朱小平 魏光明

摘要：指向兒童悟得的數(shù)學(xué)教學(xué)力圖到達(dá)兒童內(nèi)心世界的深處，讓知識的生長與聯(lián)結(jié)樸素自然，學(xué)科素養(yǎng)的積淀與提升悄然生發(fā)。兒童悟得的設(shè)計原則包括兒童先行、悟創(chuàng)結(jié)合、整體建構(gòu)，實(shí)施策略主要有：積累圖式、多元直觀、經(jīng)由比較、漸次悟得、適度統(tǒng)整。

關(guān)鍵詞：兒童悟得；信度；通感；兒童數(shù)學(xué)

一直以來，兒童數(shù)學(xué)教學(xué)始終存在著的兩大問題未能引起大家足夠的重視和解決，一個是兒童對數(shù)學(xué)知識的信度問題，即認(rèn)同、悅納的程度；另一個是對數(shù)學(xué)知識的通感問題，即透徹、貫通的程度。指向兒童悟得的數(shù)學(xué)教學(xué)力圖到達(dá)兒童內(nèi)心世界的深處，讓知識的生長與聯(lián)結(jié)自然而然，絕無突兀之感，學(xué)科素養(yǎng)的積淀與提升悄悄生發(fā)，成于無形之間。

一、兒童悟得的內(nèi)涵詮釋及價值澄清

（一）內(nèi)涵詮釋

悟得，是一種心理體驗(yàn)，指通過思考內(nèi)化所學(xué)內(nèi)容成為自己知識結(jié)構(gòu)的一部分，從而使自己的認(rèn)識得到改變的過程。相對于習(xí)得、知得而言，“悟得的是一種意義理解，是一種規(guī)律性的認(rèn)識，是一種智慧。”[1]

兒童悟得，指兒童在整體體驗(yàn)的基礎(chǔ)上以悟得的方式（包括感悟、領(lǐng)悟、頓悟）把握知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系，同時賦予知識以鮮活的意義，從而優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，滿足生命發(fā)展需求。

兒童悟得，首先代表著一種方式，以符合兒童感悟、領(lǐng)悟、頓悟的認(rèn)知方式切入和展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動；其次，它代表著一種過程，通過自悟自得（意義建構(gòu)）或共悟共得（協(xié)作交流）的認(rèn)知過程推進(jìn)和完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)；最后，它還代表著一種結(jié)果，對照悟有所得、悟形悟數(shù)、得真得趣的認(rèn)知評價逼近和達(dá)成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)。此外，它具有“自主性、整體性、體驗(yàn)性、創(chuàng)造性、情感性”等特征。

“兒童悟得”背后的核心思想是人的主動嘗試、積極探索與自覺改變。我們認(rèn)為，兒童悟得既是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理念和方式，同時也是一種數(shù)學(xué)教學(xué)的理念和方式，更是一種數(shù)學(xué)教育的思想和方法。

（二）價值澄清

“知識是外在于人的，是一種可以量化的‘知道，只有在‘悟的過程中，讓知識進(jìn)入人的認(rèn)知本體，悟有所得，才能成為素養(yǎng)?！盵2]而現(xiàn)實(shí)中因多方面因素的影響，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)“悟而不得”“得而不悟”“淺悟淺得”等學(xué)習(xí)現(xiàn)象，使得兒童對知識的認(rèn)同與聯(lián)結(jié)程度不高，不得不以增加記憶負(fù)擔(dān)的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。但讓人永葆希望的是——兒童是天生的探索者、發(fā)現(xiàn)者和研究者，其精神世界中“悟得”的需求特別強(qiáng)烈。我們認(rèn)為，教育的本義是幫助學(xué)生開悟、開竅，教師應(yīng)當(dāng)做啟悟者。對兒童自我教育和自主發(fā)展而言，進(jìn)行“兒童悟得”專題研究有著強(qiáng)烈的現(xiàn)實(shí)意義和極高的研究價值。

第一，兒童悟得順應(yīng)了兒童之為人的天賦與潛能。臺灣學(xué)者黃武雄教授在《童年與解放》一書中認(rèn)為，“人與生俱來地?fù)碛幸环N源于自然的原始創(chuàng)造特質(zhì)?！盵3]正因?yàn)閮和哂卸床鞆?fù)雜事物的特征、以無畏無休的體驗(yàn)換取最真實(shí)的知識、免于偏見的限制等原始創(chuàng)造的特質(zhì)，所以他們才能無邊好奇、極富勇氣、不存偏見。

