羅剛明

解析幾何是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，以近3年全國(guó)卷I為例，不包括選做題每年都有兩道小題和一道大題，分值共22分，加上選做題共32分. 高考中失分嚴(yán)重，非?？上?其實(shí)解析幾何題雖然難，但是如果我們深入研究其命題規(guī)律，掌握得分技巧，也能得高分.

基礎(chǔ)知識(shí)的考查

主要以小題形式考查，屬于中、低難度. 復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注重回歸教材，除重視課本中圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)外，還要重視課本例題、習(xí)題、練習(xí)中對(duì)圓錐曲線(xiàn)的多種定義以及課本中補(bǔ)充材料對(duì)圓錐曲線(xiàn)性質(zhì)的擴(kuò)充.

1. 求圓錐曲線(xiàn)中[a，b，c，e，p，]焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線(xiàn)方程等基本幾何量的問(wèn)題

例1 已知[F]是雙曲線(xiàn)[C]：[x2-my2=3m（m>0）]的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)[F]到[C]的一條漸近線(xiàn)的距離為（ ）

A. [3] B. [3]

C. [3m] D. [3m]

分析 將雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線(xiàn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可以求出點(diǎn)[F]到[C]的一條漸近線(xiàn)的距離.

解 將雙曲線(xiàn)[C]化為標(biāo)準(zhǔn)方程[x23m-y23=1（m>0）]，

∴一個(gè)焦點(diǎn)[F]的坐標(biāo)為[（3m+3，0）]，一條漸近線(xiàn)的方程為[x+my=0]，

∴焦點(diǎn)[F]到[C]的一條漸近線(xiàn)的距離為[3m+31+m=3].

答案 A

解讀 本題型主要考查圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，解決這類(lèi)題型要熟練掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)中[a，b，c，e，p，]焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線(xiàn)方程等基本幾何量之間的關(guān)系，任意給出其中兩個(gè)幾何量都能求出其他幾何量.

2. 圓錐曲線(xiàn)中與向量有關(guān)的問(wèn)題

例2 已知[M（x0，y0）]是雙曲線(xiàn)[C：x22-y2=1]上的一點(diǎn)，[F1，F(xiàn)2]是[C]上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若[MF1·MF2<0]，則[y0]的取值范圍是（ ）

A. （-[33]，[33]） B. （-[36]，[36]）

C. （[-223]，[223]） D. （[-233]，[233]）

分析 將[MF1與MF2]的數(shù)量積用[M]的坐標(biāo)表示，得到關(guān)于[y0]的不等式，從而解除[y0]的范圍.

解 由題意知，[F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）]，點(diǎn)[M]在雙曲線(xiàn)上，則[x202-y20=1.]

∴[MF1?MF2=（-3-x0，-y0）?（3-x0，-y0）]

[=x20+y20-3=3y20-1<0]，

解得[-33答案 A

解讀 在解析幾何中向量主要是起工具作用，用向量表示幾何關(guān)系，通常情況是將向量用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，得到關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程或不等式，然后解方程或不等式.

綜合應(yīng)用能力的考查

求點(diǎn)的軌跡方程主要有：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用是對(duì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、計(jì)算等綜合能力的考查. 基本思路分兩步：①將問(wèn)題中要求解的幾何量想辦法用直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)表示；②聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)用相關(guān)參數(shù)表示，得到問(wèn)題中要求解的幾何量與參數(shù)的關(guān)系，從而使問(wèn)題得到解決. 其中聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)得到的方程，有時(shí)解方程更易解決問(wèn)題. 下列三種特殊情況可以直接解方程得交點(diǎn)坐標(biāo)：①直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程都不含參數(shù)；②直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)已知；③直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn). 其他情況都用韋達(dá)定理.

1. 與弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、三角形的面積相關(guān)的問(wèn)題

例3 已知橢圓[E]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦點(diǎn)為[F（3，0）]，過(guò)點(diǎn)[F]的直線(xiàn)交橢圓[E]于[A]，[B]兩點(diǎn).若[AB]的中點(diǎn)坐標(biāo)為[（1，-1）]，則[E]的方程為（ ）

A. [x245+y236=1] B. [x236+y227=1]

C. [x227+y218=1] D. [x218+y29=1]

分析 在圓錐曲線(xiàn)中與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題用點(diǎn)差法比較簡(jiǎn)單.

