李慶亞,譚福穎,喬 玲,董萼良,費慶國

(1．東南大學(xué) 工程力學(xué)系, 南京 210096；2.江蘇省工程力學(xué)分析重點實驗室, 南京 210096)

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薄壁加筋圓柱殼后屈曲分析方法研究

李慶亞1,2,譚福穎1,2,喬 玲1,2,董萼良1,2,費慶國1,2

(1．東南大學(xué) 工程力學(xué)系, 南京 210096；2.江蘇省工程力學(xué)分析重點實驗室, 南京 210096)

基于有限元采用非線性顯式動力學(xué)分析方法，開展了軸壓作用下薄壁加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的后屈曲行為研究，比較了加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)筋條截面高寬比、蒙皮厚度、加筋疏密程度等結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)對顯式非線性算法計算屈曲臨界載荷與隱式非線性算法計算結(jié)果的差異。研究結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4時，顯式計算結(jié)果與隱式計算結(jié)果趨于一致，當(dāng)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比小于0.4時，顯式算法計算結(jié)果與隱式算法計算結(jié)果會產(chǎn)生波動性差異。顯式非線性分析能快速高效分析筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4的薄壁加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)后屈曲行為。

加筋圓柱殼；后屈曲；顯式動力學(xué)分析

0 引言

薄壁圓柱殼是工程中常用的殼體結(jié)構(gòu)，在工業(yè)領(lǐng)域有著廣泛的用途，這類薄壁結(jié)構(gòu)的靜強度失效很大一部分是由于其喪失穩(wěn)定所引起的，受載時在未達到強度破壞前就發(fā)生失穩(wěn)破壞[1-2]。為提高薄壁結(jié)構(gòu)的承載力，在設(shè)計中通常增設(shè)筋條，薄壁加筋殼結(jié)構(gòu)在飛行器設(shè)計中得到了廣泛應(yīng)用[3-5]。例如，運載火箭的主承力筒結(jié)構(gòu)，加筋不僅可增加結(jié)構(gòu)的整體剛度，發(fā)揮筋條和蒙皮的雙重作用，而且還能提高結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[6]，加筋殼結(jié)構(gòu)的屈曲臨界載荷遠遠超過同等質(zhì)量的光滑殼體的臨界載荷[7]。正交網(wǎng)格加筋圓柱殼是一種常見的加筋殼結(jié)構(gòu)，其失穩(wěn)過程一般表現(xiàn)為先局部失穩(wěn)，隨后整體失穩(wěn)，結(jié)構(gòu)喪失承載力。結(jié)構(gòu)設(shè)計中，一般將結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)臨界載荷作為設(shè)計載荷[8]，要預(yù)估一個薄壁加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的整體失穩(wěn)承載力就需要

解決結(jié)構(gòu)的屈曲和后屈曲問題。在薄壁加筋結(jié)構(gòu)屈曲后的破壞問題中，材料非線性和幾何非線性交織在一起，要得到整體失穩(wěn)承載力解析解十分困難，甚至不可能，對于這種結(jié)構(gòu)，一般可通過3種途徑獲得：有限元法，半經(jīng)驗法以及工程算法。其中，半經(jīng)驗法需要通過大量試驗研究找出規(guī)律，總結(jié)出簡便的經(jīng)驗公式，但試驗成本昂貴，且周期較長；工程算法存在一定局限性，對于大開口等非均勻性結(jié)構(gòu)適應(yīng)性較差。因此，在求解這類同時考慮幾何非線性及材料非線性的后屈曲問題時，有限元法成了不可替代的分析手段[9]。