第二，兒童悟得響應(yīng)了人覺醒與發(fā)展的基本準(zhǔn)則。俗話說，“紙上得來終覺淺，心中悟出始知深。”葉圣陶認(rèn)為，“自己摸索得來比向別人學(xué)更重要”；蘇格拉底曾說過，“唯有發(fā)自內(nèi)心的知識，才能夠變成人的智慧”；斯賓塞則說，“學(xué)習(xí)者從心智努力發(fā)現(xiàn)的東西，比別人告訴他的要好理解得多”；伽利略更是提醒我們，“你不能去教別人，只能幫助他自悟而已”。

第三，兒童悟得回應(yīng)了教育學(xué)心理學(xué)的研究成果。心理學(xué)格式塔頓悟說代表人物韋特墨從學(xué)校實(shí)踐研究學(xué)生的頓悟?qū)W習(xí)，并強(qiáng)調(diào)通過整體進(jìn)行思維；建構(gòu)主義理論認(rèn)為，知識不是通過教師傳授得到，而是學(xué)習(xí)者通過意義建構(gòu)的方式而獲得；情境教育理論在解決兒童認(rèn)識斷層上的貢獻(xiàn)有“對事物的認(rèn)識是整體性的、情境化的，是自我建構(gòu)的，因而也是內(nèi)化的”；生本教育理論的“小立課程、大作功夫”，強(qiáng)調(diào)借助人的悟感，在活動中發(fā)展悟感，從而使人的認(rèn)識發(fā)生遷移和頓悟，更強(qiáng)有力地認(rèn)識事物的本體。

二、兒童悟得的設(shè)計原則

學(xué)習(xí)貴在悟，教學(xué)貴在度。高效益、有價值的兒童悟得活動，來自教師有信念、有智慧的設(shè)計與實(shí)施。

（一）兒童先行原則

兒童先行表現(xiàn)為兒童的學(xué)習(xí)先于教師的傳授，兒童想法的表達(dá)先于成人想法的表達(dá)。學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是嘗試成功。探索新的數(shù)學(xué)知識，解決新的數(shù)學(xué)問題，不妨讓學(xué)生先嘗試著說一說，做一做。

兒童的想法和思維先于成人，成人接著兒童的想法和思維進(jìn)行教學(xué)，激活了學(xué)習(xí)者的內(nèi)在潛能，同時也彰顯了教育者的存在價值——教育的目的在于使人成為他自己，在于按其所未行而行。

兒童先行原則要求我們及時關(guān)注學(xué)生全員參與的深入程度和教學(xué)反饋的覆蓋范圍，了解學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)困難和快樂，洞察錯誤背后的迷思與誤解，彰顯正確背后的智慧與風(fēng)格，鼓勵學(xué)生完成從錯誤調(diào)整到正確、從單一調(diào)整到多元的認(rèn)知過程。

（二）悟創(chuàng)結(jié)合原則

兒童積極主動地進(jìn)行認(rèn)知心理活動同化或順應(yīng)的過程，是悟的表現(xiàn)；兒童創(chuàng)造性地把知識與自己建立關(guān)聯(lián)，讓知識具有個人意義，進(jìn)而創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題的過程，這是創(chuàng)的表現(xiàn)。

悟得新知識的豐富內(nèi)涵和運(yùn)用智慧，往往需要同時伴有或交叉進(jìn)行悟與創(chuàng)的心理活動。悟創(chuàng)結(jié)合強(qiáng)調(diào)的是，悟與創(chuàng)不可缺其一者或偏廢兩者，努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)觀念的完整改造與提升，最終實(shí)現(xiàn)兒童“心靈的轉(zhuǎn)向”。

悟創(chuàng)結(jié)合原則要求我們讓學(xué)生能夠有思考和挑戰(zhàn)的機(jī)會與內(nèi)容，鼓勵并引導(dǎo)學(xué)生豐富或調(diào)整自己的解釋，積累或拓展自己的經(jīng)驗(yàn)，改進(jìn)或完善自己的方法，從而在自悟自得和共悟共得的學(xué)習(xí)情境中建立自己的數(shù)學(xué)理解，形成創(chuàng)見性的經(jīng)驗(yàn)和智慧。

（三）整體建構(gòu)原則

人們認(rèn)識事物的規(guī)律不是先部分后整體，而是先整體后部分，經(jīng)過幾個循環(huán)往復(fù)，最后形成對事物的清晰認(rèn)識?？梢?，整體建構(gòu)符合人們認(rèn)識事物的一般規(guī)律。

