張杰，侯雪

（太原理工大學 物理與光電工程學院，山西 太原 030024）

0 引言

玻色－愛因斯坦凝聚體（BEC）中的破碎凝聚態(tài)現(xiàn)象［1］，由于其反映的是系統(tǒng)的對稱性破缺、量子相變以及角動量守恒等物理本質，一直以來都是人們關注的焦點［2－3］。它的內(nèi)涵是指系統(tǒng)的單粒子密度矩陣不僅僅只有一個宏觀量級的本征值，而是有可能有兩個或多個。最近在實驗上關于BEC中的破碎凝聚體特性也有突破性進展，在單阱中觀察到了空間中一團BEC實現(xiàn)了破碎并分裂成兩部分的現(xiàn)象［4］。本文主要考察F＝1旋量BEC中的破碎凝聚態(tài)現(xiàn)象。區(qū)別于空間破碎凝聚態(tài)［1］，它的破碎性質反映的是系統(tǒng)內(nèi)部量子關聯(lián)性質的突變，除了由單粒子密度矩陣刻畫之外，還必須由宏觀量級的量子漲落刻畫［5－6］。只是受磁場的影響時，量子漲落會迅速消失，破碎凝聚態(tài)轉變成對稱性較低的普通粒子數(shù)態(tài)。在自旋自由度被釋放之前［7］，人們研究的破碎凝聚態(tài)主要是指由于光晶格的切割，導致束縛在雙阱或多阱中形成的小型BEC 或者是在高速旋轉之下由標量BEC形成的破碎凝聚態(tài)［9］。直到MIT的Ketterle組在光偶極阱中制備出Na原子的旋量BEC使得自旋自由度得以釋放之后，人們發(fā)現(xiàn)旋量凝聚體在自旋交換相互作用參數(shù)為負的情況下，系統(tǒng)的基態(tài)自發(fā)地實現(xiàn)了破碎凝聚體［6］。這種現(xiàn)象的本質是系統(tǒng)內(nèi)原子自旋的守恒，只是這種大量原子形成的自旋單態(tài)非常脆弱，任何可以破壞自旋旋轉對稱性的外部擾動都會使其立刻消失。后來人們發(fā)現(xiàn)上述三種情況下的破碎凝聚態(tài)可以用統(tǒng)一的數(shù)學定義式描述［1，10］。對于自旋F＝1的旋量BEC系統(tǒng)來說，原子間相互作用描述為：

其中β表示的是原子間的自旋交換作用，它的正負號決定了系統(tǒng)是鐵磁態(tài)BEC（β＜0）還是反鐵磁態(tài)BEC（β＞0），也就是說破碎凝聚態(tài)自發(fā)存在于β＞0的體系中。

基于最近實驗上Na原子（屬于反鐵磁anti-ferromagnetic）和Rb原子（屬于鐵磁ferromagnetic）形成BEC混合物的成功實現(xiàn)［11］，本文將研究由鐵磁原子和反鐵原子形成的混合物BEC中的破碎凝聚態(tài)現(xiàn)象。我們發(fā)現(xiàn)鐵磁原子形成的BEC由于其基態(tài)是所有原子取向一致且比較穩(wěn)定，可以視作一個均勻磁場背景。而反鐵磁原子BEC在鐵磁原子構成的這種背景下，其行為和純的反鐵磁原子BEC有很大的不同。由于不同種類間的原子之間也有自旋交換相互作用的緣故，反鐵磁原子受到外磁場和鐵磁原子的雙重影響，其破碎凝聚態(tài)特性有許多新奇效應。

1 自旋混合物哈密頓量

我們考慮的兩種自旋F＝1的原子組成的混合物系統(tǒng)其有效哈密頓量包含三部分［12－13］，表示為＝＋＋。其中，分別代表兩種原子內(nèi)部同種原子間的相互作用，＾H12則是異核原子間的相互作用。如果外加磁場，混合物哈密頓量的最一般形式為，

其中β1＜0代表鐵磁原子，β2＞0代表反鐵磁原子。β，γ是不同種原子間的相互作用參數(shù)。c1，c2，和c12是積分常數(shù)且為正，反應的是BEC的體積以及其中包含的粒子數(shù)大小，可以通過調(diào)節(jié)束縛光阱的頻率來調(diào)節(jié)。p1，p2表示的是磁場對系統(tǒng)中兩種原子分別的一階塞曼效應。γ項的貢獻通常比較小，對于87Rb和23Na這兩種原子的混合物，我們可以采用 DIA（degenerate internal-state approximation）近似［14－15］，即只考慮原子最外層價電子對相互作用的貢獻，這時候后正好使得γ＝0。最終我們可以得到系統(tǒng)和磁場相關的哈密頓量，

