陳 濤, 胡勁松(西華大學(xué) 理學(xué)院, 四川 成都 610039 )

?

廣義Rosenau-Kawahra方程的一個(gè)線性守恒差分格式

陳 濤, 胡勁松*
(西華大學(xué) 理學(xué)院, 四川 成都 610039 )

對(duì)一類廣義Rosenau-Kawahara方程的初邊值問題進(jìn)行數(shù)值研究，提出一個(gè)三層線性差分格式，格式合理地模擬問題的一個(gè)守恒性質(zhì)，得到了差分解的先驗(yàn)估計(jì)，利用離散泛函分析方法分析差分格式的二階收斂性與無條件穩(wěn)定性，并利用數(shù)值算例進(jìn)行驗(yàn)證.

廣義Rosenau-Kawahara方程; 有限差分格式; 守恒; 收斂性; 穩(wěn)定性

為描述緊離散系統(tǒng)和模擬無線電及計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中通過一個(gè)L-C流程的長(zhǎng)鏈傳輸線模型，Rosenau方程[1-2]

ut+uxxxxt+ux+uux=0,

(1)

一經(jīng)提出，就引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[3-7].但作為對(duì)非線性波的進(jìn)一步考慮，需要對(duì)Rosenau方程(1)添加粘性項(xiàng)+uxxx和-uxxxxx，得到了Rosenau-Kawahara方程

ut+uxxxxt+ux+uxxx-uxxxxx+uux=0,

(2)

文獻(xiàn)[8]討論了方程(2)的孤波解和周期解，文獻(xiàn)[9-10]又進(jìn)一步給出了一類廣義Rosenau-Kawahara方程的孤波解和2個(gè)守恒量.目前為止，僅有文獻(xiàn)[11]對(duì)Rosenau-Kawahara方程(2)的定解問題進(jìn)行過數(shù)值方法研究.

本文考慮如下一類廣義Rosenau-Kawahara方程初邊值問題：

ut+uxxxxt+ux+uxxx-uxxxxx+(up)x=0,

x∈(xL,xR),t∈(0,T],

(3)

u(x,0)=u0(x),x∈[xL,xR],

(4)

u(xL,t)=u(xR,t)=0,

u(xL,t)x=u(xR,t)x=0,

u(xL,t)xx=u(xR,t)xx=0,t∈(0,T],

(5)

其中,p≥2為整數(shù)，u0(x)是一個(gè)已知的光滑函數(shù).問題(3)～(5)具有如下守恒律[10-11]

(6)

本文對(duì)問題(3)～(5)提出了一個(gè)3層線性差分格式，格式合理地模擬了問題的守恒量(6)，且該格式是線性的，數(shù)值計(jì)算時(shí)不需要迭代，計(jì)算時(shí)間比較節(jié)約[12].

1 差分格式及其守恒律

xj=xL+jh, 0≤j≤J,

在本文中記

|u-2=u-1=

u-0=uJ=uJ+1=uJ+2=0,

n=-2,-1,0,…,J,J+1,J+2},

用C表示一般正常數(shù)(即在不同地方可以有不同的取值)，并定義如下記號(hào)：

‖Un‖2=Un,Un,

(7)

(8)

n=0,1,2,…,N,

(9)

差分格式(7)～(9)對(duì)守恒律(6)的數(shù)值模擬如下.

‖Un+1‖2+‖Un‖2+

(10)

(11)

其中

由邊界條件(9)和分部求和公式[12-15]得

=0,=0,

(12)

(13)

將(12)、(13)式帶入(11)式后，遞推即可得(10)式.

2 差分格式收斂性和穩(wěn)定性

差分格式(7)～(9)的截?cái)嗾`差為

(14)

由Taylor展開，可知當(dāng)h,τ→0時(shí)，

).

‖u‖L2≤C, ‖ux‖L2≤C,

‖uxx‖L2≤C, ‖u‖L∞≤C,

‖ux‖L∞≤C.

證明 由(6)式有

‖u‖L2≤C, ‖uxx‖L2≤C,

再利用Cauchy-Schwarz不等式有

‖ux‖L2·‖uxx‖L2≤

最后由Sobolev不等式得

‖u‖L∞≤C, ‖ux‖L∞≤C.

‖U‖≤C, ‖Ux‖≤C,

‖Uxx‖≤C, ‖U‖∞≤C,

‖Ux‖∞≤C.

證明 由定理1有

‖U‖≤C, ‖Uxx‖≤C,

再由分部求和公式[12-15]及Cauchuy-Schwarz不等式有

再由離散Sobolev不等式[16]得：

‖U‖∞≤C, ‖Ux‖∞≤C.

注 1 定理2表明，差分格式(7)～(9)的解Un以‖·‖∞無條件穩(wěn)定.

(15)

(16)

類似于(12)式有

=0,=0,

(17)

再由引理1，定理2以及Cauchy-Schwarz不等式有

=

(‖en-1‖2+‖en‖2+‖en+1‖2+

(18)

(19)

(20)

則將(17)～(20)式代入(16)式整理有

‖en‖2+‖en-1‖2).