兒童與成人均能以整體視角觀照和建構(gòu)數(shù)學(xué)，略有不同的是兒童更多時候是立足于生活經(jīng)驗(yàn)的世界進(jìn)行整體建構(gòu)，而成人則更多時候是立足于數(shù)學(xué)學(xué)科的世界進(jìn)行整體建構(gòu)。生活世界與數(shù)學(xué)世界的聯(lián)結(jié)渾然一體，數(shù)學(xué)世界內(nèi)部眾多知識之間的聯(lián)系井然有序，離不開教師對課程資源的深度發(fā)掘與整體把握。

整體建構(gòu)原則要求我們深度發(fā)掘教材的知識內(nèi)核、整體結(jié)構(gòu)和豐富內(nèi)涵，研發(fā)有助于整體思考的學(xué)習(xí)素材和整體互動的學(xué)習(xí)場景，使兒童形成對知識的深刻理解，建構(gòu)起有生命力的、可遷移的知識，進(jìn)而悟得數(shù)學(xué)課程的知識體系和學(xué)科思想。

三、兒童悟得的實(shí)施策略

（一）策略1：積累圖式

圖式是人腦中已有的知識經(jīng)驗(yàn)的網(wǎng)絡(luò)，其決定著人做信息選擇時相應(yīng)的內(nèi)容和傾向偏好，可引起新信息的加工。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)同樣需要積累一定的認(rèn)知圖式加以儲存?zhèn)溆?，為后續(xù)的悟得活動奠定成功的基礎(chǔ)。

比如，在學(xué)習(xí)“體積單位”一課時，接著書中的內(nèi)容“容積是1立方分米的容器，正好盛水1升”，我順勢介紹了科學(xué)常識“1立方分米的凈水重1千克，1立方米的凈水重1噸”。誰知不經(jīng)意的一次介紹，在學(xué)習(xí)“體積單位之間的進(jìn)率”時，竟然有了無心插柳柳成蔭的神奇效果。教材例題內(nèi)容的編排思路是讓學(xué)生判斷棱長1分米的正方體和棱長10厘米的正方體體積是否相等，并說說為什么。因?yàn)?分米=10厘米，兩個正方體棱長相等，所以二者的體積相等。然后，分別算出它們的體積分別是1立方分米、1000立方厘米。由于二者體積相等，可以用等于號將“1立方分米”和“1000立方厘米”進(jìn)行連接，形成等式“1立方分米=1000立方厘米”。至于1立方米等于多少立方分米，鼓勵學(xué)生用上述同樣的方法進(jìn)行推導(dǎo)或證明。

在切入例題學(xué)習(xí)之前，我先是與學(xué)生一起復(fù)習(xí)了長度單位“厘米、分米、米”相鄰兩個單位之間的進(jìn)率是10和面積單位“平方厘米、平方分米、平方米”相鄰兩個單位之間的進(jìn)率是100，接著追問體積單位“立方厘米、立方分米、立方米”相鄰兩個單位之間的進(jìn)率是多少？多數(shù)孩子能推測或者知曉進(jìn)率為1000。我繼續(xù)發(fā)問，“你有辦法證明‘1立方分米=1000立方厘米、1立方米=1000立方分米嗎？”不少孩子認(rèn)為，“因?yàn)?立方分米=1升，1立方厘米=1毫升，而1升=1000毫升，所以1立方分米=1000立方厘米。”少數(shù)孩子認(rèn)為，“因?yàn)?立方分米的凈水重1千克，1立方米的凈水重1噸，而1噸=1000千克，所以1立方米=1000立方分米?！?/p>

如果說孩子們能借助升與毫升之間的關(guān)系證明“1立方分米=1000立方厘米”是我在意料之中的話，那有孩子運(yùn)用科學(xué)常識“1立方分米的凈水重1千克，1立方米的凈水重1噸”證明“1立方米=1000立方分米”則是出乎我意料之外。孩子們有了用自己的知識悟得新知識的經(jīng)歷，學(xué)習(xí)熱情特別地高漲，充滿期待地開始了領(lǐng)悟課本例題介紹的證明方法的學(xué)習(xí)之旅。

