施 雯

（上海市第三女子中學(xué)，上海200050）

2014年底，筆者有幸參加了全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)。當(dāng)時(shí)上海市級(jí)比賽的指定課題是《函數(shù)的概念》。經(jīng)過(guò)半個(gè)月的預(yù)備與調(diào)整，這節(jié)課受到了評(píng)委和學(xué)生們的認(rèn)可，而通過(guò)博觀、約取、交融、自省，筆者得以進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)教學(xué)方法。在這里分享筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程與反思，希望得到大家的批評(píng)指正。

一、“起”——三個(gè)方面的預(yù)備工作

1.理解函數(shù)及其相關(guān)知識(shí)

上教版高一數(shù)學(xué)《函數(shù)的概念》的教學(xué)，筆者的第一個(gè)預(yù)備工作就是大量閱讀各版本數(shù)學(xué)教材，查閱期刊與圖書，爭(zhēng)取從一個(gè)較高的視角理解“函數(shù)”。通過(guò)近乎地毯式的查閱學(xué)習(xí)，筆者對(duì)以下知識(shí)與內(nèi)容有了比較清晰的理解：

·映射與函數(shù)的關(guān)系；

·幾個(gè)函數(shù)的概念：變量說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)、映射說(shuō)、關(guān)系說(shuō)等；

·f（x）的函數(shù)記號(hào)意義與函數(shù)值意義；

·函數(shù)表示方法的多種多樣；

·高等數(shù)學(xué)中的廣義函數(shù)概念。

一開(kāi)始，這些知識(shí)在筆者的頭腦中是零碎的，但之后得到系統(tǒng)整理，所有的設(shè)計(jì)都以此為堅(jiān)石，建筑其上。

2.梳理函數(shù)概念的歷史發(fā)展

從數(shù)學(xué)史的角度切入，縱向梳理數(shù)學(xué)概念常能給教學(xué)帶來(lái)啟發(fā)。所以，筆者也仔細(xì)查閱了函數(shù)概念的發(fā)展歷史。歷史上正是先有函數(shù)概念的“變量說(shuō)”，后抽象出“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，再進(jìn)一步得出“關(guān)系說(shuō)”。這和上教版教材的安排一致：八年級(jí)時(shí)學(xué)生接觸了“變量說(shuō)”函數(shù)概念，高一年級(jí)再學(xué)習(xí)“對(duì)應(yīng)說(shuō)”。概念的深化是循環(huán)上升的，而人的思維也是如此。

“函數(shù)關(guān)系可以存在而關(guān)系本身可以不知道”，Riemann在1834年關(guān)于函數(shù)“對(duì)應(yīng)說(shuō)”的這一解讀對(duì)我們?nèi)匀粯O具啟發(fā)；而Dirichlet構(gòu)造的、以他名字來(lái)命名的函數(shù)在概念演進(jìn)中是一座里程碑，在筆者的教學(xué)設(shè)計(jì)中也被吸納為一個(gè)亮點(diǎn)。

3.了解學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀

如前文所說(shuō)，高一學(xué)生已經(jīng)在八年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)《函數(shù)的概念》，那么他們的先入之見(jiàn)是怎樣的？了解學(xué)生函數(shù)概念學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀是第三個(gè)預(yù)備工作。筆者發(fā)現(xiàn)他們對(duì)具體的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)很熟悉，對(duì)“自變量”、“因變量”、“定義域”、“值域”這些數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)以及符號(hào)“f（x）”也不陌生，但對(duì)于抽象的函數(shù)概念比較生疏，這些函數(shù)知識(shí)未能形成整體的知識(shí)框架；八年級(jí)教材中已經(jīng)用“圖像法”與“列表法”表示過(guò)函數(shù)，但學(xué)生往往片面地將“函數(shù)”等價(jià)于“函數(shù)解析式”；有些學(xué)生還會(huì)將“函數(shù)”與“二元方程”混淆起來(lái)。學(xué)生的所知與所惑是教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)。

