■ 周海珍，金逸娟，陳秉正

一、引言

我國(guó)已經(jīng)進(jìn)入老齡化社會(huì)。至2014年末我國(guó)60歲及以上人口為2.12億，占總?cè)丝诘?5.5%，其中65歲及以上人口為1.38億，占總?cè)丝诘?0.1%①?lài)?guó)家統(tǒng)計(jì)局.2014年國(guó)民經(jīng)濟(jì)在新常態(tài)下平穩(wěn)運(yùn)行[EB/OL].http://www.stats.gov.cn/tjsj/zxfb/201501/t20150120_671037.htm l.。隨著老齡人口的快速增加以及我國(guó)家庭呈現(xiàn)的“4-2-1”結(jié)構(gòu)和整個(gè)國(guó)家“未富先老”等特點(diǎn)，老年人的經(jīng)濟(jì)保障問(wèn)題日益引起各界的廣泛重視。作為可以提高老年人經(jīng)濟(jì)保障水平的一種財(cái)務(wù)安排，住房反抵押貸款已經(jīng)引起了社會(huì)的廣泛關(guān)注。2013年9月，國(guó)務(wù)院在 《關(guān)于加快發(fā)展養(yǎng)老服務(wù)業(yè)的若干意見(jiàn)》（國(guó)發(fā)（2013）35號(hào)）中明確提出要“鼓勵(lì)探索開(kāi)展老年人住房反向抵押養(yǎng)老保險(xiǎn)試點(diǎn)”，并決定從2014年開(kāi)始在北京、上海等城市試點(diǎn)。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)界已經(jīng)對(duì)住房反抵押貸款的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行廣泛深入的研究，其中定價(jià)問(wèn)題是最主要的內(nèi)容之一。最早給出反抵押貸款定價(jià)模型的是Szymanoski（1994），該文章用隨機(jī)游走過(guò)程描述了房屋價(jià)值的波動(dòng)；Peter Chinloy等（1994）設(shè)計(jì)的支付因子定價(jià)模型極具代表性，在綜合考慮了貸款利率、通貨膨脹率、房產(chǎn)波動(dòng)率和調(diào)整精算系數(shù)等因素后計(jì)算出了支付因子，用該因子乘以住房?jī)r(jià)值即可得到借款人能夠獲得的貸款額度；Olivia S.Mitchell等（2004）則提出了保險(xiǎn)精算定價(jià)模型，根據(jù)這個(gè)模型，在已知一定的貸款利率、房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率和借款人生存率的前提下，可計(jì)算出借款人的躉領(lǐng)金額和按期領(lǐng)取的年金金額；Bardhan，Karapanda和Urosevic（2006）構(gòu)建了BKU模型，該模型是在風(fēng)險(xiǎn)中性的前提條件下，利用歐式看跌期權(quán)對(duì)住房反向抵押貸款進(jìn)行了定價(jià)；Seungryul Ma等（2007）則在BKU模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)保費(fèi)收入現(xiàn)值與預(yù)期損失現(xiàn)值平衡的原則，構(gòu)建了住房反向抵押貸款定價(jià)模型。

國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)住房反抵押進(jìn)行了很多研究，但較多集中在對(duì)必要性、可行性及運(yùn)行模式等方面的研究，對(duì)定價(jià)問(wèn)題則研究得較少。劉春杰和譚競(jìng)（2005）以支付因子定價(jià)方法為基礎(chǔ)探討了反抵押貸款合約的定價(jià)問(wèn)題；奚俊芳（2007）介紹了終身年金給付模式下單生命體和雙生命體的定價(jià)方法，并構(gòu)建了不同遞增方式的年金給付定價(jià)模型；范子文（2006)和柴效武（2008）研究了基于無(wú)贖回權(quán)的年金產(chǎn)品定價(jià)模型；同時(shí)，范子文（2006)首次在國(guó)內(nèi)提出了有贖回權(quán)的反向抵押貸款定價(jià)模型，并利用BS模型的定價(jià)方法對(duì)贖回權(quán)進(jìn)行了分析；此外，陳秉正（2014）等構(gòu)建了包含隨機(jī)動(dòng)態(tài)房?jī)r(jià)和隨機(jī)動(dòng)態(tài)利率的具有贖回選擇權(quán)的住房反抵押貸款定價(jià)模型，并將住房反抵押貸款和長(zhǎng)期護(hù)理保險(xiǎn)相結(jié)合，建立了具有長(zhǎng)期護(hù)理保障功能的住房反抵押產(chǎn)品定價(jià)模型。