(21)

令

對(duì)(21)式兩邊乘以2τ,然后從1到N求和得

‖

先用兩層的二階方法(如C-N格式)先計(jì)算出U1，使之滿足：B0=O(τ2+h2)2,又

‖rn‖2≤

則由離散的Gronwall不等式[16]可得

BN≤O(τ2+h2)2,

即

‖eN‖≤O(τ2+h2),

再由(19)式，可以推得

最有由離散Sovolev不等式[16]有

‖eN‖∞≤O(τ2+h2).

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

對(duì)初邊值問題(3)～(5)考慮p=3和p=5兩種情形進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn).當(dāng)p=3時(shí)，方程(3)的孤波解[9-10]為

當(dāng)p=5時(shí)，方程(3)的孤波解[9-10]為

在計(jì)算中，取初值函數(shù)u0(x)=u(x,0)，固定

xL=-80,xR=120,T=40.

就τ和h的不同取值對(duì)數(shù)值解和孤波解在幾個(gè)不同時(shí)刻的誤差見表1；格式對(duì)守恒量(6)的數(shù)值模擬見表2.

表 1 數(shù)值解和孤波解在不同時(shí)刻的誤差

表 2 格式對(duì)守恒量En的數(shù)值模擬

從表1和表2可以看出，差分格式(7)～(9)明顯具有二階精度，且合理地模擬了守恒量(6)，所以該格式是可靠的.

致謝 西華大學(xué)研究生創(chuàng)新基金(YCJJ2014033)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

[1] Rosenau P. A quasi-continuous description of a nonlinear transmission line[J]. Physica Scripta,1986,34:827-829.

[2] Rosenau P. Dynamics of dense discrete systems[J]. Progress of Theoretical Physics,1988,79: 1028-1042.

[3] Park M A. On the Rosenau equation[J]. Applied Mathematics and Computation,1990,9(2):145-152.

[4] Omrani K, Abidi F, Achouri T, et al. A new conservative finite difference scheme for the Rosenau equation[J]. Appl Math Comput,2008,201(1/2):35-43.

[5] Chung S K. Finite difference approximate solutions for the Rosenau equation[J]. Appl Anal,1998,69(1/2):149-156.

[6] Chung S K, Pani A K. Numerical methods for the Rosenau equation[J]. Appl Anal,2001,77(3/4):351-369.

[7] Kim Y D, Lee H Y. The convergence of finite element Galeerkin solution for the Rosenau equation[J]. Korean J Comput Appl Math,1998,5(1):171-180.

[8] Zuo J M. Solitons and periodic solutions for the Rosenau-KdV and Rosenau-Kawahara equations[J]. Appl Math Comput,2009,215(2):835-840.

[9] Biswas A, Triki H, Labidi M. Bright and dark solitons of the Rosenau-Kawahara equation with power law nonlinearity[J]. Physics of Wave Phenomena,2011,19(1):24-29.

[10] 胡勁松,王玉蘭,王正華. 廣義Rosenau-Kawahar方程的孤波解及其守恒律[J]. 西華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,32(3):26-28.

[11] Hu J, Xu Y C, Hu B, et al. Two conservative difference schemes for Rosenau-Kawahara equation[J]. Adv Math Phys,2014,10(1):396-409.

[12] 劉倩,胡勁松,林雪梅. 帶有阻尼項(xiàng)的廣義SRLW方程的一個(gè)線性差分格式[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014,38(2):199-202.

[13] 李思霖. 廣義Rosenau-Burgers方程的有限差分近似解[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013,37(4):595-598.

[14] 林雪梅,胡勁松,劉倩. 耗散SRLW方程的一個(gè)新的守恒差分逼近[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014,37(1):49-53.

[15] 胡勁松,王玉蘭,鄭茂波. Rosenau-Burgers方程的一個(gè)新的差分格式[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010,33(4):455-457.

[16] Zhou Y L. Application of Discrete Functional Analysis to the Finite Difference Methods[M]. Beijing:International Academic Publishers,1990.

2010 MSC：65N12; 65M12; 65N06

(編輯 陶志寧)

A Conservative Linear Difference Schemes of Generalized Rosenau-Kawahara Equation

CHEN Tao, HU Jinsong
(SchoolofScience,XihuaUniversity,Chengdu610039,Sichuan)

A linear three-level conservative difference scheme for the numerical solution of the initial-boundary value problem of generalized Rosenau-Kawahara equation is proposed. The difference scheme simulates two conservative quantities of the problem well.The prior estimation of the finite difference solution is obtained. It is proved that the finite difference scheme is convergent with second-order and unconditionally stable by discrete functional analysis method. Numerical experiments verify the theoretical results.

generalized Rosenau-Kawahara equation; finite difference scheme; conservation; convergence; stability

2014-06-29

四川省基礎(chǔ)應(yīng)用研究項(xiàng)目基金(2013JY0096)

O241.82

A

1001-8395(2015)06-0884-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.018

*通信作者簡(jiǎn)介：胡勁松(1973—),男,教授,主要研究方向?yàn)槲⒎址匠虜?shù)值解,E-mail:hjs888hjs@163.com