預(yù)備工作雖然分成三塊，但它們也有共通性，“從數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程可以更清楚地了解數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成，而學(xué)生學(xué)習(xí)上的疑惑亦往往是歷史上數(shù)學(xué)發(fā)展中的一些重要轉(zhuǎn)折?！保?］（P5～9）所以教學(xué)預(yù)備不分先后，而是同時(shí)開(kāi)展了閱讀與學(xué)習(xí)，為后續(xù)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐作準(zhǔn)備。

二、“承”——選擇恰當(dāng)?shù)膶?shí)例引入

函數(shù)現(xiàn)象在生活與科學(xué)領(lǐng)域普遍存在，用實(shí)例引入函數(shù)概念是一開(kāi)始就被確定的教學(xué)思路。恰當(dāng)?shù)膶?shí)例可以帶給學(xué)生“似曾相識(shí)”之感，對(duì)新的概念形成“山雨欲來(lái)”之勢(shì)，那么究竟怎樣才是“恰當(dāng)”的呢？具體來(lái)說(shuō)，有這樣幾個(gè)問(wèn)題需要思考：要舉幾個(gè)實(shí)例才夠？是否包括反例？是否沿用教材中的例子？如果選擇教材外的例子，它的優(yōu)勢(shì)在哪里？筆者最終選擇的三個(gè)實(shí)例或來(lái)源于生活，或是學(xué)生熟悉的物理實(shí)驗(yàn)問(wèn)題：

實(shí)例1：自由落體實(shí)驗(yàn)

從10米的高處讓一個(gè)小球自由落下，已知重力加速度為9.8m/s2，若空氣阻力忽略不計(jì)，試用恰當(dāng)?shù)姆绞奖硎拘∏蛟谙侣溥^(guò)程中經(jīng)過(guò)的距離y（米）與時(shí)間x（秒）的關(guān)系。

實(shí)例2：10月手機(jī)流量走勢(shì)圖（見(jiàn)圖1）

圖1 10月手機(jī)流量走勢(shì)圖

圖2 麥當(dāng)勞菜單中的編號(hào)和價(jià)格

小明每個(gè)月手機(jī)移動(dòng)數(shù)據(jù)總流量為50MB，10月份他的剩余流量y（MB）與時(shí)間x（天）之間的關(guān)系可以用圖1來(lái)描述。這個(gè)圖中的兩個(gè)變量：時(shí)間x與手機(jī)流量余額y是“函數(shù)關(guān)系”嗎？為什么？

實(shí)例3：麥當(dāng)勞點(diǎn)餐（見(jiàn)圖2）

一位外國(guó)人走進(jìn)麥當(dāng)勞餐廳，他想買一個(gè)漢堡包，可他看不懂中文菜單，想一想他該怎樣來(lái)點(diǎn)餐呢？如果他指出所選擇漢堡包的編號(hào)，那么營(yíng)業(yè)員就能奉上他想要的漢堡包，他所需支付的價(jià)格也被唯一確定了。這里有兩個(gè)變量：編號(hào)和價(jià)格，它們也是函數(shù)關(guān)系嗎？思考一個(gè)合理的表示方法使編號(hào)與價(jià)格的關(guān)系一目了然。