根據(jù)對(duì)國(guó)內(nèi)外住房反抵押貸款定價(jià)研究的綜合分析我們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的研究基本上是假定借款人為一個(gè)老年人，而現(xiàn)實(shí)中很多老年家庭是夫婦二人共同生活，共同擁有一套房屋。因此，以家庭作為借款單位會(huì)更適合現(xiàn)實(shí)情況，這就需要研究雙生命狀態(tài)下的住房反向抵押貸款定價(jià)模型?；谶@一考慮，本文研究了雙生命狀態(tài)下住房反抵押貸款定價(jià)問(wèn)題，建立了相關(guān)定價(jià)模型，并進(jìn)行了價(jià)格測(cè)算。我們的研究結(jié)果表明，和以往的單生命狀態(tài)假設(shè)下的定價(jià)模型相比，根據(jù)雙生命狀態(tài)假設(shè)得到的定價(jià)結(jié)果可以為老年人提供更高程度的經(jīng)濟(jì)保障。

二、雙生命狀態(tài)下住房反抵押貸款的定價(jià)模型

（一）單生命狀態(tài)下的反抵押貸款定價(jià)模型

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)反抵押貸款市場(chǎng)是一個(gè)完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)。對(duì)于貸款人來(lái)說(shuō)，被抵押房屋的終期價(jià)值是其可獲得的收入，在期初向借款人發(fā)放的貸款額是其所支付的成本。根據(jù)無(wú)超額收益原則，兩者的精算現(xiàn)值應(yīng)該相等。

記tPx為x歲的人于第t年后仍然生存的概率，亡的概率，H （t）為所抵押的房屋在第t年的價(jià)值，r為貸款利率，是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率與風(fēng)險(xiǎn)升水成本和一定利潤(rùn)率之和，a為發(fā)起費(fèi)，β為保險(xiǎn)費(fèi)，γ為其他交易費(fèi)用，如第三方服務(wù)費(fèi)、手續(xù)費(fèi)等。若借款人在第T年死亡，貸款人將房屋價(jià)值變現(xiàn)所得收入的精算現(xiàn)值為：

根據(jù)貸款人期望收支相等的原則，式（1）的值即為借款人可得到的貸款總額LSx：

假設(shè)貸款機(jī)構(gòu)在每年年初給付借款人一筆等額的貸款額，直至借款人死亡當(dāng)年即第T年為止。若以Ax表示年齡為x歲的借款人每年年初可獲得的貸款金額，則根據(jù)該借款人在整個(gè)生存期內(nèi)獲得的貸款的期初現(xiàn)值應(yīng)該等于其可以得到的總貸款金額這一原則，可以得出：

（二）雙生命狀態(tài)下的反抵押貸款定價(jià)模型

在現(xiàn)實(shí)生活中，很多老年家庭都是夫婦雙方一起生活的，在反抵押貸款合同簽訂后，假如一位老人去世，另一位老人仍然健在的話(huà)，此時(shí)貸款機(jī)構(gòu)強(qiáng)行將住房收回是很不合情理的。因此，我們假設(shè)可以家庭為申請(qǐng)貸款的單位，當(dāng)夫妻雙方均死亡后貸款機(jī)構(gòu)才將房屋收回，據(jù)此可以建立雙生命狀態(tài)下的住房反抵押貸款定價(jià)模型。根據(jù)兩個(gè)老人中有一個(gè)去世后貸款是否繼續(xù)發(fā)放，可以將雙生命狀態(tài)下的反抵押貸款細(xì)分為聯(lián)合生存發(fā)放方式和最后生存者發(fā)放方式，我們下面分別對(duì)這兩種方式的定價(jià)模型進(jìn)行闡述。

1.聯(lián)合生存（xy）發(fā)放方式下的定價(jià)模型

在此狀態(tài)下，房屋進(jìn)行反抵押后，如果兩位老人中一方去世，貸款機(jī)構(gòu)將停止給付年金，但房屋一直保留到另一方去世后再收回。這種情況適用于有收入但收入不足以承擔(dān)兩個(gè)人生活的家庭。

