王朝璇

洞見癥結，端本正源

例1 ?（2014年高考安徽卷）在平面直角坐標系[xOy]中，已知[a，b，|a|=|b|=1，][a?b=0，]點[Q]滿足[OQ=][2（a+b）.]曲線[C={POP=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}，]區(qū)域[Ω={P0

A. [1

C. [r≤1

解析 ?由已知可設[OA=a=1，0]，[OB=b=][0，1]，[Px，y]，則[OQ=2，2]，[OP=cosθ，sinθ，][0≤θ≤2π]，即[C]的軌跡為圓：[x2+y2=1]. 又[Ω=P0

答案 ?A

點撥 ?向量是一個工具，解決向量問題多從兩個角度轉化，其一是基底形式，要注意平面幾何性質;其二是坐標形式，要注意解析幾何的相關知識.解決此題就是要找到問題的關鍵，把向量語言坐標化、找出定點位置和動點的軌跡方程，這樣就把問題變?yōu)橐粋€解析幾何問題.

合理分類，借水行舟

例2 ?（2014年高考遼寧卷）已知定義在[[0，1]]上的函數[f（x）]滿足：①[f（0）=f（1）=0];②對所有[x，y∈[0，1]]，且[x≠y]，有[|f（x）-f（y）|<12|x-y|].若對所有[x，y∈[0，1]]，[|f（x）-f（y）|

A. [12] ? ? ? B. [14]

C. [12π] ? ? ? D. [18]

解析 ?當[x-y≤12]時，

有[fx-fy<12x-y≤14.]

當[x-y>12]時，不妨令[x

[fx-fy=][fx-f0+f1-fy]

[≤fx-f0+f1-fy]

[<12x-0+121-y=12-12y-x]，

又[y-x>12]，所以[fx-fy<12-12×12=14].

綜上所述，[k≥14]，即[k]的最小值為[14].

答案 ?B

點撥 ?注意到[x-y]的長度沒有目標，可以考慮將[x-y]的長度進行分類，將不定性的問題轉化為定性的問題. 定義域的區(qū)間長度為1，我們可以嘗試利用1的一半[12]進行分類.

順藤摸瓜，按圖索驥

例3 ?（2014年高考浙江卷）設函數[f1（x）=x2，][f2（x）][=2（x-x2），][f3（x）=13|sin2πx|，][ai=i99]，[i=0，1，2，…，][99].記[Ik=|fk（a1）-fk（a0）|][+|fk（a2）-fk（a1）|][+…+|fk（a99）-fk（a98）|]，記[k=1，2，3…]，則（ ? ）

A. [I1

C. [I1

解析 ?此題看起來比較復雜，但是是有規(guī)律的，我們不要被假象所迷惑，只要循序漸進即可.

因為[ai+1-ai=i+199-i99=199，ai+1+ai=2i+199]，

[f1（ai+1）-f1（ai）=a2i+1-a2i=199?2i+199]，

[∴I1=|f1（a1）-f1（a0）|+|f1（a2）-f1（a1）|+…+|f1（a99）-f1（a98）|]

[=1992?0+1+2?1+1+…+2?98+199=1].

又[f2（ai+1）-f2（ai）=2（ai+1-ai）-（ai+12-ai2）]

[=2991-2i+199=2（98-2i）99?99]，

[∴I2=|f2（a1）-f2（a0）|+|f2（a2）-f2（a1）|+…+|f2（a99）-f2（a98）|]

[=299?99（98+96+…+0+2+…+98）]

[=299?99?（2+98）?49=992-199?99<1].

又[f3（ai+1）-f3（ai）=13sin2π?i+199-sin2π?i99]，

[∴I3=|f3（a1）-f3（a0）|+|f3（a2）-f3（a1）|+…+|f3（a99）-f3（a98）|]

[=13（sin2π199-sin2π099+sin2π299-sin2π199]

[+…+sin2π9999-sin2π9899）]

[=132sin2π?2599-2sin2π?7499=43sin50π99>1].

所以[I3>I1>I2].

答案 ?B

切線劃界，涇渭分明

例4 ?（2014年高考山東卷）已知函數[y=f（x）（x∈R）]，對函數[y=g（x）（x∈I）]，定義[g（x）]關于[f（x）]的“對稱函數”為函數[y=hxx∈I]，[y=hx]滿足：對任意[x∈I]，兩個點[x，hx，x，gx]關于點[x，fx]對稱，若[hx]是[gx=4-x2]關于[fx=3x+b]的“對稱函數”，且[hx>gx]恒成立，則實數[b]的取值范圍是 ? ? ? ? .

解析 ?由題意得[g（x）與h（x）]的圖象位于直線[f（x）=3x+b]的兩側，可謂一線分南北，要使[h（x）>g（x）]恒成立，則[g（x）]的圖象應位于直線[f（x）=3x+b]的右下方.當[f（x）=3x+b]與[g（x）=4-x2]在第二象限相切時，[b=210]. 由此可知，當[h（x）>g（x）]恒成立時有[b>210].