這三個(gè)實(shí)例從外在形式上恰恰運(yùn)用了本節(jié)課要介紹的三種表示方法：解析法、圖像法與列表法。從內(nèi)在價(jià)值上說(shuō)，第一個(gè)實(shí)例“自由落體實(shí)驗(yàn)”是學(xué)生在初中就已經(jīng)學(xué)過(guò)的最經(jīng)典的物理實(shí)驗(yàn)，以此為例簡(jiǎn)單明了地點(diǎn)出本節(jié)課的主題是“函數(shù)”，溫習(xí)了初中的函數(shù)概念。自由落體運(yùn)動(dòng)中時(shí)間變量有意義的范圍而需特別留意，借這個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)又讓學(xué)生關(guān)注了定義域，并對(duì)函數(shù)三要素建立了整體的觀點(diǎn)。第二個(gè)實(shí)例“手機(jī)流量余額走勢(shì)圖”和當(dāng)代高中生的生活息息相關(guān)，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的函數(shù)現(xiàn)象比比皆是。而這個(gè)難以用解析式來(lái)擬合的函數(shù)圖像，排除掉“解析式”這一表示方法的干擾，也向?qū)W生們展示了“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的本質(zhì)。第三個(gè)實(shí)例“麥當(dāng)勞點(diǎn)單問(wèn)題”的意義不僅在于介紹了列表法，拋開(kāi)解析式突出對(duì)應(yīng)法則，更在于通過(guò)對(duì)換自變量與因變量，提出“編號(hào)是否是價(jià)格的函數(shù)”這一問(wèn)題，由反例的辨析使學(xué)生明確函數(shù)的對(duì)應(yīng)必須是“單值對(duì)應(yīng)”。三個(gè)實(shí)例從熟悉的情境中提煉函數(shù)，從多角度呈現(xiàn)函數(shù)，從正反兩方面辨析概念，從低到高層層抽象，很好地幫助學(xué)生理解概念。

書本上的例題，如“出租車定價(jià)問(wèn)題”是一個(gè)分段函數(shù)，起點(diǎn)較高；而110欄世界紀(jì)錄問(wèn)題的定義域不是實(shí)數(shù)集合，為符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)筆者做了相應(yīng)的替換。但筆者所選擇的實(shí)例也有不足之處：“麥當(dāng)勞點(diǎn)單問(wèn)題”中編號(hào)的集合是不是實(shí)數(shù)集呢？自然數(shù)有基數(shù)與序數(shù)兩種意義，而編號(hào)取其序數(shù)意義。但從康托爾對(duì)實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義上來(lái)說(shuō)，編號(hào)的集合中元素間的加法與乘法是無(wú)意義的，說(shuō)這個(gè)集合滿足實(shí)數(shù)集的四組公理略顯牽強(qiáng)。但由于它在教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)這一爭(zhēng)議也就暫且存而不論。

三、“轉(zhuǎn)”——設(shè)計(jì)實(shí)踐的一波三折

為能更好地將“函數(shù)”這一數(shù)學(xué)核心概念傳遞給學(xué)生，筆者不斷修改教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐。但設(shè)計(jì)的框架是基本不變的。所設(shè)計(jì)的四個(gè)環(huán)節(jié)：“概念的溫習(xí)”、“概念的深化”、“概念的抽象”、“概念的應(yīng)用”，從學(xué)生初中已學(xué)的知識(shí)入手，層層深化、層層抽象，從“變量—依賴關(guān)系”上升到“集合—對(duì)應(yīng)關(guān)系”的函數(shù)概念。

·概念的溫習(xí)：通過(guò)實(shí)例1“自由落體實(shí)驗(yàn)”溫習(xí)初中的函數(shù)概念，指出“變量說(shuō)”中需要精細(xì)化的部分，明確本節(jié)課的目標(biāo)是再次學(xué)習(xí)“函數(shù)”這一概念。

·概念的深化：通過(guò)三個(gè)實(shí)例幫助學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)不同的表示方法；理解函數(shù)概念的核心是單值對(duì)應(yīng)；理解函數(shù)是由定義域、對(duì)應(yīng)法則以及由此唯一確定的值域所構(gòu)成的整體。這一階段鼓勵(lì)學(xué)生充分參與，給他們足夠的時(shí)間思考體驗(yàn)。

·概念的抽象：抽象出“集合—對(duì)應(yīng)關(guān)系”所描述的函數(shù)概念，用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫。

·概念的應(yīng)用：應(yīng)用函數(shù)的概念解決練習(xí)及其變式問(wèn)題，鞏固概念理解。

然而兩次試講帶來(lái)的變化也不少，筆者將三個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中有明顯變動(dòng)的部分列了表格（見(jiàn)表1）?？梢钥吹?，即使最核心的“教學(xué)目標(biāo)”也有過(guò)調(diào)整。就像李·舒爾曼教授（Shulman，L.S.）所說(shuō)：“I understand，therefore I teach；I teach，therefore I understand.”［2］（P1～22）通過(guò)實(shí)際的教學(xué)，筆者對(duì)教材與知識(shí)才有了進(jìn)一步的理解，這促使筆者能不斷地進(jìn)行優(yōu)化。

