吳燕林

(陽光學院基礎(chǔ)部, 福建 福州 350015)

廣義均衡問題、極大單調(diào)算子和全局擬-φ-漸近非擴張半群的公共元的強收斂定理

吳燕林

(陽光學院基礎(chǔ)部, 福建 福州 350015)

針對廣義均衡問題、 極大單調(diào)算子和全局擬-φ-漸近非擴張半群的公共元， 提出一個新的迭代算法， 在適當?shù)臈l件下， 證明了由此迭代算法生成的序列的強收斂定理.

極大單調(diào)算子； 全局擬-φ-漸近非擴張半群; 廣義均衡問題； 公共不動點

0 引言

設(shè)E為實的Banach空間，E*為其對偶空間. 設(shè)C為E的非空閉凸子集，J:E→2E*為正規(guī)對偶映射.

設(shè)Φ:C×C→R，A:C→E*. 考慮如下廣義均衡問題(簡記為GEP)， 令u∈C， 使得

用GEP(Φ)表示(1)式的解集.

眾所周知， 問題(1)有著廣泛的應(yīng)用， 例如， 變分包含問題、 變分不等式問題、 不動點問題、 最優(yōu)化問題, 參見文獻[1-3].

假設(shè)二元函數(shù)Φ:C×C→R滿足下列條件：

(A1)Φ(x,x)=0(?x∈C);

(A2)Φ是單調(diào)的, 即Φ(x,y)+Φ(y,x)≤0(?x,y∈C);

(A4) 對每個x∈C, 函數(shù)y|→Φ(x,y)是凸的和下半連續(xù)的.

設(shè)C為E中的非空閉凸子集， 定義廣義投影算子ΠC:E→C為

稱T:E→2E*為單調(diào)的， 如果滿足〈x-y,x*-y*〉≥0, 其中x*∈Tx,y*∈Ty. 稱T為極大單調(diào)的， 如果它的圖像不包含在其它任何單調(diào)算子的圖像里. 記T的預(yù)解算子為：Jλ:=(J+λT)-1J(?λ>0)， 則Jλ：E→D(T)是單值映射且T-10=F(Jλ)(?λ>0)， 其中D(T)為T的有效域，F(xiàn)(Jλ)表示Jλ的不動點集.

稱Γ:={T(t):C→C;t≥0}為({νn}、 {μn}、ζ)全局擬-φ-漸近非擴張半群， 如果F(Γ)≠?且存在非負的實序列{νn}、 {μn}滿足νn→0，μn→0(n→∞)及嚴格遞增的連續(xù)泛函ζ:[0, ∞)→[0, ∞),ζ(0)=0符合下列條件：

1)T(0)x=x(?x∈C)；

2)T(s+t)x=T(s)T(t)x(?s,t≥0, ?x∈C)；

3) 對每一個x∈C， 映射t|→T(t)x在[0, ∞)上都是連續(xù)的；

4)φ(p,Tn(t)x)≤φ(p,x)+νnζ(φ(p,x))+μn(?n≥0,x∈C,p∈F(Γ),t≥0)

注1[4]設(shè)E為一致光滑和嚴格凸的Banach空間,T:E→2E*為極大單調(diào)算子且T-10≠?， 則Jλ:=(J+λT)-1J(?λ>0)是從E到D(T)全局擬-φ-漸近非擴張的和閉的.

受到文獻[5-6]的啟發(fā)， 本文針對廣義均衡問題， 極大單調(diào)算子和全局擬-φ-漸近非擴張半群的公共元， 提出如下算法1：

在適當?shù)臈l件下， 證明了由算法1生成的序列強收斂于ΠΞ(x0). 其中，Ξ=GEP(Φ)∩T-10∩F(Γ) . 本研究是將文獻[5]的研究對象從相對非擴張映射可數(shù)族推廣到全局擬-φ-漸近非擴張半群, 同時將文獻[6]的研究對象從全局擬-φ-漸近非擴張半群拓展到全局擬-φ-漸近非擴張半群公共不動點和廣義均衡問題的解及極大單調(diào)算子的零點的公共元問題.

1 預(yù)備知識

引理1[7]設(shè)E是自反， 嚴格凸和光滑的Banach空間，C為E的非空閉凸子集， 則下面結(jié)論成立：

(ⅰ)φ(x,ΠCy)+φ(ΠCy,y)≤φ(x,y)(?x∈C,y∈E)；

(ⅱ) 如果x∈E和z∈C, 則z=ΠCx?〈y-z,Jx-Jz〉≤0(?y∈C)；

(ⅲ) 對任意的x,y∈E，當且僅當x=y時，φ(x,y)=0.

