李志勇

（深圳中廣核工程設計有限公司上海分公司，上海 200030）

中子平衡節(jié)塊離散縱標法及CMFD加速技術(shù)研究

李志勇

（深圳中廣核工程設計有限公司上海分公司，上海 200030）

本文基于橫向積分離散縱標方程，解析得到橫向積分通量中出射通量與入射通量的關(guān)系，并根據(jù)類似于擴散方程節(jié)塊展開法的輸運節(jié)塊中子平衡方程形式，得到了一種高效的節(jié)塊離散縱標法數(shù)值迭代策略。數(shù)值結(jié)果表明，本文提出的方法可行且數(shù)值結(jié)果正確。此外，粗網(wǎng)有限差分（CMFD）加速技術(shù)在節(jié)塊離散縱標法中也取得了非常好的應用效果。

離散縱標法；節(jié)塊展開法；中子平衡；CMFD加速技術(shù)

基于中子擴散方程橫向積分技術(shù)的節(jié)塊法已在堆芯擴散計算中得到廣泛應用，粗網(wǎng)有限差分（CMFD）技術(shù)在堆芯擴散節(jié)塊法加速中取得了非常好的效果。對于中子輸運方程的求解有很多不同的方法，如碰撞概率法、穿透概率法、MOC法及離散縱標法［1］，其中，離散縱標法得到了廣泛的研究和應用。對于離散縱標法的求解大多采用差分方法，20世紀80年代，Lawrence等［2］通過對堆芯擴散節(jié)塊格林函數(shù)法的擴展，提出了一種二維節(jié)塊離散縱標法，即離散節(jié)塊輸運法（DNTM）。隨后，謝仲生等［3］又將其擴展到三維情況。節(jié)塊離散縱標法相對于差分方法，在相同的精度要求下可減少計算時間。

本文基于橫向積分離散縱標方程，解析得到橫向積分通量出射通量與入射通量的關(guān)系，并根據(jù)類似于擴散節(jié)塊法的輸運節(jié)塊中子平衡方程形式，研究一種高效的節(jié)塊離散縱標法數(shù)值迭代策略。

一般情況下，無加速的離散縱標法計算速度較慢，因此，加速技術(shù)是離散縱標法研究的一個熱點。在輸運計算方法加速中，近年來，擴散綜合加速、粗網(wǎng)再平衡和CMFD［1，4］等技術(shù)得到了廣泛研究和應用。本文對CMFD在節(jié)塊離散縱標法中的應用進行研究。

1 理論模型

1．1 基本方程［2－3］

微分形式的中子輸運方程可寫為如下形式：

其中：Ω為角方向；φ為角通量；Σt為總截面；Qs為散射源；Qf為裂變源。

離散縱標法對角中子通量進行直接離散，中子輸運方程在笛卡爾坐標下可直接給出，對于任意離散方向有（不考慮外源）：

其中：μ為離散方向x方向分量；η為離散方向y方向分量；m為角度離散方向；Qm為各項同性總的源項。

其中：Σs為散射截面；Φ為標量通量；χ為裂變譜；keff為本征值；Σf為裂變截面。

通過類似于堆芯擴散節(jié)塊法的橫向積分技術(shù)，橫向積分形式的離散縱標法可寫為如下形式（以y方向橫向積分為例）：

其中：Δx為x方向節(jié)塊的寬度，x∈［－1，1］；Ψm為橫向積分角中子通量；Ly為橫向泄漏。

DNTM根據(jù)對堆芯擴散節(jié)塊格林函數(shù)法在上述橫向積分離散縱標方程上推廣，可得到相應的橫向積分節(jié)塊面平均角中子通量及節(jié)塊標量中子通量，并構(gòu)造成一般的源迭代形式，即可完成節(jié)塊離散縱標法的求解，具體過程參見文獻［2－3］。

1．2 中子平衡法

在堆芯擴散節(jié)塊展開法（NEM）中，一般通過采用中子通量連續(xù)和中子流連續(xù)及權(quán)重方程，構(gòu)造堆芯節(jié)塊表面中子流耦合方程來求解全堆節(jié)塊表面中子流，而后根據(jù)中子平衡方程求得節(jié)塊平均中子通量，同時根據(jù)節(jié)塊表面中子流更新偏中子通量及偏中子源，并構(gòu)造成一般的源迭代形式完成求解。在節(jié)塊離散縱標橫向積分方程中應用上述節(jié)塊展開法，構(gòu)造一種新的源迭代形式。