表1 三次教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)比表

教學(xué)目標(biāo) 1.在初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)際的例子，深化“函數(shù)”這一核心數(shù)學(xué)概念，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地刻畫。2.理解并掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖示法與列表法；并且能對(duì)不同的問(wèn)題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ā?.通過(guò)多個(gè)函數(shù)的例子，理解函數(shù)三要素，掌握確定一個(gè)函數(shù)的方法。1.在初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)際的例子，深化“函數(shù)”這一核心數(shù)學(xué)概念，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言準(zhǔn)確地刻畫。2.理解并掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖示法與列表法；并且能對(duì)不同的問(wèn)題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ā?.通過(guò)多個(gè)函數(shù)的例子，理解函數(shù)三要素，掌握確定一個(gè)函數(shù)的方法。1.在初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀察、辨析幾個(gè)實(shí)際的例子，逐步抽象出“函數(shù)的概念”，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行刻畫。2.理解并掌握函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖像法與列表法，并揭示出三種方法背后的本質(zhì)，即“對(duì)應(yīng)關(guān)系”。3.通過(guò)多個(gè)具體函數(shù)的例子，理解函數(shù)的三要素，掌握確定一個(gè)函數(shù)的方法。初中“變量說(shuō)”函數(shù)概念的處理方法既放在“概念的溫習(xí)”環(huán)節(jié)，指出其中不明確、有待精細(xì)化的語(yǔ)言，又在“概念的抽象”環(huán)節(jié)中與“集合－對(duì)應(yīng)關(guān)系”進(jìn)行對(duì)比。板書設(shè)計(jì) 板書解析式或表格，板書函數(shù)概念的文字。放在“概念的溫習(xí)”環(huán)節(jié)，指出其中不明確、有待精細(xì)化的語(yǔ)言。放在“概念的溫習(xí)”環(huán)節(jié)，指出其中不明確、有待精細(xì)化的語(yǔ)言。對(duì)每個(gè)實(shí)例都用圖示表示出一致的結(jié)構(gòu)：函數(shù)的三要素；用抽象的“D－f－A”圖示概括函數(shù)概念。投影函數(shù)概念的文字。進(jìn)一步精細(xì)圖式化的板書設(shè)計(jì)，突出函數(shù)三要素，突出對(duì)應(yīng)關(guān)系。求定義域問(wèn)題 放在“概念的應(yīng)用”環(huán)節(jié)，例題2。 不特意涉及。 融入到每一個(gè)實(shí)例與例題中。函數(shù)三種表示方法的對(duì)比放在“概念的深化”環(huán)節(jié)，實(shí)例3即用列表法、又用圖像法表示。不特意涉及。 放在“概念的應(yīng)用”環(huán)節(jié)最后一道例題，用解析法、圖像法、列表法表示同一個(gè)函數(shù)。

在第一次試講后，筆者發(fā)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的內(nèi)容在40分鐘的時(shí)間里很難完成。所以教學(xué)設(shè)計(jì)的一大改變就是“突出教學(xué)重點(diǎn)，精煉教學(xué)內(nèi)容”。上教版數(shù)學(xué)教材中，這節(jié)課的第一個(gè)例題就是求函數(shù)的定義域，但為了給學(xué)生足夠的時(shí)間來(lái)觀察、辨析、實(shí)現(xiàn)“函數(shù)概念的抽象”這一最重要的目標(biāo)，教師在第二稿中把“定義域的求法問(wèn)題”刪除了。另外，也發(fā)現(xiàn)把“函數(shù)三種表示方法的對(duì)比”放在實(shí)例3中，不僅不能幫助學(xué)生比較各個(gè)方法的特點(diǎn)，還弱化了實(shí)例3辨析函數(shù)“單值對(duì)應(yīng)”的效果，學(xué)生對(duì)這個(gè)實(shí)例的目的性感到茫然。對(duì)比的時(shí)機(jī)和載體都不恰當(dāng)，所以在第二次設(shè)計(jì)中也將它刪除。