解 設(shè)[A（x1y1），B（x2，y2）]，則[x1+x2=2，y1+y2=-2]，

[x21a2+y21b2=1]，① [x22a2+y22b2=1].②

①-②得，[（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0].

∴[kAB=y1-y2x1-x2=-b2（x1+x2）a2（y1+y2）=b2a2=12].

又 [a2-b2=c2=9]，解得[b2=9，a2=18]，

∴橢圓方程為[x218+y29=1].

答案 D

解讀 解與圓錐曲線(xiàn)弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題有兩種方法：①點(diǎn)差法；②聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程用韋達(dá)定理.點(diǎn)差法相對(duì)簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，但如果與范圍有關(guān)則容易出錯(cuò). 聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程用韋達(dá)定理方法，并且結(jié)合判別式容易求范圍.

例4 已知圓[M]：[（x+1）2+y2=1]，圓[N]：[（x-1）2+y2][=9]，動(dòng)圓[P]與圓[M]外切并與圓[N]內(nèi)切，圓心[P]的軌跡為曲線(xiàn)[C].

（1）求[C]的方程；

（2）[l]是與圓[P]，圓[M]都相切的一條直線(xiàn)，[l]與曲線(xiàn)[C]交于[A]，[B]兩點(diǎn)，當(dāng)圓[P]的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求[AB].

分析 （1）由動(dòng)圓與兩定圓相切可以列出動(dòng)圓圓心[P]滿(mǎn)足的條件，從而能判斷[P]的軌跡是橢圓，然后求出橢圓的方程.（2）由[P]的軌跡容易判斷圓[P]的半徑最大值，由直線(xiàn)與兩圓相切可以求出直線(xiàn)方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可以求出弦長(zhǎng).

解 由已知得圓[M]的圓心為[M（-1，0）]，半徑[r1=1]；圓[N]的圓心為[N（1，0）]，半徑[r2=3].

設(shè)圓[P]圓心為[P（x，y）]，半徑為[R].

（1）因?yàn)閳AP與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，

所以[PM+PN=（R+r1）+（r2-R）=r1+r2=4].

由橢圓的定義可知，曲線(xiàn)C是以M，N為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為[3]的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為[x24+y23=1（x≠-2）.]

（2）對(duì)于曲線(xiàn)[C]上的任意一點(diǎn)[P（x，y）]，由于[PM-PN=2R-2≤2]，所以[R≤2.]

當(dāng)且僅當(dāng)圓[P]的圓心為[（2，0）]時(shí)，[R=2].

所以當(dāng)圓[P]的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為[（x-2）2+y2=4.]

①若[l]的傾斜角為[90°]，則[l]與[y]軸重合，[AB=23.]

②若[l]的傾斜角不為[90°]，由[r1≠R]知[l]不平行于[x]軸，設(shè)[l]與[x]軸的交點(diǎn)為[Q]，

則[QPQM=RR1]，可求得[Q（-4，0）]，

所以可設(shè)[l]：[y=k（x+4）]，

則由[l]與圓[M]相切得[3k1+k2=1]，解得[k=±24].

當(dāng)[k=24]時(shí)，將[y=24x+2]代入[x24+y23=1]，并整理得[7x2+8x-8=0.]

解得[x1，2=-4±627].

所以[AB=1+k2x2-x1=187.]

當(dāng)[k=-24]，由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知，[AB=187].

綜上，[AB=23]或[AB=187.]

解讀 求點(diǎn)的軌跡方程主要有：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法.圓錐曲線(xiàn)中的弦長(zhǎng)[AB=1+k2?x2-x1]或[AB=1+1k2?y2-y1]. 三角形的面積[S=12AB?d][=121+k2x1-x2?kx0-y0+b1+k2][=12x1-x2?kx0-y0+b].

2. 圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、范圍與最值的問(wèn)題

例5 已知點(diǎn)[A]（0，-2），橢圓[E]：[x2a2+y2b2=1][（a>b>0）]的離心率為[32]，[F]是橢圓的焦點(diǎn)，直線(xiàn)[AF]的斜率為[233]，[O]為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求[E]的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)[A]的直線(xiàn)[l]與[E]相交于[P，Q]兩點(diǎn)，當(dāng)[△OPQ]的面積最大時(shí)，求[l]的方程.