1β1｜為單位，其中，M是第一種原子的總質量，a0，a2是粒子間的散射長度，可以決定相互作用的正負號。

2 結果與討論

2.1 磁場中的粒子數(shù)分布

首先介紹兩種原子在磁場中各自的特點。為了方便，我們?nèi)＝c1p1＝c2p2，這可以通過調(diào)節(jié)c1，c2實現(xiàn)。如圖1所示，當異核原子間的相互作用取作c12β＝2.5時，兩種原子對磁場的反應有很大不同。鐵磁原子（ferromagnetic）對磁場的反應比較敏感，在磁場很小的時候，處在三個能級上的原子就很快重新分布，并且?guī)缀跞考械絥1能級上，如圖1（a）中的虛線。而另外兩個能級上沒有占據(jù)，表現(xiàn)為n0＝0，n－1＝0，如圖1（b），圖1（c）中的虛線。其含義是系統(tǒng)中所有的鐵磁性原子全部處在自旋向上的態(tài)上，使得鐵磁原子BEC中的磁化強度（m1＝n1－n－1）達到飽和。對于反鐵磁原子則不同，反鐵磁原子BEC的磁化強度有一個由負到正的反轉過程。表現(xiàn)為隨著磁場的增大，n1上的原子逐漸增加且n－1上的原子逐漸減小，如圖1中的實線。另外，我們發(fā)現(xiàn)n0的行為非常特別。在磁場增大的過程中，在一個特殊的點附近n0上的粒子數(shù)突然增到N2／3這一值。同時，另外兩個能及上的粒子也突變到這個特殊的值，即n1＝n0＝n－1＝N2／3。這一現(xiàn)象說明混合物系統(tǒng)中的反鐵磁原子和鐵磁原子行為有很大的不同。另外，由于反鐵磁原子中n0這一特殊的精細能級的存在，它在磁場中的行為可以有效反映系統(tǒng)中鐵磁原子和反鐵磁原子之間的自旋耦合相互作用的特征。圖2展示了異核原子自旋耦合相互作用參數(shù)取不同值的時候，反鐵磁原子中n0上的粒子數(shù)分布隨磁場的變化情況。

Fig.1 Dependence of atom numbers on p at fixed values of c1β1＝－1，c2β2＝2 and c12β＝2.5.All interaction parameters are in unit of｜c1β1｜.The number of particle are N 1＝N 2＝40.Dashed and solid lines denote the number distributions in the ferromagnetic and anti-ferromagnetic condensate respectively圖1 系統(tǒng)的基態(tài)相圖隨c12β的變化情況，其中參數(shù)c1β1＝－1，c2β2＝2，c12β＝2.5取作固定值，所有的相互作用參數(shù)以｜c1β1｜為單位，兩種粒子的粒子數(shù)分別取N 1＝N 2＝40。圖中虛線和實線分別代表鐵磁原子和反鐵磁原子的粒子數(shù)分布

2.2 磁場中破碎凝聚態(tài)的回歸

由上一節(jié)的討論可知，反鐵磁原子的行為值得研究，尤其是它受到磁場和鐵磁原子的雙重影響。圖2中實線反應的是純的反鐵磁原子形成的BEC中n0上的粒子數(shù)分布隨磁場的變化情況。之前的研究已經(jīng)表明［6］，純的反鐵磁原子形成的BEC在沒有外場的時候形成的是所謂的超級破碎凝聚態(tài)［6］（super-fragmented state），粒子數(shù)分布為n1，0，－1≈N2／3，如圖2中實線在p＝0的那個點上。由于其高度對稱性和不穩(wěn)定性，使得稍微有一點外部擾動就會破壞這一特性。這種不穩(wěn)定性數(shù)學上描述為各精細能級上的粒子數(shù)漲落很大，達到宏觀的量級～N。當受到磁場的擾動時，自旋0分量上的粒子數(shù)分布n0會隨著磁場的增大由宏觀量級～N降低到低于10的量級。文獻［6］給出了n0隨磁場強度的變化關系：

其中m2＝n1－n－1代表反鐵磁原子系統(tǒng)中的磁化強度，和外加的磁場強度成正比。隨著磁場的增大，分母上的m2如果達到宏觀量級（～N2），則有n0≈N2／2m2－1／2會迅速降低到10的量級。圖2中的實線是我們通過嚴格對角化求出的結果，和數(shù)值結果一致。超級破碎凝聚態(tài)之所以是n1，0，－1＝N／3這樣的粒子數(shù)分布，是因為其反映了系統(tǒng)總自旋守恒這一特性。當外部磁場作用于系統(tǒng)時，超級破碎凝聚態(tài)變成了一種比較普通的破碎凝聚態(tài)，只有n1和n－1上有粒子數(shù)分布，且粒子數(shù)漲落也變得很小。對任何破壞自旋旋轉對稱性擾動都會導致上述效果，所以在常規(guī)實驗中便不可能實現(xiàn)或者觀察到超級破碎凝聚態(tài)。

