張慧明, 段生貴, 李建俊(. 石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 河北 石家莊 05003; . 河北師范大學(xué) 附屬民族學(xué)院, 河北 石家莊 05009)

?

|x|α在第二類Chebyshev結(jié)點(diǎn)的有理插值

張慧明1, 段生貴1, 李建俊2
(1. 石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 河北 石家莊 050031; 2. 河北師范大學(xué) 附屬民族學(xué)院, 河北 石家莊 050091)

Lagrange插值; 第二類Chebyshev結(jié)點(diǎn); 有理插值; Newman-α型有理算子; 逼近階

1 引言及預(yù)備知識

令f(x)∈C[-1,1],則基于結(jié)點(diǎn)組X={xk:-1≤x0

其中

f的連續(xù)性并不能保證在n→∞時,Ln(f,X,x)處處收斂于f(x).

1918年,S. Bernstein[1]證明了一個經(jīng)典的結(jié)果,即對于等距結(jié)點(diǎn)

j=0,1,2,…,n,n∈N, ?x∈(-1,1),

|x|的Lagrange插值多項式逼近|x|也是除了±1和0外處處發(fā)散.1964年,D. J. Newman[16]引入有理函數(shù)rn(x),發(fā)現(xiàn)它遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其Lagrange插值多項式逼近,得到結(jié)果：當(dāng)n≥5時,有下式成立

由于有理函數(shù)對于|x|有很好的逼近效果,是否也可以考慮用有理函數(shù)逼近|x|α(0<α<1)？

本文類似于Newman型有理算子[17]定義如下Newman-α型有理算子

其中

結(jié)點(diǎn)組可以取作

X={xk:0

當(dāng)α=1時,也就是以前考慮|x|的有理插值問題,相應(yīng)的Newman-α型有理算子也就是Newman型有理算子.

2 rn,α(X;x)在(-∞,+∞)與|x|α共單調(diào)

文獻(xiàn)[17]構(gòu)造的Newman型有理算子在(-∞,+∞)與|x|有共單調(diào)性,現(xiàn)在構(gòu)造的Newman-α型有理算子在(-∞,+∞)有同樣的性質(zhì).

定理 1rn,α(X;x)在(-∞,+∞)與|x|α有共單調(diào)性.

Y={0

其中

結(jié)點(diǎn)組取作Y={0

由于rn,α(X;x)和|x|α都是偶函數(shù),可得：rn,α(X;x)在(-∞,+∞)與|x|α有共單調(diào)性.所以只需考慮[0,+∞)即可.

3 rn,α(X;x)在第二類Chebyshev結(jié)點(diǎn)對|x|α的有理逼近

).

要證明以上定理需要用如下一些基本引理.

引理 1 當(dāng)m1≤m2≤n時,有以下不等式成立

證明 原不等式較繁,兩邊同時乘以

并化簡得

要證明原不等式,只需證明以上不等式,即證

引理1不等式得證.

引理 2 當(dāng)a>b>1時,有以下不等式成立

證明 首先看以下不等式

(c+d)(cm-1+cm-2d+cm-3d2+…+dm-1)=

cm+2(cm-1d+cm-2d2+…+cdm-1)+dm>

cm+(2m-1)dm,c>d,m∈N*.

由以上兩式相除即得引理2.

定理2的證明 由于rn-1,α(U;x)和|x|α均為偶函數(shù),所以只考慮區(qū)間[0,1]即可.

|en-1,α(U;x)|=||x|α-rn-1,α(U;x)|≤

其中

由上式得

|en-1,α(U;x)|=

利用引理1中不等式得

利用引理2中不等式得

所以有

|en-1,α(U;x)|=

綜合1)和2),定理得證.

4 分析小結(jié)

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2010 MSC：41A20; 41A25

(編輯 李德華)

On Rational Interpolation to |x|αat the Chebyshev Nodes of the Second Kind

ZHANG Huiming1, DUAN Shenggui1, LI Jianjun2
(1.SchoolofMathematicsandPhysics,ShijiazhuangCollegeofEconomics,Shijiazhuang050031,Hebei;2.AffiliatedCollegeofMinorityEducation,HebeiNormalUniversity,Shijiazhuang050091,Hebei)

Lagrange interpolation; Chebyshev nodes of the second kind; rational interpolation; Newman-αtype rational operator; order of approximation

2014-03-14

河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究青年基金(QN2014018)

張慧明(1978—),男,講師,主要從事函數(shù)逼近論的研究,E-mail:zhanghm1978@126.com

O174.41

A

1001-8395(2015)06-0889-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.019