分析 （1）由直線(xiàn)[AF]的斜率為[233]可以求出焦點(diǎn)[F]的橫坐標(biāo)[c]，由離心率為[32]可以求出[a]，從而得到橢圓的方程.（2）設(shè)直線(xiàn)[l：y=kx-2]，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，由[Δ>0]可以得到[k]的范圍，將[△OPQ]的面積用[k]表示，求出面積最大時(shí)[k]的值.

解 （1）[x24+y2=1].

（2）當(dāng)[l⊥x]軸時(shí)不合題意，故設(shè)[l：y=kx-2]，[P（x1，y1），Q（x2，y2）]，

將[y=kx-2]代入[x24+y2=1]得，

[（1+4k2）x2-16kx+12=0].

當(dāng)[Δ=16（4k2-3）>0]，即[k2>34]時(shí)，

[x1，2=8k±24k2-34k2+1].

從而[|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1?4k2-34k2+1].

又點(diǎn)[O]到直線(xiàn)[PQ]的距離[d=2k2+1]，

所以[△OPQ]的面積[S△OPQ=12d?|PQ|=44k2-34k2+1].

設(shè)[4k2-3=t]，則[t>0]，[SΔOPQ=4tt2+4=4t+4t].

因?yàn)閇t+4t≥4]，當(dāng)且僅當(dāng)[t=2]，即[k=±72]時(shí)等號(hào)成立，且滿(mǎn)足[Δ>0].

所以當(dāng)[△OPQ]的面積最大時(shí)，

[l]的方程為[y=72x-2]或[y=-72x-2].

解讀 解圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)、定值、范圍與最值的問(wèn)題通常是將所求的幾何量用一個(gè)變量來(lái)表示.如果在化簡(jiǎn)過(guò)程中變量自動(dòng)約分或抵消，所求的幾何量不含變量即為定點(diǎn)、定值.如果化簡(jiǎn)過(guò)后還含有變量，就將所求的幾何量看成該變量的函數(shù)，從而可以求出所求的幾何量的范圍或最值.

3. 圓錐曲線(xiàn)中角相等的問(wèn)題

例6 在直角坐標(biāo)系[xOy]中，曲線(xiàn)[C：y=x24]與直線(xiàn)[l：y=kx+a（a>0）]交與[M，N]兩點(diǎn)，

（1）當(dāng)[k=0]時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線(xiàn)方程；

（2）[y]軸上是否存在點(diǎn)[P]，使得當(dāng)[k]變動(dòng)時(shí)，總有[∠OPM=∠OPN]？說(shuō)明理由.

分析 （1）解出直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)的斜率，從而得到切線(xiàn)方程. （2）由[∠OPM=∠OPN]可知[PM，PN]的斜率[k1，k2]相等，將[k1，k2]都用[P，M，N]的坐標(biāo)表示，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系將M，N的坐標(biāo)用k，a表示就能求出P的坐標(biāo).

解 （1）由題設(shè)可得[M（2a，a），N（-2a，a）]，

又[y=x2]，

①當(dāng)[y=x24]在[x=2a]處的導(dǎo)數(shù)值為[a]，[C]在點(diǎn)[（2a，a）]處的切線(xiàn)方程為[y-a=a（x-2a）]，即[ax-y-a=0].

②當(dāng)[y=x24]在[x=2a]處的導(dǎo)數(shù)值為[-a]，[C]在點(diǎn)[（-2a，a）]處的切線(xiàn)方程[y-a=-a（x+2a）]，即[ax+y+a=0].

故切線(xiàn)方程為[ax-y-a=0]和[ax+y+a=0].

（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下.

設(shè)[P（0，b）]為符合題意的點(diǎn)，[M（x1，y1），N（x2，y2）]，直線(xiàn)[PM，PN]的斜率分別為[k1，k2]，

將[y=kx+a]代入[C]的方程得[x2-4kx-4a=0]，

故[x1+x2=4k，x1x2=-4a].

[∴k1+k2=y1-bx1+y2-bx2]

[=2kx1x2+（a-b）（x1+x2）x1x2][=k（a+b）a].

當(dāng)[b=-a]時(shí)，有[k1+k2=0]，

則直線(xiàn)PM的傾角與直線(xiàn)PN的傾角互補(bǔ)，

故[∠OPM=∠OPN]，所以點(diǎn)[P（0，-a）]符合題意.

解讀 求解析幾何中角相等的問(wèn)題通常有三種途徑：①轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)的斜率互為相反數(shù)；②用向量來(lái)表示角；③用余弦定理.