我們用Axy表示申請(qǐng)住房反抵押的家庭每年所能領(lǐng)取的貸款金額，其中x表示申請(qǐng)時(shí)男方的年齡，y表示申請(qǐng)時(shí)女方的年齡，根據(jù)期望收支平衡原則，申請(qǐng)反抵押貸款的家庭可獲得的貸款總額LSxy或分配到各年所能領(lǐng)取的貸款金額Axy分別為：

其中tqxy為初始年齡為x和y的借款組合在第t年內(nèi)有一人死亡的概率，tpxy表示初始年齡為x和y的借款組合在年內(nèi)存活的概率。

2.最后生存者（xy）發(fā)放方式下的定價(jià)模型

在此狀態(tài)下，房屋進(jìn)行反抵押后，假如兩人都生存，則每年可以獲得的貸款金額為Axy，如果其中一方去世另一方健在的話(huà)，貸款將繼續(xù)發(fā)放但金額有所降低，直至另一方去世后貸款機(jī)構(gòu)再將房屋收回，這種設(shè)計(jì)特別適用于無(wú)其他經(jīng)濟(jì)來(lái)源的家庭。

同樣，用x表示申請(qǐng)時(shí)男方的年齡，y表示申請(qǐng)時(shí)女方的年齡，最后生存者狀態(tài)下借款者可獲得的貸款LSxy與聯(lián)合生存者狀態(tài)下是一樣的，如式（6）所示：

假定一方去世后，貸款發(fā)放數(shù)額為原先的1/2，則該狀態(tài)下每年貸款的發(fā)放方式相當(dāng)于聯(lián)合生存發(fā)放方式和最后生存者發(fā)放方式的組合，即由50%的最后生存者狀態(tài)下發(fā)放的貸款加上50%的聯(lián)合生存者狀態(tài)下發(fā)放的貸款，即：

將式（4）代入式（7）可得：

其中tpxy表示初始年齡為x和y的借款組合在t年內(nèi)至少有一人存活的概率。

由式（8）可以得出最后生存者狀態(tài)下每年貸款的發(fā)放額：

三、雙生命狀態(tài)下住房反抵押貸款定價(jià)的模擬分析

我們假設(shè)借款人在生日當(dāng)天簽訂反抵押產(chǎn)品合約；借貸雙方此后均不存在違約行為；借款人選擇于期初一次性獲得貸款或每年獲得一定數(shù)額的貸款金額；借款人或借款人夫婦去世后，房屋產(chǎn)權(quán)轉(zhuǎn)移給貸款人用以清償貸款，不存在贖回選擇權(quán)，且貸款人拿到房屋所有權(quán)后即以市場(chǎng)價(jià)出售，兩者間不存在時(shí)間差。

（一）參數(shù)假設(shè)與選擇

1.房產(chǎn)價(jià)格及發(fā)展趨勢(shì)。假設(shè)借款人所擁有的房屋的初始評(píng)估價(jià)值H （0）為100萬(wàn)，根據(jù)中國(guó)1998～2014年的商品房平均銷(xiāo)售價(jià)格，我們計(jì)算得出過(guò)去17年間房?jī)r(jià)平均年增長(zhǎng)率為7.20%，其中2004年、2005年以及2007年房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率均超過(guò)了14%，2009年甚至超過(guò)了23%。一般認(rèn)為，房?jī)r(jià)波動(dòng)與國(guó)家政策、GDP以及人均收入增長(zhǎng)幅度等因素相關(guān)。隨著國(guó)家對(duì)房?jī)r(jià)調(diào)控力度的加大，未來(lái)房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)不太可能會(huì)維持在如此高位，因而在考慮國(guó)家調(diào)控政策、GDP以及人均收入增長(zhǎng)速度的基礎(chǔ)上，我們假設(shè)未來(lái)中國(guó)長(zhǎng)期房?jī)r(jià)平均的增長(zhǎng)率為6.50%；同時(shí)按照住房70年的使用年限并采用直線(xiàn)法折舊，并考慮到房屋擁有者將房屋辦理反抵押后可能會(huì)疏于維修保養(yǎng)等道德風(fēng)險(xiǎn)因素，將年折舊率定為2%。因此，最終設(shè)定房?jī)r(jià)年均增長(zhǎng)率的均值為6.5%-2%=4.5%。

