劉海燕

[摘 要]近年來，高考試卷中涉及函數、導數、不等式綜合的試題越來越多.我們應當有意識地挖掘和提煉數學知識本身所蘊含的豐富的數學思想和方法，并引導學生在解法上求異，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性和靈活性，提高學生的解題能力.

[關鍵詞]函數 單調性 最值 極限

函數問題是高考的熱點和難點，思維方法靈活多變.縱觀2014年全國各省市的高考試題，函數題較多地以函數單調性、極值、最值、不等式恒成立等問題出現.教師在解題教學中除強調通性通法外，也應注意數學思想方法的運用.本文以2014年高考理科數學北京卷第18題為例，多角度地分析求解函數最值及恒成立問題，巧妙地結合極限思想和數形結合思想，使得這一問題的求解思維更加開闊.

題目：已知函數f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2].

（1）求證：f（x）≤0;

（2）若a解答：高考標準答案中的解法不再贅述.

方法一：（1）由f（x）=xcosx-sinx，

得f′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

∵在區(qū)間[0，π2]上，f′（x）=-xsinx<0，

∴f（x）在區(qū)間[0，π2]上單調遞減，∴f（x）≤f（0）=0.

令g（x）=sinxx，x∈（0，π2） ，則g′（x）=xcosx-sinxx2= f（x）x2.

由（1）可知f（x）<0，x∈（0，π2），

∴g′（x）<0，∴g（x）在（0，π2）上單調遞減.

∴g（x）>g（π2）=2π， 且g（x）