第一次試講課堂效率不夠高的原因還在于板書設(shè)計(jì)的不合理。受到映射圖示表達(dá)的啟發(fā)，我們發(fā)現(xiàn)可以將各個(gè)實(shí)例中的具體信息隱去，而將定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域分別抽象出來(lái)（圖3），再?gòu)倪@三個(gè)圖式表達(dá)中找到一致的結(jié)構(gòu)：即定義域D通過(guò)對(duì)應(yīng)法則f得到確定的值域A（圖3），用這個(gè)高度抽象的圖式來(lái)簡(jiǎn)潔地展現(xiàn)出函數(shù)的共性，淡化“函數(shù)的表示方法”、“對(duì)應(yīng)法則的符號(hào)”、“變量字母的選擇”這些非核心屬性，突出函數(shù)概念的重要屬性是函數(shù)三要素。也讓學(xué)生不必逐字逐句記憶概念，而用看圖說(shuō)話的方式把函數(shù)概念表述出來(lái)。這一設(shè)計(jì)使第二次試講效果很好。

第二次試講的教學(xué)節(jié)奏緊湊、學(xué)生參與度很高，但課后教師反思：學(xué)生走出課堂時(shí)與他們走進(jìn)課堂時(shí)應(yīng)該有什么不同？這節(jié)課有沒(méi)有將他們領(lǐng)進(jìn)函數(shù)概念的核心？有沒(méi)有帶他們思考函數(shù)本質(zhì)的問(wèn)題？追問(wèn)這節(jié)課的最大價(jià)值，筆者意識(shí)到并不在于介紹函數(shù)的表示方法，也不是介紹“集合－對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，而是讓學(xué)生理解函數(shù)的本質(zhì)——“對(duì)應(yīng)關(guān)系”。教學(xué)目標(biāo)的變化就來(lái)自于對(duì)這節(jié)課價(jià)值的深一層認(rèn)識(shí)，而其他相應(yīng)的調(diào)整都圍繞這個(gè)目標(biāo)而展開(kāi)。

圖3 圖式化表達(dá)的函數(shù)概念

首先是將“變量－依賴關(guān)系”與“集合－對(duì)應(yīng)關(guān)系”兩個(gè)函數(shù)概念進(jìn)行了對(duì)比。新的概念用了集合語(yǔ)言與對(duì)應(yīng)法則f：什么是函數(shù)關(guān)系呢？用“對(duì)應(yīng)法則f”表達(dá)比“依賴關(guān)系”更數(shù)學(xué)化更準(zhǔn)確；“對(duì)應(yīng)法則f”是不是一定有顯性的解析式、圖像或表格呢？其實(shí)f可以理解為一個(gè)“黑箱”，一個(gè)非空實(shí)數(shù)集中的元素只要輸入“黑箱”f，就有唯一確定的實(shí)數(shù)輸出，這就建立起了函數(shù)的關(guān)系。但兩種概念雖然有分別，實(shí)際上又是統(tǒng)一的，通過(guò)對(duì)比教師又能幫助學(xué)生將初高中函數(shù)的知識(shí)整合起來(lái)。

其次，將“函數(shù)三種表示方法的對(duì)比”放到最后一個(gè)例題的變式中，也作為整節(jié)課的收束。

例題：下列各組所表示的函數(shù)是否相同？請(qǐng)同學(xué)們判斷并說(shuō)明理由。

③f（x）＝2x，x∈｛0，1，2，3｝，g（t）

變式：下面表格（見(jiàn)圖4）與圖像（見(jiàn)圖5）中y關(guān)于x的函數(shù)與第③問(wèn)的函數(shù)相同嗎？

通過(guò)這個(gè)例題與變式讓學(xué)生再次回到函數(shù)的定義里，理解函數(shù)的本質(zhì)不是變量的名稱，不是函數(shù)解析式，也不是函數(shù)的表示方法，而是定義域、對(duì)應(yīng)法則和由此被確定的值域。