2.貸款利率。本模型中的利率由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率和貸款機(jī)構(gòu)合理的利潤(rùn)率三部分構(gòu)成。我們假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為一固定值，以2015年1月某日上海銀行間同業(yè)拆放7天利率3.88%作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率為2%①因?yàn)槲覈?guó)目前尚未開(kāi)始實(shí)施住房反抵押貸款，只能參照現(xiàn)有文獻(xiàn)研究結(jié)果確定風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率（范子文，2011）。；同時(shí)根據(jù)銀監(jiān)會(huì)發(fā)布的數(shù)據(jù)，2013年我國(guó)商業(yè)銀行的平均資產(chǎn)利潤(rùn)率為1.345%②中國(guó)銀監(jiān)會(huì).2013年商業(yè)銀行主要監(jiān)管指標(biāo)情況表.[EB/OL].http://www.cbrc.gov.cn/chinese/home/docView/123C72BD103540C2B679F0A4BA19E903.htm l.2014-02-13.。由于考慮到住房反向抵押貸款的期限較長(zhǎng)，風(fēng)險(xiǎn)較大，本文將貸款機(jī)構(gòu)的利潤(rùn)率取為1.5%。因此，貸款利率r=rf+2%+1.5%=7.38%。

3.其他參數(shù)，包括發(fā)起費(fèi)、保費(fèi)和其他交易費(fèi)用。目前我國(guó)還沒(méi)有正式實(shí)施住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)，所以本文參照美國(guó)的運(yùn)作標(biāo)準(zhǔn)確定一些交易費(fèi)用。其中發(fā)起費(fèi)全部由申請(qǐng)人支付，為房屋初始價(jià)值的1%；保險(xiǎn)費(fèi)為房屋初始價(jià)值的2%；其他交易費(fèi)用如第三方服務(wù)費(fèi)、手續(xù)費(fèi)等，假設(shè)為房屋初始價(jià)值的 3%③因?yàn)槲覈?guó)目前尚未開(kāi)始實(shí)施住房反抵押貸款，只能參照現(xiàn)有文獻(xiàn)研究結(jié)果確定其他參數(shù)（范子文，2011）。。

4.死亡率。本文的死亡率數(shù)據(jù)源自《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（2000～2003）》。假設(shè)借款夫婦二人的預(yù)期壽命相互獨(dú)立，且在各年度內(nèi)的死亡服從均勻分布（UDD），根據(jù)生存率與死亡率之間的關(guān)系，可分別計(jì)算式（4）至式（9）中各生存率和死亡率的數(shù)值①由于篇幅關(guān)系，計(jì)算結(jié)果不在文中一一列出。。

5.從借款人簽訂合約到死亡的年數(shù)T。我們以生命表中的終極壽命105歲為借款人的預(yù)期壽命，即如果借款人在60歲時(shí)將房屋進(jìn)行反抵押，則T=45；如果在70歲時(shí)辦理房屋抵押，則T=35，依此類(lèi)推。

（二）數(shù)值模擬結(jié)果分析

1.單生命狀態(tài)下借款人所能獲得的貸款金額

根據(jù)上文的假設(shè)，我們能得出一男性在60歲、65歲、70歲、75歲時(shí)申請(qǐng)住房反抵押貸款所能從貸款機(jī)構(gòu)獲得的躉領(lǐng)金額 （保險(xiǎn)合同中保險(xiǎn)金領(lǐng)取方式的一種，即保險(xiǎn)合同到期后一次領(lǐng)取全部保險(xiǎn)金）或年領(lǐng)金額的數(shù)值如表1所示。

表1 不同年齡男性借款人可獲得的貸款金額（房屋初始價(jià)格為100萬(wàn)元）單位：元

從表1可以看出，借款人可獲得的貸款金額與申請(qǐng)人的年齡成正比關(guān)系，隨著借款人年齡的增加，所獲得的貸款金額也隨之增加，這是因?yàn)槟挲g越大，預(yù)期余壽越短，貸款可能歸還的期限也越短，從而所獲得的貸款金額也就越大。