此類結(jié)構(gòu)的后屈曲承載力計算方法一直是有限元分析的難點。非線性隱式分析方法，如基于Newton-Raphon迭代的弧長法[10-13]，該方法能夠追蹤整個結(jié)構(gòu)的平衡路徑，即能夠跨越屈曲分叉點或極限強度點，較為準確有效的追蹤整個失穩(wěn)過程中的實際載荷、位移關(guān)系，而獲得結(jié)構(gòu)失穩(wěn)前后的全部信息，可用于缺陷敏感型結(jié)構(gòu)，但當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)局部屈曲后，計算步長將變得很小，導(dǎo)致計算時間激增甚至出現(xiàn)計算不收斂[15]；隱式動力學(xué)分析方法，若為獲得高精度解，網(wǎng)格細化將大大增加計算成本，同時對于存在接觸等非線性問題，也可能無法保證收斂；非線性顯式后屈曲[14-16]分析可相對較快的得到結(jié)構(gòu)的極限承載力，且計算所得失穩(wěn)波形與試驗失穩(wěn)波形一致[16]，同時該方法穩(wěn)健，不存在收斂問題，但計算可能受模型復(fù)雜程度，單元尺寸，加載速度等因素影響，屈曲臨界載荷需通過試算獲取[17]。目前，對于此類加筋柱殼結(jié)構(gòu)，由于顯式算法穩(wěn)健，不存在收斂問題，可較快地獲得結(jié)構(gòu)后屈曲臨界承載力。因此，更適于結(jié)構(gòu)后屈曲分析。

本文基于有限元，利用非線性顯式算法分析加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)后屈曲行為。分析了加筋圓柱殼進行有限元穩(wěn)定計算屈曲臨界載荷的影響因素，系統(tǒng)研究了結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)改變，即結(jié)構(gòu)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比改變，非線性顯式算法分析加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)臨界屈曲載荷與隱式算法計算結(jié)果的差異，并給出了顯式非線性算法分析的合理范圍。

1 非線性顯式后屈曲分析方法

1.1 顯式時間積分

對于一個顯式動力學(xué)分析，運動方程可表示為

Mü+I-P=0

(1)

式中M為質(zhì)量矩陣；I為粘性效應(yīng)項；P為外部激勵作用；ü為節(jié)點加速度。

在任意時刻t，上述方程可視為考慮了慣性力項Mü，粘性效應(yīng)項I，外載荷項P作用下的動力平衡方程。當(dāng)慣性力足夠小，可忽略時，公式即退化為靜力學(xué)平衡方程。

在當(dāng)前增量步開始時，計算加速度為

üt=(M)-1·(P-I)t

(2)

顯式算法采用一個對角或者集中的質(zhì)量矩陣，任何節(jié)點的加速度是完全取決于節(jié)點質(zhì)量和作用在節(jié)點上的合力，求解加速度不必同時求解聯(lián)立方程，使得節(jié)點計算的成本非常低。

對加速度在時間上進行積分采用中心差分方法，在計算速度的變化時，假定加速度為常數(shù)。應(yīng)用這個速度的變化值加上前一個增量步中點的速度來確定當(dāng)前增量步中點的速度：

(3)

速度對時間的積分，并加上在增量步開始時的位移，以確定增量步結(jié)束時的位移：

(4)

這樣，在增量步開始時，提供了滿足動力學(xué)平衡條件的加速度。得到了加速度，在時間上“顯式地”前推速度和位移。所謂“顯式”是指在增量步結(jié)束時的狀態(tài)僅依賴于該增量步開始時的位移、速度和加速度。為了使該方法產(chǎn)生精確的結(jié)果，時間增量必須相當(dāng)小，在增量步中加速度幾乎為常數(shù)。由于時間增量步必須很小，一個典型的分析需要成千上萬個增量步。因為不必同時求解聯(lián)立方程組，所以每一個增量步的計算成本很低。大部分的計算成本消耗在單元的計算上，以此確定作用在節(jié)點上的單元內(nèi)力。單元的計算包括確定單元應(yīng)變和應(yīng)用材料本構(gòu)關(guān)系確定單元應(yīng)力，從而進一步地計算內(nèi)力。

1.2 顯式算法收斂性

顯式動力學(xué)分析運動方程中，粘性效應(yīng)項：

(5)

(6)

節(jié)點位移泰勒展開：

(7)

(8)

由式(7)和式(8)可得：

(9)

(10)

將式(9)和式(10)代入動力學(xué)控制方程式(6)得：

(11)

由式(11)可看出，ut+Δt僅由ut和ut-Δt決定。因此，運動方程可直接求解，無需迭代，不存在收斂性問題。

2 算例研究

本文以薄壁加筋殼結(jié)構(gòu)為0～90°正交加筋結(jié)構(gòu)為研究對象，如圖1所示。其幾何尺寸如下：殼體直徑D為1 000 mm，高度L為1 000 mm，共12根環(huán)向筋，79根縱向筋，筋條高度h為18 mm，筋條寬度tw為1.8 mm，蒙皮厚度ts為1.3 mm。整個結(jié)構(gòu)均采用鋁合金材料，材料彈性模量為6.8×104MPa，泊松比為0.33，材料密度為2.7×10-6kg/mm3。邊界條件為一端固支，另一端僅有軸向位移。

