李保安，李靈曉

(1.河南科技大學 數學與統(tǒng)計學院，河南 洛陽 471023；2.上海師范大學 數理學院，上海 200234)

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(G′/G,1/G)-展開法在求解非線性演化方程中的應用

李保安1,2，李靈曉1

(1.河南科技大學 數學與統(tǒng)計學院，河南 洛陽 471023；2.上海師范大學 數理學院，上海 200234)

(G′/G,1/G)-展開法是求解數學物理問題中非線性演化方程新行波解的一種直接而有效的方法，可以看作是(G′/G)-展開法的擴展方法。利用該方法，KdV方程和Burgers方程的含任意參數的新行波解被成功求解。當參數賦以特殊值時，從行波解中可以獲得著名的孤立波解。

(G′/G,1/G)-展開法；行波解；孤立波解；KdV方程；Burgers方程

0 引言

近年來,尋求復雜的物理現象中非線性演化方程(NLEEs)行波解的研究發(fā)揮著重要作用。很多有效的方法，如Tanh-展開法[1-2]、Jacobi橢圓函數展開法[3-4]、齊次平衡法[5-6]、F-展開法[7-8]、輔助常微分方程方法[9-10]、指數函數展開法[11-12]和(G′/G)-展開法[13-14]等，可以成功地獲取NLEEs的孤立波解、沖擊波解、周期波解等類型的精確行波解，但這些解的形式大部分較為單一，并不能有效地反映某些復雜的物理現象，從而某種程度上限制了它的一些應用。

本文應用(G′/G,1/G)-展開法[15]，求解了著名的KdV方程和Burgers方程的更為豐富形式的行波解，該方法是(G′/G)-展開法的擴展。

1 (G′/G，1/G)-展開法的基礎公式

作為(G′/G,1/G)-展開法的預備工作，考慮二階線性常微分方程(LODE)[16]

G″(ξ)+λG(ξ)=μ,

(1)

并設

φ=G′/G,ψ=1/G,

(2)

由式(1)和式(2)得到：

φ′=-φ2+μψ-λ,ψ′=-φψ。

(3)

方程(1)的一般解有3種情形:

情形1 當λ<0時，方程(1)的一般解為：

(4)

由式(2)和式(4)得到關系式：

(5)

情形2 當λ>0時，方程(1)的一般解為：

(6)

由式(2)和式(6)得到關系式：

(7)

情形3 當λ=0時,方程(1)有一般解：

(8)

并且有關系式

(9)

2 KdV方程

考慮以下形式著名的KdV方程[17]：

ut+uux+δuxxx=0,

(10)

該方程在淺水波、等離子體磁流波、非諧振晶格振動和離子聲波中廣泛應用。由行波變換

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-Vt。

(11)

方程(11)化為關于u=u(ξ)的常微分方程：

-Vu′+uu′+δu?=0,

(12)

將該方程積分一次，得到：

(13)

其中，C是待定的積分常數。

考慮方程(13)中u″和u2的齊次平衡，設方程(13)的解具有形式：

u=a2φ2+a1φ+a0+b2φψ+b1ψ，a2≠0。

(14)

其中，φ和ψ滿足式(1)和式(2)。

情形1 當λ<0時，將式(14)代入式(13)，并利用式(3)和式(5)，方程(13)的左邊化為關于φ和ψ的多項式，令同次冪系數為零，得到關于參數a2、a1、a0、b2、b1、V,λ(λ<0)、μ和σ的代數方程組，求解得：

根據以上結果，并利用式(4)，得到方程(10)的雙曲函數行波解為：

(15)

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ<0)和V是任意常數。

情形2 當λ>0時，類似情形1，由(G′/G,1/G)-展開法的基礎公式，求解相應的代數方程組得到：

根據以上結果，并利用式(6)，得到方程(10)的三角函數形式的行波解為：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ<0)和V是任意常數。

情形3 當λ=0時，根據類似的計算，得到：

由上述結果，利用式(8)，得到方程(10)的有理函數形式的行波解為：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2和V是任意常數。

3 Burgers方程

考慮以下形式著名的Burgers方程[18]：

ut+uux-νuxx=0,

(16)

行波約化得到

u(x,t)=u(ξ),ξ=x-Vt。

(17)

將式(16)代入方程(15)，則方程(15)化為關于u(ξ)的常微分方程，關于ξ積分得到含積分常數C的方程：

(18)

考慮u2和u′齊次平衡，設方程(17)的解具有形式:

u=a1φ+a0+b1ψ,a1≠0。

(19)

情形1 當λ<0時,將式(18)代入式(17)，并利用式(3)和式(5)，方程(17)的左邊化為關于φ和ψ的多項式，令同次冪系數為零，得到關于參數a1、a0、b1、V、λ(λ<0)、μ和σ的代數方程組，求解得到：

由上述結果，得到方程(15)的雙曲函數行波解為：

(20)

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ<0)和V是任意常數。

情形2 當λ>0時,類似情形1，利用(G′/G,1/G)-展開法基礎公式，求解相應的代數方程組得到：

由這些結果，得到方程(15)的三角函數形式的行波解為：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2、λ(λ>0)和V是任意常數。

情形3 當λ=0時,根據類似的計算，得到：

由上述結果，得到方程(15)的有理函數形式的行波解為：

其中：ξ=x-Vt；A1、A2和V是任意常數。

4 結果比較

在式(15)和式(20)中取特定參數，如A1=0，A2≠0和A2=0，A1≠0時，KdV方程的解u1分別為：

其中：ξ=x-Vt；λ(λ<0)和V為任意常數。

而Burgers方程的解u1分別為：

其中：ξ=x-Vt；λ(λ<0)和V為任意常數，上述結果與其他文獻中得到的結果相同。

當方程(1)中μ=0，展開式(14)和式(18)中bi=0時，(G′/G,1/G)-展開法就成為(G′/G)-展開法。容易驗證上述KdV方程的解u1、u4和u7，Burgers方程的解u1、u4和u7與利用(G′/G)-展開法求解的結果相同，所以該方法看作是(G′/G)-展開法的一種擴展。但本文也得到了其他文獻中沒有出現過的新形式行波解：圖1a和圖1b分別是KdV方程的雙曲函數行波解u1和u2取特定參數值時的圖形；圖2a和圖2b分別是Burgers方程的雙曲函數行波解u1和u2取特定參數值時的圖形。

圖1 KdV方程的雙曲函數行波解

圖2 Burgers方程的雙曲函數行波解

5 結束語

利用(G′/G,1/G)-展開法求得了KdV和Burgers方程多種類型的含有任意參數的精確行波解，適當選取參數A1和A2時，可以得到方程著名的孤立波解，并與以往文獻作了比較，出現的新形式行波解將對復雜的物理想象的解釋起到一定的借鑒作用。

致謝：本文得到王明亮教授的悉心指導與幫助，作者表示衷心感謝!

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國家自然科學基金項目(11271110);河南省教育廳自然科學研究計劃基金項目(2011B110013)

李保安(1972-),男,河南洛陽人,副教授,碩士,研究方向為非線性偏微分方程.

2014-12-08

1672-6871(2015)03-0090-06

O175.2

A