高云天

【摘要】常微分方程在諸多領(lǐng)域中都有著重要的應(yīng)用，本文主要研究在物體冷卻問題中建立常微分方程的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的思想，從而更便捷的解決相應(yīng)問題.

【關(guān)鍵詞】常微分方程;物體冷卻;數(shù)學(xué)模型

1.物體冷卻問題中常微分方程的數(shù)學(xué)模型

1.1常微分方程的定義

常微分方程是聯(lián)系自變量和未知函數(shù)以及未知量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的等式，其中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分形式必須出現(xiàn)在方程等式中，而且未知函數(shù)只受到一個(gè)自變量的變化而變化，則該方程稱為常微分方程.

常微分方程中待定函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)成為該方程的階，n階常微分方程的一般形式為：F（x，y，y′，y″…，y^（n））=0或y^（n）=F（x，y，y′，y″，…，y（^n-1））.

1.2牛頓冷卻定律

牛頓冷卻定律 溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時(shí)所遵循的規(guī)律.當(dāng)物體表面與周圍存在溫度差時(shí)，單位時(shí)間從單位面積散失的熱量與溫度差成正比.

推論2.1.1 溫度高于周圍環(huán)境的物體，它自身的溫度變化率與物體自身溫度和當(dāng)時(shí)周圍溫度的差成正比.

1.3模型的建立

假設(shè)一個(gè)物體的溫度為T，周圍環(huán)境溫度為Q（假設(shè)環(huán)境溫度一直保持不變），比例常數(shù)為λ，t為時(shí)間.

分析：物體的溫度的變化率為未知函數(shù)溫度T對(duì)自變量時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，即為dTdt，在根據(jù)推論1.1.1可以列出常微分方程，即得到物體溫度變化率的模型：

dTdt=-λ（T-Q）

（1.3.1）

對(duì)上式方程進(jìn)行分離變量[2]：

dTdt=-λ（T-Q）dTT-Q=-λdt.

對(duì)上式方程兩邊同時(shí)求積分：

∫dTT-Q=∫ λdtlnT-Q=-λt+C.

（C為任意常數(shù)）

elnT-Q=e-λt+c±（T-Q）=e-λt+cT-Q=±e-λt+cT-Q=±ece-λtT-Q=Ke-λt.

（K=±ec，為常數(shù)）

整理可以得到物體溫度T隨時(shí)間t變化的數(shù)學(xué)模型：

T=Q+Ke-λt（K=±ec，為常數(shù)）.

（1.3.2）

設(shè)物體的初始溫度為T0，當(dāng)t1時(shí)刻的物體溫度為T1的時(shí)候有：

T0=Q+Ke-λ×0K=T0-Q，

T1=Q+Ke-λt1T1=Q+（T0-Q）e-λt1

T1-QT0-Q=e-λt1lnT1-QT0-Q=lne-λt1-λt1=lnT1-QT0-Qt1=-lnT1-QT0-Qλ.

從而將模型（1.3.2）變?yōu)椋?/p>

T=Q+T0-QelnT1-QT0-Qλ×t.

（1.3.3）

此模型說明，只要測(cè)量出周圍環(huán)境溫度，物體初始溫度，以及物體冷卻過程中任意時(shí)刻的物體溫度，就可以利用模型（1.3.3）求出將物體冷卻到某一溫度所用的時(shí)間或者可以求出者將物體冷卻某一時(shí)間物體的溫度.

2.常微分方程數(shù)學(xué)模型在物體冷卻問題中的應(yīng)用

在物體冷卻的問題中，存在著因變量對(duì)自變量一階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系方程，因此，在物體冷卻問題中，我們常常利用常微分方程數(shù)學(xué)模型來解決相應(yīng)的問題.

建立數(shù)學(xué)模型的思想，可以把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，利用常微分方程的數(shù)學(xué)模型，可以更便捷的解決物體冷卻中的一些問題，例如法醫(yī)在推斷尸體死亡時(shí)間時(shí)，可以通過尸體的溫度和周圍環(huán)境的溫度，大致推斷出死亡時(shí)間.再例如，可以通過數(shù)學(xué)模型計(jì)算出物體冷卻過程中物體溫度的變化隨時(shí)間的變化之間的規(guī)律.

例題 把100℃的一杯水放在室溫25℃的環(huán)境中進(jìn)行冷卻，經(jīng)過15分鐘水溫為40℃，求水溫達(dá)到30℃需要多長(zhǎng)時(shí)間.

分析 此題利用數(shù)學(xué)模型（1.3.2），先有初始溫度條件求出K的值，然后由經(jīng)過15分鐘水溫為40℃的條件求出λ值，最后就可以求出30℃所用的時(shí)間了.

解題：開始（t=0）水溫為100℃，由模型T=Q+Ke-^λt可得到：

100=25+KK=75，T=Q+75e-λt

①

把已知條件t=0.25小時(shí) 時(shí)候T=40℃帶入①中得到：40=25+75e-λ0.25.

315=e-0.25λln315=-0.25λ

λ=-14ln315≈0.40235.

把λ值帶入①中得到：

T=Q+75e-0.40235t.

②

把T=30，Q=25帶入②中得到：

30=25+75e-0.40235t115=e-0.40235tln115=-0.40235tt≈1.09.

則，需要經(jīng)過約1.09小時(shí)后水才能達(dá)到30℃.

3.結(jié) 語

常微分方程的數(shù)學(xué)模型不僅在物體冷卻問題中有著重要的作用，而且在其他類似的問題中也具有重要的作用，例如在物體自由下落，汽車剎車，物質(zhì)衰變，等問題中，同樣可以利用常微分方程來更便捷的解決相應(yīng)的問題.而對(duì)我們來說，關(guān)鍵的是要學(xué)會(huì)建立模型的思想，學(xué)會(huì)靈活的運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，在生活中數(shù)學(xué)無處不在，數(shù)學(xué)是其他自然科學(xué)的工具，我們要在相應(yīng)的問題中，讓建立數(shù)學(xué)模型思想也無處不在！