（二）策略2：多元直觀

多元直觀指運(yùn)用多元的直觀載體（包括圖形、模型、實(shí)物、動作等）或多元的方式呈現(xiàn)和使用同一種直觀載體，以匹配不同思維水平層次兒童的悟得活動的需要。僅僅知道“幾何直觀是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)最有效的渠道”（阿提雅）是不夠的，如何進(jìn)行幾何直觀以及除了幾何直觀之外還需要做些什么，這些話題同樣值得我們作進(jìn)一步的思考！

比如，六年級數(shù)學(xué)上冊教科書第22頁的思考題（見圖1）。對于抽象思維水平較高的孩子，直接觀察題目中的示意圖即可感悟到正方體表面對應(yīng)“增加56平方厘米”的部分，找到解決問題的突破口。但有相當(dāng)一部分孩子需要觀察正方體變化分解圖（見圖2）才能確定圖形變化前后其上面還在，并且沒有變化，“增加56平方厘米”對應(yīng)著的是新增一圈的4個相同的長方形直條，進(jìn)而領(lǐng)會解決問題的方法“56÷4=14（平方厘米） 14÷2=7（厘米） 7-2=5（厘米） 7×7×5=245（立方厘米）”。更有一些孩子即使觀察正方體變化分解圖依然無力想象，任憑老師講解類似的題目數(shù)遍，仍然不得要領(lǐng)。這時倘若呈現(xiàn)實(shí)物木塊兩種（見圖3），讓其觀察和比較，才能悟得正方體表面對應(yīng)“增加56平方厘米”的部分，從而取得認(rèn)知活動的突破。至此，在多元直觀活動的支撐下，悟得活動向每一個兒童得以順利敞開和圓滿進(jìn)行。

（三）策略3：經(jīng)由比較

認(rèn)識源于比較，沒有比較就沒有認(rèn)識。經(jīng)由比較，可以較好地理解知識的本質(zhì)屬性，掌握知識的聯(lián)系與區(qū)別，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)思維的拔節(jié)生長。比如，教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識”一課時，筆者確定了本節(jié)課的核心知識為“長方體的面是長方形，相對的面完全相同，相對的棱長度相等”和“正方體是特殊的長方體”之后，設(shè)計與實(shí)施了三次認(rèn)知比較活動：第一次是把長方體（盒子）與圓柱體（茶杯）、球體（彈力球）作比較，學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)了長方體的基本特征，教師順勢介紹了“面”“棱”“頂點(diǎn)”等概念，并作了及時的總結(jié)，即“長方體有6個面，12條棱，8個頂點(diǎn)”。第二次是把長方體（盒子）與六面體（水晶紀(jì)念品）作比較（見圖4），學(xué)生認(rèn)識到“有6個面，12條棱，8個頂點(diǎn)”是長方體的一般特征，具備長方體一般特征的立體圖形未必是長方體（正方體），“面是長方形，相對的面完全相同，相對的棱長度相等”才是長方體的本質(zhì)特征。第三次是學(xué)生親歷長方體切成正方體的過程之后，把切成的正方體與切之前的長方體進(jìn)行比較，對照長方體的一般特征和本質(zhì)特征，發(fā)現(xiàn)了正方體特征的同時，領(lǐng)會到“正方體是特殊的長方體”這一說法的依據(jù)所在。不難發(fā)現(xiàn)，第一次、第二次比較是求異比較，第三次比較是求同比較。三次認(rèn)知比較活動，成功地將兒童的悟得進(jìn)程推向思維的縱深之處，對長方體（正方體）形成較為深刻而完整的數(shù)學(xué)認(rèn)識。