Fig.2 Dependence of atom number n0 in the antiferromagnetic BEC on p at fixed values of c1β1＝－1，c2β2＝2.The inter-species interaction c12βtakes four representative values.All interaction parameters are in unit of｜c1β1｜.The numbers of the particle are N 1＝N 2＝40.圖2 系統(tǒng)中反鐵磁原子的粒子數(shù)分布n0隨p的變化情況，其中參數(shù)c1β1＝－1，c2β2＝2，取作固定值。異核原子間的相互作用c12β取代表性的四個值。所有的相互作用參數(shù)以｜c1β1｜為單位，兩種粒子的粒子數(shù)分別取N 1＝N 2＝40。

當系統(tǒng)中摻雜有大量鐵磁原子時（c12β≠0），我們將有可能在外部磁場存在的情況下得到超級破碎凝聚態(tài)。從先前的研究［16－17］中可以知道，對于鐵磁原子的物理特性，平均場方法是有效的。在平均場方法框架下，混合物中大量原子凝聚在一起會產(chǎn)生一個玻色增強的效應，如果是鐵磁性原子，則可以同時形成一個有效磁場。故（4）式中的哈密頓量可以化簡為，

接下來，我們考查數(shù)量不等的混合物情形。圖4標出了當不同種原子間耦合參數(shù)c12β取定值2.5，兩種粒子的粒子數(shù)分別取為N1＝20，N2＝100時的臨界點的位置。我們?nèi)¤F磁原子數(shù)偏少，表示我們主要以反鐵磁BEC為研究對象，鐵磁性原子作為引入的特殊條件。平均場繪景對鐵磁原子的描述同樣適用，當粒子數(shù)分布n1，0，－1≈N2／3出現(xiàn)時，我們可以在圖4中得到關鍵點p＝2.5×20，這一結果和圖中的數(shù)值結果一致。量子漲落關系滿足Δn0＝2Δn±1，在此點上的數(shù)值結果同樣與前人預言的純反鐵磁凝聚態(tài)的代數(shù)結果［6］完全一致。由于特殊粒子數(shù)分布N／3的出現(xiàn)可以看作是達到這一相變的標志，如果我們記錄此時的磁場的大小，再根據(jù)關系式p＝c12βN1，就可以通過臨界磁場估算核間自旋耦合相互作用c12β的大小。

2.3 磁場中的AA相

Fig.3 Dependence of atom numbers and fluctuations on c12β and p at fixed values of c1β1＝－1 and c2β2＝2.This column only shows the results of anti-ferromagnetic atoms.When the extra magnetic field parameter p（in the units of｜c1β1｜）increases，there are several critical points associated with c12β.All interaction parameters are in the units of｜c1β1｜.圖3 當c1β1＝－1、c2β2＝2取作定值時，粒子數(shù)分布和漲落隨磁化參數(shù)p和c 12β的變化關系。兩種粒子的粒子數(shù)分別取為N 1＝N 2＝40。圖中只展示了反鐵磁原子的情況。當外磁場p增大時，不同的c12β取值對應的不同的特殊點。所有的相互作用參數(shù)都以｜c1β1｜為單位。

Fig.4 Dependence of atom number distributions and number fluctuations in the anti-ferromagnetic condensate on magnetic coefficient p at fixed values of c1β1＝－1，c2β2＝2 and c12β＝2.5.All interaction parameters are in unit of｜c1β1｜.The number of particle are N 1＝20，N 2＝100.Black solid，red dash-dot，and blue dashed lines denote atom numbers and the fluctuations on the 1，0，and－1 sub-levels respectively.圖4 當c1β1＝－1，c2β2＝2，c12β＝2.5取作定值時，反鐵磁凝聚態(tài)的粒子數(shù)和粒子數(shù)漲落隨磁場參數(shù)p的變化。兩種粒子的粒子數(shù)分別取為N 1＝20，N 2＝100。黑色實線、紅色點虛線和藍色虛線分別代表精細能級1、0、－1上的原子數(shù)和漲落。所有相互作用的參數(shù)均以｜c1β1｜為單位。