首先，根據(jù)橫向積分離散縱標方程（式（2））求解節(jié)塊表面橫向積分面平均角中子通量，橫向積分出射面平均角中子通量有如下形式（以μ＞0為例）：

對于橫向積分中子源，采用二階勒讓德多項式展開，即：

對于橫向中子泄漏，采用平坦中子泄漏，即式（3）。

將對橫向積分中子源和橫向中子泄漏的近似代入式（4），得到出射橫向積分出射面平均角中子通量的具體形式：

其中：Qn為橫向積分偏中子源；L0為平均中子泄漏；Cn為系數(shù)，具體形式如下：

對任意角度的離散縱標中子輸運方程（式（1））進行面積積分，得到二維笛卡爾坐標下的任意角度方向中子平衡方程，這與堆芯擴散節(jié)塊法的過程類似，其形式可寫為：

由中子平衡方程可得到節(jié)塊平均角中子通量ˉφm。對橫向積分偏（角度）中子通量采用二階勒讓德多項式展開，可采用如下方式：

根據(jù)以上橫向積分偏（角度）中子通量，對角度權(quán)重求和后就可得到源迭代需要的橫向積分偏中子源，至此，式（4）或（5）、（6）和（7）結(jié)合源迭代過程構(gòu)成了完整的中子平衡形式下的節(jié)塊離散縱標法。

1．3 CMFD加速技術(shù)

節(jié)塊離散縱標法可在較粗的網(wǎng)格下獲得與CMFD相同的精度，但由于中子輸運方程的特點，整個數(shù)值計算過程需更多的源迭代從而消耗較多計算時間，因此，與有限差分形式的離散縱標法相同，研究和采用有效的加速技術(shù)對于節(jié)塊離散縱標法是非常必要的。

從輸運方程中子截面得到擴散方程中子截面，特別是獲得擴散系數(shù)，從而可得到CMFD一般意義下的節(jié)塊耦合系數(shù)。通過中子輸運計算可得到輸運面中子流和體積平均通量，那么就可按照式（8）得到耦合修正系數(shù)。

將式（8）代入到中子擴散平衡方程即可得到一般的CMFD迭代方程，并可得到本征值和中子通量，隨后將SN的計算結(jié)果修正到該CMFD結(jié)果以實現(xiàn)加速。

2 數(shù)值結(jié)果

2．1 4×4 BWR基準問題

4×4BWR基準問題是一個用于驗證中子輸運計算的典型問題，該問題的燃料組件由簡化的燃料區(qū)和輕水區(qū)組成，且是一個兩群問題，圖1示出該基準問題的幾何結(jié)構(gòu)。圖1中，數(shù)字1、2表示材料編號，數(shù)字1．0、1．5和1．6表示網(wǎng)格寬度，單位為cm。表1列出該基準問題的材料中子截面［5－6］。

圖1 4×4BWR基準問題幾何結(jié)構(gòu)Fig．1 Layout of 4×4BWR benchmark problem

與參考問題一致，本文采用1個柵元為1個節(jié)塊進行計算，并分別采用了S4和S8進行計算。表2列出本征值計算結(jié)果的比較。圖2示出熱群（g＝2）通量計算結(jié)果（S8）與DNTM2D程序的比較。由表2和圖2可看出，本文計算的本征值和中子通量與其他程序的計算結(jié)果一致。

表1 4×4BWR基準問題中子截面Table 1 Cross section of 4×4BWR benchmark problem

表2 4×4BWR基準問題本征值Table 2 Eigenvalue of 4×4BWR benchmark problem

圖2 BWR組件問題中子通量分布Fig．2 Neutron flux distribution of BWR assembly problem

2．2 C5G7 MOX基準問題

C5G7MOX基準問題是目前廣泛應用的帶MOX燃料組件的全堆問題，堆芯中包括兩個UOX組件和兩個MOX燃料組件，且該問題是一非均勻柵元7群計算問題。為了驗證本文計算方法，以C5G7MOX基準問題中MOX燃料組件為基礎構(gòu)建一均勻柵元單組件（MOX）問題。