圖5 圖像法函數(shù)表達(dá)

圖4 列表法函數(shù)表達(dá)

最后，再次將“定義域的求法”納入到教學(xué)設(shè)計(jì)中。定義域是確定函數(shù)的兩要素之一，沒(méi)有明確定義域就無(wú)法確定函數(shù)。所以可將定義域的求法作為一條副線：在實(shí)際例子要考慮符合背景的限制條件，例題中的函數(shù)定義域則要讓表達(dá)式有意義。這樣既幫助學(xué)生鞏固了定義域的求法，達(dá)到知識(shí)點(diǎn)的全面覆蓋，又不增加教學(xué)內(nèi)容，能在課堂40分鐘內(nèi)實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

四、“合”——賽后反思的去取從來(lái)

通過(guò)這節(jié)課的備課，筆者不斷充實(shí)自己的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，不僅僅在廣度和數(shù)量上，更在深度和質(zhì)量上對(duì)“函數(shù)”這一概念進(jìn)行學(xué)習(xí)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程的認(rèn)識(shí)、體會(huì)數(shù)學(xué)研究者面對(duì)問(wèn)題的探究、思考方式的特點(diǎn)。［3］（P81～83）通過(guò)兩次的試講和平日的交談，筆者也增進(jìn)了對(duì)學(xué)生的理解?！爸啦煌挲g和背景的學(xué)生在學(xué)習(xí)那些最經(jīng)常教授的課題時(shí)已具有的日常概念和先入之見(jiàn)。這些日常概念和先入之見(jiàn)會(huì)使具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)變得容易或困難。”［4］（P4～14）通過(guò)實(shí)際課堂中的互動(dòng)，不斷反思與調(diào)整，將數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、一般教學(xué)知識(shí)與在不同情境下的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)相互嵌套，得以設(shè)計(jì)并實(shí)踐《函數(shù)的概念》這節(jié)課，并由此建構(gòu)起屬于自身的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)（PCK）。

然而依然存在不足。這節(jié)概念課固然是高效率、有意義的，大部分學(xué)生上完課后對(duì)“函數(shù)”的理解會(huì)有一個(gè)新的高度。但是，我們?yōu)楸荣愖髁舜罅康臏?zhǔn)備：兩次試講、組室多次磨課研討使筆者對(duì)這節(jié)課典型的生成性問(wèn)題了然于心，并預(yù)備了應(yīng)對(duì)策略，這使得第三次上課時(shí)遇到的思維碰撞比第二次少，預(yù)備過(guò)度反而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)的意向性不足，整節(jié)課略顯“按部就班”，竟沒(méi)有第二次試講那么出彩了。

公開(kāi)課、比賽課是青年教師教學(xué)能力進(jìn)步的重要平臺(tái)。如何使預(yù)備充分但不過(guò)度，如何讓設(shè)計(jì)充實(shí)但不封閉，如何使“教學(xué)設(shè)計(jì)脫去僵硬的外衣顯露出生機(jī)”［5］（P3～8）將是我們繼續(xù)尋找的境界。

［1］ 黃毅英，許世紅.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)——結(jié)構(gòu)特征與研發(fā)舉例［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào).2009，（1）.

［2］ Shulman，L.S—Knowledge and Teaching：Foundations of the New Reform［J］.Harvard Educational Review，1987，（1）.

［3］ 頓繼安.數(shù)學(xué)課堂中教與學(xué)“擦身而過(guò)”的現(xiàn)象研究——兼談PCK的利與弊［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào).2013，（2）.

［4］ Shulman，L.S Those Who Understand：Knowledge Growth in Teaching［J］.Educational Researcher，1986，（2）.

［5］ 葉瀾.讓課堂煥發(fā)出生命活力［J］.教育研究，1997，（9）.