2.雙生命狀態(tài)下借款人所能獲得的貸款金額

（1）聯(lián)合生存者發(fā)放方式

根據(jù)上文的假設(shè)，我們可以得出當(dāng)一對(duì)夫婦在（60,55）（65,60）（70,65）（75,70）等四種不同年齡組合下②假設(shè)年齡組合中第一個(gè)數(shù)字為男方年齡，第二個(gè)為女方年齡。申請(qǐng)反抵押貸款時(shí)可從貸款機(jī)構(gòu)獲得的貸款金額，如表2所示。

表2 聯(lián)合生存狀態(tài)不同年齡組合借款人的貸款金額（房屋初始價(jià)格為100萬(wàn)元）單位：元

（2）最后生存者發(fā)放方式

如果一對(duì)夫婦同樣在上述四個(gè)年齡組合下申請(qǐng)反抵押貸款，但選擇了最后生存者發(fā)放方式，一方去世后貸款發(fā)放額為原來(lái)的1/2，則該夫婦可以獲得的貸款金額如表3所示。

表3 最后生存者狀態(tài)不同年齡組合借款人的貸款金額（房屋初始價(jià)格為100萬(wàn)元）單位：元

在雙生命狀態(tài)下，雖然相同年齡組合的借款夫婦選擇兩種不同發(fā)放方式能獲得的總貸款金額的期初現(xiàn)值是相同的，但若選擇聯(lián)合生存者發(fā)放方式，在夫婦兩人均存活時(shí)，每年從貸款機(jī)構(gòu)領(lǐng)取的金額比選擇最后生存者發(fā)放方式獲得的貸款要多，且該差額隨著申請(qǐng)年齡的增加而增加。當(dāng)年齡組合為（60，55）時(shí)，選擇聯(lián)合生存者發(fā)放方式的借款人每年從貸款機(jī)構(gòu)領(lǐng)取的金額比選擇最后生存者發(fā)放方式獲得的貸款要多15.6%，當(dāng)年齡組合為（65，60）時(shí)為21.03%，當(dāng)年齡組合為（70，65）時(shí)為 28.1%%，而當(dāng)年齡組合為（75，70）時(shí)則為37.23%，這主要是因?yàn)槁?lián)合生存者發(fā)放方式下，只有當(dāng)夫婦二人均存活時(shí)，貸款機(jī)構(gòu)才繼續(xù)發(fā)放貸款，只要其中一人去世則貸款機(jī)構(gòu)將停止發(fā)放貸款；而在最后生存者發(fā)放方式下，夫婦二人中只要有人存活，貸款機(jī)構(gòu)就會(huì)一直發(fā)放貸款，直至最后一人去世，即聯(lián)合生存的貸款發(fā)放期會(huì)短于最后生存者的貸款發(fā)放期，每期可獲得的金額自然要多一點(diǎn)；且隨著年齡的增長(zhǎng)，貸款發(fā)放的年數(shù)減少，因而兩者的差距會(huì)加大。

四、主要影響因素的敏感性分析

從前述住房反向抵押貸款定價(jià)模型可以看出，房屋價(jià)格、利率等因素會(huì)對(duì)住房反抵押貸款的經(jīng)營(yíng)帶來(lái)巨大影響。由于我國(guó)經(jīng)濟(jì)仍處于一個(gè)較快發(fā)展的階段，房?jī)r(jià)和利率等均會(huì)受到經(jīng)濟(jì)發(fā)展和政府政策的較大影響，具有較大的不確定性。因此，有必要對(duì)前面的數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了必要的敏感性分析，以檢驗(yàn)房?jī)r(jià)和利率的變動(dòng)對(duì)貸款金額的影響。

（一）房?jī)r(jià)波動(dòng)的敏感性分析

作為住房反向抵押貸款定價(jià)的最主要影響因素之一，房?jī)r(jià)在貸款期內(nèi)的波動(dòng)會(huì)直接影響房產(chǎn)未來(lái)的變現(xiàn)價(jià)值，進(jìn)而會(huì)對(duì)經(jīng)營(yíng)反抵押貸款的機(jī)構(gòu)的經(jīng)營(yíng)結(jié)果帶來(lái)顯著影響。為了分析未來(lái)房?jī)r(jià)變化對(duì)住房反抵押貸款的影響，我們假設(shè)房屋的初始價(jià)值H（0）為100萬(wàn)，但未來(lái)的增長(zhǎng)可能出現(xiàn)多種情形，并計(jì)算出不同房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率情形下借款人應(yīng)獲得的貸款金額，具體數(shù)值如表4所示。