首先通過MOC方法［7］采用非均勻計算獲得較精確的非均勻解，然后通過均勻化獲得各柵元均勻中子截面，并選取典型的柵元均勻截面作為C5G7MOX單組件問題的中子截面。本文選取第9行的第1、2、3和4列這4個位置柵元均勻化截面作為典型截面用于全組件其他柵元，另外中心位置用導向管柵元代替原問題測量管柵元。最后采用MOC方法進行均勻化計算得到本征值和中子通量結(jié)果作為參考解。

本文采用1個柵元為1個節(jié)塊進行計算，并分別采用了S4和S8進行計算。本文計算中，本征值keff的S4和S8計算結(jié)果分別為1．185 57和1．185 74，而MOC方法的參考解為1．185 99，本文計算結(jié)果與參考解基本一致。圖3示出本文計算（S8）和參考解的柵元中子功率。由圖3可見，相對于參考解，本文計算的中子功率與參考解平均相對偏差和最大相對偏差分別為0．3%和1．0%，本文計算的中子通量與MOC方法的計算結(jié)果符合良好。

圖3 C5G7MOX單組件問題柵元中子功率分布Fig．3 Cell neutron power distribution of C5G7MOX single assembly problem

2．3 CMFD加速性能

節(jié)塊離散縱標法盡管相對差分格式離散縱標法有一定的計算效率優(yōu)勢，但由于輸運方程的特點使其計算速度還是相對較慢。根據(jù)CMFD理論模型，對節(jié)塊離散縱標法采用了CMFD加速并進行了相應的數(shù)值模擬。

對4×4BWR基準問題和C5G7MOX單組件基準問題進行計算，對于采用和不采用CMFD加速下的節(jié)塊離散縱標法計算的外迭代次數(shù)進行了統(tǒng)計，結(jié)果列于表3。由表3可看出，采用CMFD加速后的外迭代次數(shù)明顯減少，取得了非常優(yōu)良的效果。

表3 CMFD加速效果Table 3 CMFD acceleration performance

3 結(jié)論和建議

本文提出了一種簡潔、有效的中子平衡形式的節(jié)塊離散縱標法，給出了具體的理論模型。數(shù)值結(jié)果表明，提出的模型是可行的，計算結(jié)果正確。

一般而言，中子輸運離散縱標法由于輸運方程的特點計算速度相對較慢，因而需要進行加速。CMFD加速方法已在MOC方法中取得了非常優(yōu)良的效果，在節(jié)塊離散縱標法中采用類似的方法，也取得了相似的效果。

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［6］ 吳宏春，孫幸光，曹良志，等．二維中子輸運方程計算的角度多重網(wǎng)格加速方法及外推加速技術(shù)［J］．核動力工程，2008，29（4）：5－9．

WU Hongchun，SUN Xingguang，CAO Liangzhi，et al．Angular multigrid acceleration method and lyusternik－wagner extrapolation acceleration technique for two－dimensional neutron transport equation［J］．Nuclear Power Engineering，2008，29（4）：5－9（in Chinese）．

［7］ LI Zhiyong，ZHANG Ying．The application and performance of ACMFD acceleration in 2D／3D full core MOC transport fuse method［C／CD］∥PHYSOR－2014．Kyoto：Kyoto University，2014．

Study on Neutron Balance Nodal Discrete Ordinate Method and CMFD Acceleration Technique

LI Zhi－yong
（Shanghai Branch，China General Nuclear Engineering Design Company，Shanghai 200030，China）

Based on transverse integration discrete ordinate equation，the relationship between transverse integrated outgoing and incoming flux was analytically obtained in this paper，and with transport nodal neutron balance equation analog to nodal diffusion method，an effective nodal discrete ordinate numerical iteration strategy was obtained．Numerical results indicate that the method given in this paper is feasible and the results are reliable．In addition，the widely used coarse mesh finite difference（CMFD）acceleration technique is adopted in nodal discrete ordinate method and provides good result．

discrete ordinate method；nodal expansion method；neutron balance；CMFD acceleration technique

TL329

A

：1000－6931（2015）03－0497－05

10．7538／yzk．2015．49．03．0497

2013－12－17；

2014－07－24

李志勇（1981—），男，湖南益陽人，工程師，從事反應堆物理設計及數(shù)值計算研究