引理2[8]設(shè)E是自反， 嚴格凸和光滑的Banach空間，C是E的非空閉凸子集，A:C→E*為α-逆強單調(diào)算子， 二元函數(shù)Φ:C×C→R滿足(A1)～(A4). 令λ>0， 則對任意的x∈E， 存在u∈C使得

若E為一致光滑的， 定義Tλ:E→C為：

則Tλ滿足下面的性質(zhì):

引理3[8-10]設(shè)E是自反、 嚴格凸和光滑的Banach空間，T:E→2E*為多值映射， 則如下結(jié)論成立：

(ⅰ)φ(z,Jλx)+φ(Jλx,x)≤φ(z,x)(?λ>0,z∈T-10,x∈E);

(ⅱ)Jλ：E→D(T)為相對非擴張映射;

(ⅲ) 如果T是極大單調(diào)的和T-10≠?， 則T-10是閉凸的；

(ⅳ)T是極大單調(diào)的當且僅當T是單調(diào)的且R(J+λT)=E*(?λ>0).

引理4[4]設(shè)自反、 嚴格凸和光滑的實Banach空間E和E*都具有Kadec-Klee性質(zhì)，C為E的非空閉凸子集,T:C→C為({νn}、 {μn}、ζ)全局擬-φ-漸近非擴張映射， 則F(T)是C中的閉凸子集.

3 主要結(jié)論

定理1 設(shè)光滑、 嚴格凸和自反的實Banach空間E和E*都具有Kadec-Klee性質(zhì)，C為E的非空閉凸子集. 設(shè)A:C→E*為α-逆強單調(diào)算子， 二元函數(shù)φ:C×C→R滿足條件(A1)～(A4)；T:E→2E*為極大單調(diào)算子； 設(shè)Γ:={T(t):t≥0}為閉的、 一致Lipschitz和({νn}、 {μn}、ζ)全局擬-φ-漸近非擴張半群， 使得:Ξ≠?. 設(shè)序列{λn}?[d, ∞)(d>0)， {αn}?[0, 1)， {βn}?(0， 1)滿足條件：

若Ξ在C中有界， 則由算法1生成的序列{xn}強收斂于ΠΞ(x0).

證明 首先， 由Cn定義， 容易證明Cn(n≥0)是C的閉凸子集.

其次， 利用歸納法結(jié)合引理2的結(jié)論可證Ξ?Cn, ?n≥0.

第四， 證明xn→p*(n→∞)(p*是C中的一點).

第五， 證明p*∈Ξ.

如果τ*∈Tτ， 根據(jù)算子T的單調(diào)性可得: 〈τ-Jλnwn, t, τ*-Aλnwn, t〉≥0(?n≥0， t≥0 ).

令n→∞， 得到〈τ-p*, τ*〉≥0， 因此， 由T的極大單調(diào)性可得: p*∈T-10.

最后， 由{xn}有界和Γ:={T(t):t≥0}為({νn}、 {μn}、 ζ)全局擬-φ-漸近非擴張半群， 可證明p*∈F(Γ)且p*=ΠΞx0. 定理1證畢.

由定理1可得如下的定理2和定理3， 證明省略.

定理2 設(shè)E、 C、 {αn}、 {βn}、 {λn}都如定理1所定義. 設(shè)A: C→E*為α-逆強單調(diào)算子， 二元函數(shù)Φ:C×C→R滿足條件(A1)～(A4). 設(shè)極大單調(diào)算子T:E→2E*滿足Jλ：=(J+λT)-1J, ?λ>0.Γ:={T(t):t≥0}為閉的、 一致Lipschitz和({kn})擬-φ-漸近非擴張半群(其中{kn}?[1, ∞)，kn→1且滿足Ξ≠?). 若Ξ在C中有界， 那么由算法1產(chǎn)生的序列{xn}強收斂于ΠΞ(x0).

定理3 設(shè)E、C、 {αn}、 {βn}、 {λn}都如定理1所定義； 設(shè)A:C→E*為α-逆強單調(diào)算子， 二元函數(shù)Φ:C×C→R, 滿足條件(A1)～(A4). 設(shè)極大單調(diào)算子T:E→2E*滿足Jλ：=(J+λT)-1J, ?λ>0.Γ:={T(t):t≥0}為閉的、 ({kn})擬-φ-漸近非擴張半群(其中{kn}?[1, ∞)，kn→1且滿足Ξ≠?；ΠCn+1:E→Cn+1為廣義投影). 則由算法1生成的序列{xn}強收斂于ΠΞ(x0).

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(責任編輯： 林曉)

Strong convergence theorems of an iterative method for a generalized equilibrium problem, a maximal monotone operator and total quasi-φ-asymptotically nonexpansive semigroups

WU Yanlin

(Department of Basic Teaching, Yango College, Fuzhou, Fujian 350015, China)

We propose an iterative scheme for finding a common element of the solutions of a generalized equilibrium problem, a maximal monotone operator and total quasi-φ-asymptotically nonexpansive semigroups. Under some appropriate conditions, we establish some strong convergence theorems of the sequences generated by our proposed scheme.

maximal monotone operator; total quasi-φ-asymptotically nonexpansive semigroups; generalized equilibrium problem; common fixed point

2014-09-07

吳燕林(1984-)， 講師， 主要從事非線性優(yōu)化研究，wyl-kk@163.com

福建省自然科學基金資助項目(2014J01008)

10.7631/issn.1000-2243.2015.06.0733

1000-2243(2015)06-0733-05

O122.3

A