劉艷花

摘要：本文主要介紹了矩陣可逆的一個(gè)充分必要條件即矩陣A可逆的充分必要條件是A的行列式不等于零的三種講法，并對(duì)其進(jìn)行了一定的對(duì)比分析。其中第一種講法最為常見，很多新教師也常用，就是直接按書中順序講授這個(gè)充分必要條件，直接教授學(xué)生知識(shí)；而第二種講法則是引導(dǎo)學(xué)生探究這個(gè)充分必要條件得來(lái)的過(guò)程，最終得到該充分必要條件；第三種講法基于矩陣的初等變換，得到一系列矩陣可逆的充分必要條件，而該充分必要條件是前面幾個(gè)充分必要條件的直接推論。這三種講法各有優(yōu)劣，可根據(jù)不同情況適當(dāng)選取。

關(guān)鍵詞：矩陣可逆；行列式；充分必要條件；講法

中圖分類號(hào) ： O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）09（B）-0000-00

不論是在線性代數(shù)的教學(xué)中還是高等代數(shù)的教學(xué)中，矩陣的相關(guān)內(nèi)容都是十分重要的。而其中矩陣可逆的部分又是要重點(diǎn)講授的，因?yàn)槟婢仃囋谟懻撗芯烤仃噯?wèn)題時(shí)有重要作用。在矩陣可逆的這部分內(nèi)容中，矩陣可逆及逆矩陣的定義是必然要介紹的，而矩陣可逆的條件中有一個(gè)充分必要條件即一個(gè)方陣可逆的充分必要條件是它的行列式不等于零是一定會(huì)講授的，也是應(yīng)用較多的，因此要求同學(xué)們一定理解掌握。

而就這一個(gè)充分必要條件不同的教師有不同的講法，本文根據(jù)自己的體會(huì)，介紹了這一個(gè)充分必要條件的三種講法并進(jìn)行了一定的對(duì)比分析。

第一種講法是非常常見的，很多教師都采用，特別是剛開始教線性代數(shù)的新教師。我在第一次教這部分時(shí)也用的是這種講法。首先介紹了矩陣可逆的定義[1]，即設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB=BA=E（E是n階單位矩陣 ），則稱方陣A是可逆的，而B稱為A的逆矩陣。在同學(xué)們知道理解了矩陣可逆及逆矩陣概念后，就引入介紹矩陣可逆的條件，我們主要介紹矩陣可逆的一個(gè)常用的充分必要條件。而為了介紹這個(gè)充分必要條件，首先需要介紹一個(gè)相關(guān)的內(nèi)容，那就是伴隨矩陣的相關(guān)概念[2]。對(duì)于伴隨矩陣首先介紹伴隨矩陣的定義：

設(shè)矩陣A，則稱矩陣為A的伴隨矩陣，其中Aij 是矩陣A中元素aij的代數(shù)余子式。

接著介紹伴隨矩陣的一個(gè)重要性質(zhì)：

同時(shí)給出其證明：事實(shí)上，由代數(shù)余子式的性質(zhì)

同理可得，所以。

這樣準(zhǔn)備工作已做好，就來(lái)講最重要的矩陣可逆的充分必要條件。

定理（矩陣可逆的充分必要條件）矩陣A可逆的充分必要條件是，且。

證明：（必要性）若，且，則，故A可逆且。

（充分性）若A可逆，，那么，因此。

以上是第一種講法的基本過(guò)程，當(dāng)然這其中還有很多教師的引導(dǎo)講解，這里未體現(xiàn)。但這種講法的講授思路和順序基本按照教材中給出的順序來(lái)講，其實(shí)就是直接教授給學(xué)生們概念和結(jié)論，讓學(xué)生們?nèi)ダ斫鈶?yīng)用，缺乏探究這些結(jié)論的過(guò)程。而第二種講法恰恰是由矩陣可逆的定義出發(fā)按照正常的推理過(guò)程得到了矩陣可逆的充分必要條件。

第二種講法首先仍是介紹矩陣可逆的定義，接著就探究矩陣可逆的充分必要條件。探究過(guò)程如下：

由矩陣可逆的定義，要想方陣A可逆，首先得找出同階方陣B，使得AB=E，再看BA是否也等于E。那么我們假設(shè)A=，B=，那么由矩陣乘法，AB的第i行第j列（i，j=1，2，…，n）元素應(yīng)該是

（1）

此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從已有知識(shí)中尋找與該問(wèn)題類似或相關(guān)的內(nèi)容來(lái)解決現(xiàn)在的問(wèn)題。

（1） 式與我們之前學(xué)過(guò)的

（2）

（其中Aij 是矩陣A中元素aij的代數(shù)余子式）類似。

對(duì)照上兩式可發(fā)現(xiàn)它們相差無(wú)幾，那么由矩陣乘法，（2）式也可看成是矩陣A與另一個(gè)矩陣乘積的第i行第j列元素。

若令該矩陣為D，則易知D是這樣的一個(gè)矩陣

那么由（2）式易得

還可驗(yàn)證（學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證），即

（3）

該式與定義中AB=BA=E相差不多，只是單位矩陣前多了detA這樣一個(gè)數(shù)。

那么若，由（3）式及矩陣的數(shù)乘運(yùn)算可得。

因此由矩陣可逆的定義，A可逆，是A的逆矩陣，即，則AB=BA=E。

這樣我們知道當(dāng)矩陣A可逆時(shí)，它的逆矩陣可由矩陣D表示，那么把由矩陣A的元素的代數(shù)余子式按一定順序排成的矩陣D稱為A的伴隨矩陣，記為，即，且。

