張明俊 郭艷鳳 周紅衛(wèi)

（廣西科技大學(xué)理學(xué)院，廣西 柳州545006）

高等數(shù)學(xué)作為一門高等學(xué)校中所有理工科所需要的非常基礎(chǔ)學(xué)科，在高等學(xué)校的教育中起到了很重要的作用。高等數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)思想、邏輯和方法為高校學(xué)生在本專業(yè)方向的發(fā)展提供很好的前提[1]。它是提高學(xué)生在自己的專業(yè)方向上尋找問題、分析問題、解決問題的能力的基石，是在這些基礎(chǔ)上延伸問題深度的思想源泉。

隨著高等學(xué)校教育改革的不斷發(fā)展，高等數(shù)學(xué)的改革在高等學(xué)校中的改革是一個(gè)很重要的環(huán)節(jié)。為了進(jìn)一步加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)的教育改革，我們不僅需要加強(qiáng)課程的內(nèi)容的改革，更重要的是在教學(xué)過程中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式和邏輯能力及其在各專業(yè)中的應(yīng)用。于是，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中不僅要讓學(xué)生了解解決問題的不同思想方法及其應(yīng)用，而且還要結(jié)合Matlab軟件對(duì)所用的不同思想和方法進(jìn)行直觀實(shí)現(xiàn)來圖形并用，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性。在教學(xué)過程中讓學(xué)生真正的掌握所學(xué)的高等數(shù)學(xué)的思維方式和邏輯應(yīng)用，這在理工科專業(yè)發(fā)展方向上是必不可少的基本知識(shí)，為學(xué)生在本專業(yè)上的發(fā)展及深入研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

為了更好的理解高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的中的不同思想方法及應(yīng)用和Matlab軟件相結(jié)合的教學(xué)方法。這里主要考慮在高等數(shù)學(xué)中用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積為例，來說明不同思想方法及其應(yīng)用和Matlab軟件的畫圖的直觀實(shí)現(xiàn)的相結(jié)合[2]，讓學(xué)生更好地理解高等數(shù)學(xué)的不同思想方法及應(yīng)用，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣和積極性，并掌握相關(guān)數(shù)學(xué)思想。

1 利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積的思想方法

在高等數(shù)學(xué)定積分的應(yīng)用有很多方面，其中求旋轉(zhuǎn)體的的體積是一個(gè)重要的應(yīng)用，在現(xiàn)實(shí)中也經(jīng)常會(huì)用到這方面的內(nèi)容。為了應(yīng)用定積分來解決問題，首先確定所求的量（這里我們所求的量都是體積），其次是確定積分變量，得到所求的量的微元元素（即體積元素），最后以所求的量的微元元素為被積函數(shù)，在積分變量的范圍內(nèi)求定積分，得到所求的量（體積）。

通常情況下，對(duì)于旋轉(zhuǎn)體的體積，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的區(qū)域給定以后，一般都是選取旋轉(zhuǎn)軸為相應(yīng)的積分變量。具體的方法步驟，參考文獻(xiàn)[3].

但是，在很多情況下，選取旋轉(zhuǎn)軸為相應(yīng)的積分變量并不是很容易計(jì)算。于是，我們也可以選取另一個(gè)坐標(biāo)軸作為積分變量，這樣在求體積元素的時(shí)候就要轉(zhuǎn)變通常的思想來求體積元素，即通過求旋轉(zhuǎn)體的微小的外殼的體積元素來作為被積函數(shù)，然后再進(jìn)行積分。具體的思想方法我們可以從下面的簡(jiǎn)單的例子中看到。

例1：求由矩形區(qū)域x=1，x=3和y=0，y=5繞著y軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。

方法一：首先，要求的量就是旋轉(zhuǎn)體的體積。

其次，選取y為積分變量，積分區(qū)間為[0，5]，在y軸上選取小區(qū)間，得到所求體積的體積元素，參考圖1，

最后，以體積元素為被積函數(shù)，在積分區(qū)間[0，5]上進(jìn)行積分，得到所求的體積

因此，所求體積為40π。

方法二：首先，要求的量是旋轉(zhuǎn)體的體積。

其次，選取x為積分變量，積分區(qū)間為[1，3]，在x軸上選取小區(qū)間[x，x+dx]，得到所 求體積的體積元素，即得到一個(gè)很小的環(huán)形外殼的體積，參考圖2，

最后，以體積元素為被積函數(shù)，在積分區(qū)間[0，5]上進(jìn)行積分，得到所求的體積：

因此，所求體積為40π。

通過Matlab軟件畫立體圖形，在電腦上展示兩種不同思想方法的體積元素的立體圖形，從而使得學(xué)生更清晰的了解兩種方法的思想和差別。從不同的角度理解定積分求體積的微元法的應(yīng)用。

2 利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積的思想方法的應(yīng)用

從下面的應(yīng)用中我們可以看到，通常所用的方法，即以旋轉(zhuǎn)軸所在的變量為積分變量的時(shí)候，相對(duì)比較困難。于是我們就可以選取不是旋轉(zhuǎn)軸的變量為積分變量，從而按照相應(yīng)步驟得到所求的量（體積）。

例2：求由曲線x=sin y2，y軸和所圍成的區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。

方法一：選取x為積分變量，積分區(qū)間為[0，1]，在x軸上選取小區(qū)間[x，x+dx]，得到所求體積的體積元素，參考圖3，

以體積元素為被積函數(shù)，在積分區(qū)間上進(jìn)行積分，得到所求的體積：

3 兩種方法的應(yīng)用的比較和差別

在很多求旋轉(zhuǎn)體的體積的時(shí)候，一般情況下我們選取旋轉(zhuǎn)軸對(duì)應(yīng)的變量為積分變量是很容易想到的。然而，當(dāng)旋轉(zhuǎn)體所給的已知條件中的很多時(shí)候應(yīng)用柱狀外殼的體積作為體積元素的時(shí)候會(huì)更簡(jiǎn)便或更便于計(jì)算，這是可以選取非對(duì)稱軸所對(duì)應(yīng)的變量為積分變量來應(yīng)用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積。比如例二就是一個(gè)很典型的例子，其中所圍成區(qū)域中的邊界曲線有一條用y=f（x）的函數(shù)形式來表達(dá)，并不是很容易。這是我們就要思考是否可以選取另外一個(gè)變量為積分變量，就要應(yīng)用所求旋轉(zhuǎn)體的體積的另外一種方法，即體積元素選用柱狀外殼的體積。從中我們可以看出兩種方法應(yīng)用的差別和優(yōu)劣。具體用哪種方法，需要根據(jù)具體的問題中的條件進(jìn)行分析。

總之，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革中，需要在教學(xué)過程中傳授解決問題的各種不同的思想方法及應(yīng)用，并且為了更好的讓學(xué)生理解相應(yīng)的思想方法及應(yīng)用，可以結(jié)合Matlab軟件的畫圖功能，在課堂上進(jìn)行多媒體演示。這樣，讓理論和具體的圖形相結(jié)合，更能夠讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)的思想方法解決問題的本質(zhì)，并從教學(xué)的過程中讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的樂趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性。

［1］郭艷鳳，張明俊，黃李韋.工科線性代數(shù)教學(xué)改革之探討[J].經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊，2013,185(3)：301-302.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))[M].高等教育出版社,2007.

［3］James Stewart,Calculus[M].Belmont,CA：Brooks/Cole,Cengage Learning,2012.