diǎn)Q的軌跡（如圖10）。

波利亞說，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與任何其它知識(shí)的創(chuàng)造過程一樣，在證明一個(gè)定理之前，先得猜想，發(fā)現(xiàn)出這個(gè)定理的內(nèi)容，在它全面作出詳細(xì)的證明之前，還得不斷檢驗(yàn)，完善，修改所提出的猜想，還得推測(cè)證明的思路，在這一系列的工作中，需要充分運(yùn)用的不是論證推理，而是合情推理.利用“幾何畫板”的動(dòng)態(tài)功能進(jìn)行探究點(diǎn)的軌跡學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中觀察幾何規(guī)律，作出猜想，進(jìn)行合情推理。如在軌跡問題探究1中，改變定點(diǎn)C的位置，線段CD的中點(diǎn)軌跡都是一個(gè)圓，學(xué)生在觀察中找出規(guī)律，推理出軌跡圓的半徑都為定圓的一半，這樣的幾何不變關(guān)系。

利用“幾何畫板”進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)的模式

從實(shí)例出發(fā)——用“幾何畫板”進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作——分析驗(yàn)證、發(fā)現(xiàn)規(guī)律——提出猜想、假設(shè)——進(jìn)行證明——再進(jìn)一步探究拓展。

【參考文獻(xiàn)】

任長(zhǎng)松 《探究式學(xué)習(xí)》 教育科學(xué)出版社 2005年2月