這樣伴隨矩陣的概念及性質(zhì)很自然的就引出來(lái)了。下面就繼續(xù)討論。

由上可知，若，則A可逆且其逆矩陣是。

反過(guò)來(lái)，若A可逆，A的行列式如何？

若A可逆，，那么，因此。

那么由上面的一系列探討可得矩陣可逆的充分必要條件：矩陣A可逆的充分必要條件是，且。

這樣矩陣可逆的充分必要條件由此就推導(dǎo)出來(lái)，而伴隨矩陣的相關(guān)概念也在其中自然的得到，學(xué)生也能知道為什么會(huì)有伴隨矩陣、伴隨矩陣為什么是那樣組成。整個(gè)過(guò)程重在引導(dǎo)學(xué)生自主探究，不是直接就把知識(shí)擺在學(xué)生面前，這對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)更符合現(xiàn)在教育的要求。

下面介紹第三種講法[3]。第三種講法不是直接得出這個(gè)矩陣可逆的充分必要條件，而是由另外的一些充分必要條件推導(dǎo)得出它的。這種講法首先是在同學(xué)們知道矩陣的初等變換的基礎(chǔ)上，接著介紹初等矩陣及初等變換與初等矩陣的關(guān)系后，開始討論矩陣可逆的充分必要條件。首先要介紹兩個(gè)引理。

引理1：設(shè)對(duì)矩陣施行一個(gè)初等變換后得到矩陣，則可逆的充分必要條件是可逆。

引理2：一個(gè)矩陣總可以通過(guò)初等變換化為以下形式的一個(gè)矩陣，，其中是r階單位矩陣，表示的零矩陣，r是的秩。

這兩個(gè)引理在介紹時(shí)也要講解其證明，這里省略了。

由引理2，當(dāng)是一個(gè)n階矩陣時(shí)，是一個(gè)對(duì)角矩陣。那么由這兩個(gè)引理，n階矩陣是否可逆決定于對(duì)角矩陣是否可逆。然而對(duì)角矩陣是否可逆是容易看出的。當(dāng)（是n階單位矩陣）時(shí)，可逆；當(dāng)時(shí)，不可逆。

由此得到矩陣可逆的充分必要條件1：n階矩陣可逆的充分必要條件是可通過(guò)初等變換化為單位矩陣。

由充分必要條件1可得到充分必要條件2。

矩陣可逆的充分必要條件2：n階矩陣可逆的充分必要條件是可寫成初等矩陣的乘積。

這里可以證明充分必要條件2。

事實(shí)上，由充分必要條件1，n階矩陣可逆的充分必要條件是可通過(guò)初等變換化為單位矩陣。而可通過(guò)初等變換化為單位矩陣的充分必要條件是存在初等矩陣，使得。因?yàn)槌醯染仃嚩伎赡媲移淠婢仃嚾允浅醯染仃?，那么上式可寫?/p>

這樣證明了矩陣可逆的充分必要條件2

由矩陣可逆的充分必要條件1和初等變換不改變矩陣的秩可得矩陣可逆的充分必要條件3。

矩陣可逆的充分必要條件3：n階矩陣可逆的充分必要條件是矩陣的秩等于n。

由秩的定義我們知道n階矩陣的秩等于n的充分必要條件是的行列式不等于零即。所以由此立刻可得矩陣可逆的充分必要條件4。

矩陣可逆的充分必要條件4：n階矩陣可逆的充分必要條件是。

以上是第三種講法，不是直接就討論我們所說(shuō)的這個(gè)充分必要條件，而是通過(guò)前面幾個(gè)充分必要條件自然推導(dǎo)出的。

綜上，這三種講法各有裨益。第一種講法知識(shí)結(jié)構(gòu)清晰，有利于知識(shí)的的掌握，但缺乏對(duì)知識(shí)的探究過(guò)程。相比較，第二種講法更注重對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程的探究，應(yīng)用舊知識(shí)探究新知識(shí)，且更易知整個(gè)推理過(guò)程的來(lái)龍去脈，有助于學(xué)生探究能力的培養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)。這種講法更符合現(xiàn)代教學(xué)的理念。而第三種講法是從另一個(gè)角度出發(fā)，以矩陣的初等變換為基礎(chǔ)，得出多個(gè)矩陣可逆的充分必要條件，而我們所說(shuō)的那一個(gè)是前面幾個(gè)的直接推論，這是順理成章的。

總之，同一教學(xué)內(nèi)容可有多種講法，而對(duì)于這三種講法我們可以根據(jù)教材，學(xué)生的水平，學(xué)科要求等條件來(lái)適當(dāng)選用，把這部分內(nèi)容真正讓學(xué)生理解掌握。

參考文獻(xiàn)

[1]王海清，額爾敦布和.線性代數(shù)[M].呼和浩特：內(nèi)蒙古大學(xué)出版社，2012.

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[3]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.