表4 不同房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率下借款人的貸款金額（房屋初始價(jià)格為100萬(wàn)元）單位：元

從表4可以看出，房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率與貸款金額呈同方向變動(dòng)，房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率越高，相應(yīng)的貸款金額也越高。以單一借款人為例。當(dāng)借款人年齡為60歲時(shí)，當(dāng)房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率由4.5%變?yōu)?.5%時(shí)，借款人每年可獲得的貸款額由40542元增加到48210元，增長(zhǎng)了18.9%，敏感度系數(shù)為0.85；在同樣條件下，當(dāng)借款人年齡為65歲時(shí)，所獲得的貸款額由55065元增加到63345元，增長(zhǎng)了15%，敏感度系數(shù)為0.68。這說(shuō)明，隨著房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)，借款人所獲得的貸款金額隨之增加，但隨著借款人年齡的增大，貸款金額對(duì)房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率變化的敏感性在逐漸降低。這是因?yàn)榻杩钊四挲g越大，平均余壽越短，因此房?jī)r(jià)波動(dòng)的積累效應(yīng)相對(duì)較小，對(duì)貸款額的影響也較小。

再以借款人組合（60，55）為例。在其他參數(shù)不變的情況下，如果房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率假設(shè)由4.5%變?yōu)?.5%，則雙生命狀態(tài)下的兩種貸款發(fā)放方式每年可獲得貸款金額對(duì)房?jī)r(jià)變化的敏感度系數(shù)均為1.38，大于單生命狀態(tài)下的敏感度系數(shù)，說(shuō)明雙生命狀態(tài)下可獲得貸款金額對(duì)房?jī)r(jià)的變動(dòng)更為敏感。這是因?yàn)殡p生命狀態(tài)下，貸款機(jī)構(gòu)要等到夫婦二人均去世后才將房屋收回，因而貸款期限是借款組合中壽命較長(zhǎng)者的剩余壽命，較單生命狀態(tài)的貸款期限長(zhǎng)，因而受房?jī)r(jià)波動(dòng)的影響會(huì)更大。

同樣在雙生命狀態(tài)下，如果我們將（60，55）借款組合和（65，60）借款組合進(jìn)行比較會(huì)發(fā)現(xiàn)，（65，60）借款組合在兩種貸款發(fā)放方式下年可獲得貸款金額對(duì)房?jī)r(jià)變化的敏感度系數(shù)均為1.13，略低于（60，55）借款組合下的敏感度系數(shù)。這說(shuō)明借款人年齡越大，其平均余壽越短，因而房?jī)r(jià)波動(dòng)所帶來(lái)的影響也相對(duì)較小。

（二）利率波動(dòng)的敏感性分析

利率假設(shè)是影響住房反向抵押貸款定價(jià)的另一主要因素。為了分析不同利率假設(shè)對(duì)住房反向抵押貸款的影響，我們假設(shè)房屋的初始價(jià)值H（0）為100萬(wàn)，計(jì)算了不同利率假設(shè)水平下單、雙生命狀態(tài)下不同的貸款金額，具體數(shù)值如表5所示。

從表5可以看出，利率與貸款金額呈反方向變動(dòng)，利率越高，所能獲得的貸款金額就越低。具體而言，當(dāng)借款人年齡為60歲時(shí)，當(dāng)假設(shè)利率由7.38%變?yōu)?.38%時(shí)，每年可以獲得的貸款金額由40542元變?yōu)?5876元，減少了11.51%，敏感度系數(shù)為-0.85；而同樣的條件下，當(dāng)借款人年齡變?yōu)?5歲時(shí)，每年可獲得的貸款額55065元變?yōu)?0235元，敏感度系數(shù)為-0.65。這說(shuō)明，隨著借款人年齡的增大，利率對(duì)貸款金額的影響是逐漸減小的。