2.1 加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)建模

正交加筋圓柱殼若采用實體建模分析，并獲得滿意的分析精度，則模型的求解自由度將急劇增加，變成海量計算，對計算機硬件要求較高[18]。為準確模擬結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)行為，必須根據(jù)結(jié)構(gòu)的主要失效行為或模式進行模型簡化，以達到準確模擬的目標[19]。非線性屈曲分析得到的承載力為整體結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲時的臨界力，當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生局部失穩(wěn)后，整體結(jié)構(gòu)還有繼續(xù)承載的能力，直到發(fā)生整體失穩(wěn)以及材料發(fā)生塑性變形為止[20]。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)簡化，即圓筒殼采用殼(Shell)單元模擬，筋條采用梁(Beam)單元模擬，殼體和筋條之間采用約束綁定在一起，這種建?？蓽蚀_有效的模擬結(jié)構(gòu)的線性剛度，但卻忽略了筋條的局部截面平動和轉(zhuǎn)動，不能準確模擬結(jié)構(gòu)的后屈曲行為[19]。由于正交加筋圓柱殼通常使用較薄的蒙皮和筋條，結(jié)構(gòu)上體現(xiàn)為板殼特性[18]。因此，若筋條也采用殼(shell)單元建模，蒙皮和筋條就構(gòu)成殼-殼(shell-shell)模型，如圖2所示。模型中蒙皮和筋條之間融合成一個整體，無需采用約束綁定在一起，只需在不同區(qū)域賦予不同厚度和屬性。采用此方法建模，可準確模擬結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)過程。

2.2 非線性顯式后屈曲分析

模型下端面固支，上端面節(jié)點剛性耦合至中心參考點，并約束除軸向位移外的其余自由度，在參考點上施加軸向位移載荷，加載總位移為20 mm，采用顯式非線性分析模擬準靜態(tài)加載。本文采用四節(jié)點殼單元對模型進行離散，該單元為四節(jié)點減縮積分單元，計算精度高，時間短。

表1討論了顯式分析給定模型對單元尺寸的依賴性，圖3給出了給定模型不同單元尺寸下顯式分析得到的結(jié)構(gòu)軸向位移-載荷曲線及計算CPU耗時。不同單元尺寸下計算所得臨界載荷存在一定差別，后屈曲路徑也各不相同。結(jié)果表明，顯式算法計算結(jié)構(gòu)臨界載荷對單元尺寸有一定的依賴。

圖1 正交加筋模型整體圖Fig.1 Diagram of stiffened cylindrical shell

圖2 殼-殼模型局部圖Fig.2 Diagram of shell-shell model

表2討論了顯式分析給定模型對加載時間的依賴性，圖4給出了顯式分析給定模型不同加載時間對臨界載荷的影響，以消除顯式分析模擬準靜態(tài)加載的動態(tài)效應(yīng)，同時給出了不同加載時間下的計算CPU耗時。不同加載時間對計算臨界載荷影響較小，增大加載時間，后屈曲路徑趨于一致。結(jié)果表明，顯式算法計算結(jié)構(gòu)臨界載荷對加載時間依賴性不強。

表1 單元尺寸依賴性計算結(jié)果Table1 Result of dependence of element size

表2 加載時間依賴性計算結(jié)果Table2 Result of dependence of loading time

圖3 不同單元尺寸下軸向位移-載荷曲線Fig.3 Load-displacement curves with varying element sizes

圖4 不同加載時間下軸向位移-載荷曲線Fig.4 Load-displacement curves with varying loading time

綜合計算成本和計算精確度，模型計算選擇單元尺寸為30 mm，加載時間為200 ms。圖5給出了顯式算法下給定模型計算應(yīng)力云圖，結(jié)構(gòu)主要在靠近加載段發(fā)生屈曲變形。圖6給出了與其相同單元尺寸下隱式弧長算法計算軸向位移-載荷曲線。顯式算法與其相同單元尺寸下隱式弧長算法計算所得屈曲臨界載荷分別為2 121.76、2 108.88 kN，表明顯式算法計算結(jié)果的可靠性。