以形助數，相得益彰

例5 ?（2014年高考湖南卷）已知函數[f（x）=x2+ex-12（x<0）]與[g（x）=x2+ln（x+a）]的圖象上存在關于[y]軸對稱的點，則[a]的取值范圍是（ ? ）

A. [（ - ∞ ， 1e ）] B. [（ - ∞ ， e ）]

C. [（-1e，e）] D. [（-e，1e）]

解析 ?由題意可得，函數[f（x）]的圖象上存在點[P（x0，x02+ex0-12）（x0<0）]關于[y]軸對稱的點[Q（-x0，x02+][ex0-12）]在函數[g（x）=x2+ln（x+a）]的圖象上，

即[x02+ex0-12=-x02+ln（-x0+a）]，

即[ex0-ln（-x0+a）-12=0].

問題等價于函數[R（x）=ex-ln（-x+a）-12]在[x∈-∞，0]上存在零點，繼而等價于函數[φ（x）=ex-12]與[h（x）=][ln（-x+a）]的圖象在[-∞，0]上有交點，在同一坐標系中作出這兩個函數的圖象，以形助數，當[h（x）=ln（-x+a）]的圖象在左右平移的過程中，滿足[φ（0）>h（0）]即可，即[a

答案 ?B

換位思考，避實求虛

例6 ?（2014年高考福建卷）用[a]代表紅球，[b]代表藍球，[c]代表黑球，由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個籃球中取出若干個球的所有取法可由[1+a1+b]的展開式[1+a][+b+ab]表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“[a]”表示取出一個紅球，面“[ab]”用表示把紅球和籃球都取出來.以此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的籃球都取出或都不取出的所有取法的是（ ? ）

A. [1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5]

B.[1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5]

C. [1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5]

D.[1+a51+b51+c+c2+c3+c4+c5]

解析 ?要注意審題，透徹地理解題意，從正面考慮. 由題意得，從5個無區(qū)別的紅球取出若干個球對應于[1+a+a2+a3+a4+a5]，從5個無區(qū)別的藍球中取球，且所有的藍球都取出或都不取出對應于[b5+1];從5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球（可分為5 類不同的黑球）對應于[1+c1+c1+c1+c1+c][=1+c5]，所以所求的取法為[1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5].

答案 ?A

點撥 ?此題的選擇支比較復雜，我們可以換位思考，即所有的籃球都取出或都不取出的所有取法必有含有[b5]的式子或不含有[b]的式子，對照選擇支，只有A項適合. 這么做，就簡單多了.

三角輪換，合理取舍

例7 ?（2014年高考重慶卷）已知[ΔABC]的內角[A，B，C]滿足[sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+12]，面積滿足[1≤S≤2]，記[a，b，c]分別為[A，B，C]所對的邊，則下列不等式成立的是（ ? ）

A. [bcb+c>8] ? ? ? B. [aca+c>162]

C. [6≤abc≤12] ? ? D. [12≤abc≤24]

解析 ?將角的正弦和變?yōu)榻堑恼曳e，

因為[sin2A+sin2B+sin2C]

[=sin2A+sin2B-sin2A+2B]

[=sin2A+sin2B-sin2Acos2B-cos2Asin2B]

[=sin2A1-cos2B+sin2B1-cos2A]

[=4sinAcosAsin2B+4sinBcosBsin2A]

[=4sinAsinBcosAsinB+sinAcosB]

[=4sinAsinBsinC=12]，

所以[8sinAsinBsinC=1].

因為[S=12absinC][=2R2sinAsinBsinC]，

所以[S=R24∈1，2]，即[R∈2，22]，

而[abc=8R3sinAsinBsinC∈8，162]，排除C，D項，注意到[a，b，c]的無序性，若B項成立，則A項必然成立，排除B項.

答案 ?A

點撥 ?條件[sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B][+12]經過化簡后為[sin2A+sin2B+sin2C=12]，解題時要充分利用這個條件中的[A，B，C]（或者[a，b，c]）的無序性.

分類討論，各個擊破

例8 ?（2014年高考廣東卷）設集合[A=x1，x2，x3，x4，x5xi∈{-1，0，1}，i=1，2，3，4，5]，那么集合[A]中滿足條件“[1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3]”的元素個數為（ ? ）

A. 60 ? B. 90 C. 120 ? ? D. 130

解析 ?由題設，[x1+x2+x3+x4+x5]可取值為1，2，3，即[xii=1，2，3，4，5]最少1個1，最多3個1.

當[xi]僅有1個1時，元素的個數為[C12C15=10].

當[xi]僅有2個1時，元素的個數為[2×2C25=40].

當[xi]有3個1時，元素的個數為[2×2×2C35=80].

所以滿足條件的元素總的個數為[130].

答案 ?D

點撥 ?對照[x1+x2+x3+x4+x5]出現的各種情況，分類討論，得出結果.