教師在課堂上講什么當(dāng)然是重要的，然而學(xué)生真正想的是什么卻更為重要。因各種原因的影響，兒童在悟得過程中容易形成思維定勢或作出不適宜的聯(lián)想和遷移。這時，需要教師及時地了解和干預(yù)，通過變式比較防止數(shù)學(xué)誤解的產(chǎn)生。比如，學(xué)生認(rèn)識梯形容易產(chǎn)生的數(shù)學(xué)誤解就有兩個，一是認(rèn)為梯形中“正著的”是梯形，而“歪著的”不是梯形；二是誤以為相互平行的那組對邊，短邊是上底，長邊是下底。為此，我們除了對上底與下底的長度進(jìn)行變式外，還要在梯形的身子“正”與“歪”方面進(jìn)行變式，以豐富心理表象，強(qiáng)化圖形的本質(zhì)特征與屬性是“只有一組對邊平行的四邊形”，至于這個四邊形是不是上小下大，身子是不是端端正正的，無關(guān)緊要。再比如，六年級的學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)連乘”一課時，解決的實(shí)際問題多是變換不同問題情境的同類題目而已，學(xué)生下意識地認(rèn)為快速解題的方法是直接把題目中的三個數(shù)連乘列式計算即可。鞏固練習(xí)即將結(jié)束時，筆者順勢補(bǔ)充一題“運(yùn)動會上長跑的有42人，短跑的人數(shù)是長跑的■，跳遠(yuǎn)的人數(shù)是長跑的■。跳遠(yuǎn)的有多少人”，要求學(xué)生只列式不計算進(jìn)行快速判斷，多數(shù)孩子掉進(jìn)了分?jǐn)?shù)連乘思維定勢的陷阱里。通過“吃一塹，長一智”的對比練習(xí)活動，學(xué)生經(jīng)歷犯錯與矯正，深刻地領(lǐng)悟到弄清楚單位“1”的數(shù)量對于正確解答分?jǐn)?shù)實(shí)際問題來說至關(guān)重要。

（四）策略4：漸次悟得

有效的悟得，要遵循一定的方向、次序和層級。

1.量變引起質(zhì)變。如長方形面積計算公式的悟得路徑是“用數(shù)面積單位個數(shù)的方法求不規(guī)則圖形的面積→用數(shù)面積單位個數(shù)的方法求長方形的面積→將沒有方格背景的長方形畫滿方格，推算面積→對沒有方格背景的長方形畫部分方格，推算面積→量長和寬的長度，推算方格排數(shù)和每排個數(shù)，計算面積→直接量出長和寬的長度，用長乘寬進(jìn)行計算→確認(rèn)長方形面積計算公式，并用字母表示面積計算公式”。采用數(shù)、畫、部分畫、不畫的方式，學(xué)生經(jīng)歷多次面積計算活動，最終發(fā)現(xiàn)長對應(yīng)著一排面積單位數(shù)，寬對應(yīng)面積單位的排數(shù)，從而悟得“長×寬”即“一排面積單位個數(shù)×面積單位的排數(shù)”，成功頓悟出長方形面積計算公式。

2.歷經(jīng)反復(fù)逐步悟得。如題目一“少先隊(duì)員用紅紙做一些底是12厘米，高是20厘米的直角三角形小紅旗。現(xiàn)有一張長80厘米，寬49厘米的長方形紅紙，最多可做多少面小紅旗？”和題目二“一張長方形紅紙，它的長是13分米，寬是8分米，一面小旗是一個等腰直角三角形，它的直角邊是4分米。用這張紅紙做三角形小旗，最多能做多少面？”由于學(xué)生需要積累和轉(zhuǎn)變的思維經(jīng)驗(yàn)包括“要求直角三角形的個數(shù)可以先求出長方形的個數(shù)，然后乘2”“要求等腰直角三角形的個數(shù)可以先求出正方形的個數(shù)，然后乘2”“一排的個數(shù)×排數(shù)=長方形（正方形）的總個數(shù)”“長方形（正方形）的個數(shù)×2=小紅旗總面數(shù)”以及“方法‘長方形（正方形）一排的個數(shù)×排數(shù)×2=小紅旗總面數(shù)比‘紅紙總面積÷小紅旗面積=小紅旗的面數(shù)更為可靠”等等。其中既有通過操作或畫圖悟得的直接經(jīng)驗(yàn)，又有借助傾聽和想象悟得的間接經(jīng)驗(yàn)。因此，最終成功悟得此類問題的解題方法自然是充滿艱辛和煎熬，需要?dú)v經(jīng)反復(fù)才能實(shí)現(xiàn)。