表5 不同貸款利率下借款人的貸款金額（房屋初始價(jià)格為100萬(wàn)元）單位：元

再以60歲的單個(gè)借款人和（60，55）的借款組合為例，雙生命狀態(tài)下每年可獲得貸款額對(duì)利率的敏感度系數(shù)為-1.24，其絕對(duì)值大于單生命狀態(tài)下的敏感度系數(shù)的絕對(duì)值，說(shuō)明相對(duì)于單生命狀態(tài)而言，雙生命狀態(tài)下可獲得的貸款金額對(duì)利率的變動(dòng)更加敏感。這是由于雙生命狀態(tài)下的貸款期限是借款組合中壽命較長(zhǎng)者的剩余壽命，一般比單生命狀態(tài)下的貸款期限要長(zhǎng)一些，因而受利率變動(dòng)的影響也就更大。

同樣在雙生命狀態(tài)下，以（60，55）的借款組合為例，當(dāng)假設(shè)的利率增加一個(gè)百分點(diǎn)即由7.38%增加到8.38%時(shí)，在聯(lián)合生存和最后生存者給付方式下，每年可獲貸款額年對(duì)利率的敏感度系數(shù)為-1.24；而（65，60）借款組合在兩種給付方式下可獲得貸款額對(duì)利率變動(dòng)的敏感度系數(shù)為-1.04，其絕對(duì)值略低于（60，55）借款組合下的敏感度系數(shù)的絕對(duì)值。這是因?yàn)榻杩钊四挲g越大，平均剩余壽命越短，因此利率波動(dòng)的積累效應(yīng)相對(duì)較小。

從上述敏感性分析結(jié)果還可以看出，不管是單生命狀態(tài)還是雙生命狀態(tài)，可獲得的貸款額都對(duì)房?jī)r(jià)的波動(dòng)表現(xiàn)得更加敏感，這是因?yàn)殡m然利率波動(dòng)對(duì)未來(lái)房產(chǎn)價(jià)值的現(xiàn)值和累積貸款總額的現(xiàn)值都有影響，但其中有部分影響會(huì)相互抵消；而房?jī)r(jià)波動(dòng)只對(duì)未來(lái)房產(chǎn)價(jià)值產(chǎn)生影響，累積效果較大，所以影響程度也較大。

五、結(jié)論與展望

本文建立了雙生命狀態(tài)下反抵押貸款的定價(jià)模型，同時(shí)利用中國(guó)房地產(chǎn)市場(chǎng)、死亡率和利率等數(shù)據(jù)，計(jì)算了住房反抵押貸款的金額。此外，我們還對(duì)影響反抵押貸款金額的主要因素如利率和房?jī)r(jià)等進(jìn)行了敏感性分析，所得結(jié)果有助于金融保險(xiǎn)機(jī)構(gòu)在設(shè)計(jì)住房反抵押產(chǎn)品時(shí)了解各類(lèi)風(fēng)險(xiǎn)因素的影響并進(jìn)行有效的風(fēng)險(xiǎn)管理。

我們的數(shù)值測(cè)算結(jié)果表明，住房反抵押產(chǎn)品的推出可以使老年人在不喪失房屋使用權(quán)的同時(shí)，讓他們?cè)黾右还P可觀的經(jīng)濟(jì)收入，顯著改善退休后的生活水平。這種安排在中國(guó)人口老齡化日趨嚴(yán)重、社會(huì)保險(xiǎn)提供的養(yǎng)老金水平較低的背景下顯得尤為重要。

對(duì)重要影響因素的敏感性分析的結(jié)果表明，反抵押貸款的金額對(duì)利率和房產(chǎn)價(jià)格的變化十分敏感；但隨著借款人申請(qǐng)反抵押貸款時(shí)的年齡越大，房?jī)r(jià)和利率變動(dòng)對(duì)貸款金額的影響越??；而且不管是對(duì)于房?jī)r(jià)變動(dòng)還是利率變動(dòng)，雙生命狀態(tài)下貸款金額的變動(dòng)都表現(xiàn)得比單生命狀態(tài)下貸款金額的變動(dòng)更加敏感。

本文的模型和數(shù)值模擬分析中所采用的死亡率、房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率、利率等均為固定數(shù)值，并沒(méi)有考慮這些因素的隨機(jī)動(dòng)態(tài)變化，這是未來(lái)研究需要進(jìn)一步拓展的方面。

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