圖5 顯式分析下結(jié)構(gòu)應(yīng)力云圖Fig.5 Structure stress nephogram under explicit analysis

圖6 顯式算法與隱式弧長算法軸向位移-載荷曲線Fig.6 Load-displacement curves under explicit analysis and arc-length method

3 方法對比

本文研究了等體積加筋柱殼結(jié)構(gòu)，改變其中某一幾何參數(shù)，如筋條截面高寬比、蒙皮厚度或加筋疏密度等，即改變結(jié)構(gòu)筋條與蒙皮質(zhì)量之比，采用非線性顯式算法，通過調(diào)試單元尺寸計算結(jié)構(gòu)的屈曲臨界載荷，考慮計算成本，選擇合適單元尺寸，并與相同單元尺寸下隱式非線性算法計算結(jié)果進行比較。

3.1 筋條截面高寬比

為研究筋條截面高寬比改變后顯式算法計算結(jié)構(gòu)屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果的差異，在結(jié)構(gòu)等體積下，保持筋條數(shù)和蒙皮厚度不變，改變筋條截面高寬比，采用顯示算法分析得到不同高寬比下臨界載荷，并與采用隱式算法計算所得結(jié)果進行比較。圖7給出了不同筋條截面高寬比兩種算法的計算結(jié)果及差異。圖7中，字母L表示結(jié)構(gòu)失穩(wěn)模態(tài)為局部失穩(wěn)；G表示結(jié)構(gòu)失穩(wěn)模態(tài)為整體失穩(wěn)。

圖7 不同截面高寬比兩種算法計算結(jié)果及差異Fig.7 Results and difference between two methods with varying section ratio

由圖7分析可知，隨著筋條截面高寬比的下降，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)模態(tài)由局部失穩(wěn)轉(zhuǎn)為整體失穩(wěn)過程中，顯式算法計算所得屈曲臨界載荷與隱式算法計算所得結(jié)果相差不大，只有高寬比降至最低時，其計算結(jié)果與隱式計算結(jié)果相差稍顯增大，但不超過5%，且產(chǎn)生差異最大處與屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變處不一致。

改變筋條截面高寬比，結(jié)構(gòu)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比不變，比值為0.916，顯式算法計算所得臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果差異很小。

3.2 蒙皮厚度

為研究蒙皮厚度改變后顯式算法計算結(jié)構(gòu)屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果的差異，在結(jié)構(gòu)等體積下，固定環(huán)筋數(shù)為9，縱筋數(shù)為60，分別研究兩種筋條截面高寬比：高寬比3和高寬比10，蒙皮厚度從1.4 mm增至2.4 mm，即筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比由0.786降至0.042過程中，采用顯式算法計算屈曲臨界載荷和采用隱式算法計算所得結(jié)果進行對比。

圖8給出了筋條截面高寬比為10情況下，隨著蒙皮厚度增加，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)模態(tài)由局部失穩(wěn)轉(zhuǎn)為整體失穩(wěn)過程中，顯式算法與隱式算法計算屈曲臨界載荷及兩種算法之間的差異。筋條截面高寬比為10情況下，當(dāng)蒙皮厚度未達到2.1 mm時，筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.2，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷相差無異，當(dāng)蒙皮厚度大于2.1 mm時，筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比小于0.2，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷出現(xiàn)了大于10%的差異，差異呈現(xiàn)先增大、后減小的趨勢，且差異的產(chǎn)生處與屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變處不一致。

圖8 高寬比為10兩種算法計算結(jié)果及差異Fig.8 Results and difference between two methods when section ratio is 10

圖9給出了筋條截面高寬比為3的情況下，隨著蒙皮厚度增加，結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)始終為整體屈曲過程中，顯式算法與隱式算法計算屈曲臨界載荷及兩種算法之間的差異。當(dāng)蒙皮厚度未達到1.8 mm時，筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷相差無異，當(dāng)蒙皮厚度大于1.8 mm時，筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比小于0.4，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷差異逐步增大，最大差異超過15%。差異也是呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢。

綜合兩種不同筋條截面高寬比結(jié)構(gòu)計算結(jié)果，結(jié)果表明，改變蒙皮厚度，當(dāng)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4時，顯式算法計算屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果幾乎一致；當(dāng)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比小于0.4時，顯式算法計算屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果存在波動性差異，且差異產(chǎn)生并非由于屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變而引起的。