AA相是另外一種超級破碎凝聚態(tài)，在無磁場的情況下已經(jīng)被預言［9］。它是一種大量粒子形成的自旋單重態(tài)，它明確要求兩種原子的粒子數(shù)相等（N＝N1＝N2），并且兩種原子互相排斥到完全相反的極化方向上。在角動量表象下通?；旌衔飸B(tài)表示為，而AA相可以進一步表示為｜φAA〉＝｜N，N，0，0〉，其中F1、F2和F分別為鐵磁原子、反鐵磁原子、兩種原子混合物的自旋量子數(shù)，m1、m2和m為相應的z軸分量。AA相要求｜N，m1〉和｜N，m2〉同時應該服從m1＋m2＝0的約束條件。AA相的一個有趣的特點是原子平均分布在六個分量上，且滿足宏觀粒子數(shù)漲落。應用嚴格對角化的全量子方法，考慮全空間中包含的所有可能得系統(tǒng)磁化m＝m1＋m2，我們研究了當N1＝N2＝40的AA相對于外部磁場的響應，并且同純的反鐵磁原子超級破碎態(tài)［6］的結果進行了比較。

Fig.5 Dependence of atom numbers on p at fixed values of c1β1＝ －1，c2β2＝2 and c12β＝2.5.All interaction parameters are in unit of｜c1β1｜.The number of particle are N 1＝N 2＝40.Black dashed and red solid lines denote the number distributions in the ferromagnetic and polar condensate respectively.圖5 當c1β1＝－1、c2β2＝2取做定值時，處于反鐵磁凝聚態(tài)的原子數(shù)分布n1，0，－1隨磁化參數(shù)p和c 12β的變化。兩種粒子的粒子數(shù)分別取為N 1＝N 2＝40。黑色實線、紅色虛線和藍色虛線分別代表次能級1、0、－1上的原子數(shù)。所有相互作用的參數(shù)以｜c1β1｜為單位。

圖5中，我們描述的是兩種典型的破碎凝聚態(tài)：異核原子糾纏形成的自旋單態(tài)｜φAA〉和純的全同反鐵磁原子形成的自旋單態(tài)｜φpure〉。這兩種相的相互作用參數(shù)分別為c12β＝4.5和c12β＝0。我們發(fā)現(xiàn)n0分量對于磁場的反應完全不同。圖5a描述的是磁場對純反鐵磁凝聚態(tài)的影響。隨著p的增大，處于0分量的粒子數(shù)n0（紅色虛線）迅速下降，與代數(shù)結果一致。圖4b描述的是磁場對處于AA相中的反鐵磁原子的影響。我們發(fā)現(xiàn)一開始的時候n0沒有迅速下降，相反，它首先增加且在一定范圍內(nèi)保持一個很高的值（甚至大于n1）。與純反鐵磁自旋單重態(tài)相比，核間糾纏單重態(tài)似乎更難磁化。隨著互作用參數(shù)c12β的增大，反鐵磁原子被逐步排列在與鐵磁原子相反的方向，直到最后所有的反鐵磁粒子完全和鐵磁原子相反。這是剛好的情況，這是由鐵磁凝聚體形成的有效磁場背景將會被全部被抵消。大于相變點時，系統(tǒng)將自發(fā)變成高度對稱的破碎凝聚態(tài)。這時兩種粒子的磁性行為將完全相同（雖然原子質量不同），并且當磁場強度增強時，鐵磁原子和反鐵磁原子將一起被逐步磁化。與圖4a中的純單重態(tài)相比，相關的需要磁化的原子總數(shù)翻了一倍，所以至少磁場強度要在p～400時才能將總的磁化強度達到飽和。通過追蹤反鐵磁原子n0分量的原子數(shù)隨外部磁場的變化，可以用來區(qū)分述這兩種自旋單重態(tài)的特征。

3 結論

應用嚴格對角化的全量子方法，我們研究了鐵磁原子和反鐵磁原子組成旋量凝聚體混合物受磁場影響的情況。線性塞曼效應和原子間自旋耦合相互作用存在著競爭，故會導致相變?；旌衔镏蟹磋F磁凝聚體的三個塞曼能級上的粒子數(shù)分布，以及大的真空漲落是值得研究的內(nèi)容。我們指出，反鐵磁凝聚體的破碎性質可以通過磁場p、光阱頻率c12、摻雜的鐵磁原子數(shù)目N1來調(diào)節(jié)。鐵磁凝聚體可以為延遲量子漲落的迅速縮減和“捕獲”超級破碎凝聚態(tài)提供一個均衡穩(wěn)定的背景。通過研究，我們發(fā)現(xiàn)，如果不同種原子間自旋耦合相互作用為正（c12β＞0），則可以有效地使不同種原子發(fā)生糾纏；但當c12β＜0時，異種原子的行為基本獨立。我們提出了一種可以通過磁場來有效測量核間自旋耦合相互作用的方法，這種方法還可以區(qū)別這兩種不同的多粒子自旋單重態(tài)。我們的工作將在Na和Rb混合凝聚物在實驗中提供重要的參考，并對研究異核光締合分子提供了一些有用的信息。

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