3.尊重兒童的原初想法。數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物。通過自身思考，加之親身體驗(yàn)而得來的知識，容易成為自身不可分離的部分。對兒童而言，如此建構(gòu)的知識世界才是最為真實(shí)的知識世界。在實(shí)際中，要從眾多體驗(yàn)項(xiàng)目中優(yōu)選最貼近兒童原初想法最值得體驗(yàn)的活動內(nèi)容，以提高學(xué)生對知識的認(rèn)同程度。比如，對千克的認(rèn)識，非常有必要讓學(xué)生多次體驗(yàn)1千克、2千克、3千克物體的質(zhì)量，重視學(xué)生量感的培養(yǎng)，避免學(xué)生認(rèn)識了噸之后出現(xiàn)笑話“電熨斗大約重10噸”和“電熨斗大約重10千克”。又如學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”一課，關(guān)于驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是180°的方法，筆者進(jìn)行課前學(xué)情調(diào)研時發(fā)現(xiàn)，孩子們在沒有翻看課本的情況下，能自主想到的驗(yàn)證方法有三種：一種是畫一個任意的三角形，量出三個內(nèi)角度數(shù)相加；一種是從特殊的三角形（三角尺上的直角三角形和等邊三角形）推想而得，即45°+45°+90°，30°+60°+90°，60°+60°+60°；第三種是可以找三個相同的三角形把它們不同的角放到一起“擺”拼成平角。筆者以為，第三種驗(yàn)證方法是兒童的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，屬于悟得活動的原初路徑。實(shí)施教學(xué)時，我們采取四人小組為單位進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，絕大多數(shù)小組悟創(chuàng)結(jié)合，憑借小組內(nèi)足夠數(shù)量的三角形想出了“擺”拼法進(jìn)行驗(yàn)證。之后，以閱讀教材的方式了解和體驗(yàn)“撕”拼法（把三角形紙片3個角撕下來拼成平角）和“折”拼法（把三角形紙片各個角沿它兩邊中點(diǎn)連線對折著拼），從而在最大程度上顧及了兒童的真實(shí)感受，激發(fā)了其悟得的學(xué)習(xí)勁頭。

（五）策略5：適度統(tǒng)整

“知識是由符號、邏輯和意義三個內(nèi)在要素相互關(guān)聯(lián)構(gòu)成的整體?！盵4]在設(shè)計兒童悟得的學(xué)習(xí)內(nèi)容與路徑時，需要發(fā)掘教材的深層價值，就教材的知識內(nèi)核、整體結(jié)構(gòu)和豐富內(nèi)涵作適度統(tǒng)整，以促進(jìn)和幫助學(xué)生賦予知識以鮮活的意義，從而讓知識的內(nèi)在要素之間的關(guān)聯(lián)更為密切。

比如，六年級數(shù)學(xué)教科書上冊第31頁例3“六年級同學(xué)為國慶晚會準(zhǔn)備了三種顏色的綢花，其中黃花有50朵。（1）紅花比黃花多■，紅花比黃花多多少朵？（2）綠花比黃花少■，綠花比黃花少多少朵？”的教學(xué)，第（1）題如果學(xué)生能正確地理解“紅花比黃花多■”的意思，建立相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式“黃花朵數(shù)×■=紅花比黃花多的朵數(shù)”，再解決第（2）題就不存在太大的理解困難，剩下的只是遷移學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的問題了。事實(shí)上，學(xué)生正確地悟得“紅花比黃花多■”的意思并形成清晰的解題經(jīng)驗(yàn)，是存在很大困難的。

為此，我們把學(xué)習(xí)的視角從分?jǐn)?shù)領(lǐng)域投放到整數(shù)領(lǐng)域，先讓學(xué)生解決準(zhǔn)備題目“黃花有15朵，紅花比黃花多3倍。紅花比黃花多多少朵？”學(xué)生先獨(dú)自解答，再結(jié)合示意圖（見圖5上邊部分）確認(rèn)“3倍”是指把黃花看做單位“1”，紅花比黃花多的朵數(shù)是黃花的3倍，即3倍對應(yīng)的數(shù)量是紅花比黃花多的朵數(shù)。接著，再鼓勵學(xué)生解決嘗試題目例3第（1）題。采取自悟自得的形式，遷移解決準(zhǔn)備題時積累的思維經(jīng)驗(yàn)，再針對示意圖（見圖5下邊部分）確認(rèn)“■”是指把黃花看做單位“1”，紅花比黃花多的朵數(shù)是黃花的■，即分率■對應(yīng)的數(shù)量是紅花比黃花多的朵數(shù)。至于例題3第（2）題的解決，則是又一次學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的遷移和拓展。

綜上所述，兒童悟得是兒童探索與聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)世界的通途。教師若能對兒童有足夠多的了解，對數(shù)學(xué)有足夠深的解讀，并積極地遵循兒童悟得的設(shè)計原則，主動地運(yùn)用兒童悟得的實(shí)施策略，我們相信兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之路較以往任何時候會更加地開闊、通暢和美好！

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（朱小平，揚(yáng)州市梅嶺小學(xué)，225002；魏光明，南京市新華中學(xué)附屬小學(xué)，210019）

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