圖9 高寬比為3兩種算法計算結(jié)果及差異Fig.9 Results and difference between two methods when section ratio is 3

3.3 筋條疏密程度

為研究筋條疏密程度改變后顯式算法計算結(jié)構(gòu)屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果的差異，分別研究了結(jié)構(gòu)等體積下減少環(huán)向筋條數(shù)目，減少縱向筋條數(shù)目，以及同時減少環(huán)縱向筋條數(shù)目這3種情況下，顯式算法計算屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果的比較。

3.3.1 減少環(huán)筋數(shù)目

環(huán)筋數(shù)目對結(jié)構(gòu)承載力的貢獻較小，當(dāng)環(huán)向筋數(shù)目減少，環(huán)向筋間距增大，每個筋格縱向筋長度變長，容易出現(xiàn)蒙皮和縱向筋局部失穩(wěn)的情形。為研究環(huán)向筋數(shù)目減小對顯式算法計算結(jié)構(gòu)屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果的差異，在結(jié)構(gòu)等體積下，固定縱向筋數(shù)為90根，分別研究兩種筋條截面高寬比：高寬比3和高寬比10。環(huán)筋數(shù)由9根遞減至2根，即筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比由0.567降至0.373的過程中，顯式算法計算臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果的對比。

圖10給出了筋條截面高寬比為10，隨著環(huán)筋數(shù)降低，結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)始終為局部屈曲過程中，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷及兩者之間差異。當(dāng)環(huán)筋數(shù)遞減至4根時，筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比為0.423，顯式算法計算臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果相差無異。當(dāng)環(huán)筋數(shù)降至4根以下，即筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比小于0.4時，顯式算法計算所得臨界載荷與隱式算法計算臨界載荷相差較大，最大差異超過了20%，且計算差異的產(chǎn)生處與結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變處不一致。

圖10 高寬比為10兩種算法計算結(jié)果及差異Fig.10 Results and difference between two methods when section ratio is 10

圖11給出了筋條截面高寬比為3，隨著環(huán)筋數(shù)降低，結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)由整體屈曲轉(zhuǎn)變?yōu)榫植壳^程中，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷及兩者之間差異。當(dāng)環(huán)筋數(shù)目遞減至3根時，即筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比為0.398，顯式算法計算臨界載荷與隱式算法計算臨界載荷相差無異。當(dāng)環(huán)筋數(shù)為2時，筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比為0.373，顯式算法計算結(jié)果與隱式算法計算結(jié)果相差較大，差異超過20%。

圖11 高寬比為3兩種算法計算結(jié)果及差異Fig.11 Results and difference between two methods when section ratio is 3

綜合以上兩種不同筋條截面高寬比情況，結(jié)果表明，減少環(huán)筋數(shù)，當(dāng)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4時，顯式算法計算屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果幾乎一致；當(dāng)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比小于0.4時，顯式算法計算屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果存在一定差異，且差異產(chǎn)生并非由于屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變而引起的。

3.3.2 減少縱筋數(shù)目

縱筋數(shù)目對結(jié)構(gòu)承載力貢獻較大，但當(dāng)縱筋數(shù)目減少，筋格環(huán)向筋長度變長，也容易出現(xiàn)局部失穩(wěn)。為研究縱向筋數(shù)目減小對顯式算法計算結(jié)構(gòu)屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果的差異，現(xiàn)等體積下，固定環(huán)筋數(shù)目為9根，分別研究兩種筋條截面高寬比：高寬比3和高寬比10?？v筋數(shù)由120根以每10根遞減至10根，即筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比由1.548降至0.186的過程中，顯式算法計算臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果的比較。

圖12給出了筋條截面高寬比為10，隨著縱筋數(shù)降低，結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)由整體屈曲轉(zhuǎn)變?yōu)榫植壳^程中，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷及兩者之間差異。當(dāng)縱筋數(shù)降至50根時，此時筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比為0.472，顯式算法計算臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果相差無異。當(dāng)縱筋數(shù)低于40根時，筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量小于0.4，顯式算法與隱式算法計算結(jié)果出現(xiàn)差異，差異呈現(xiàn)先增大、后減小的趨勢，差異產(chǎn)生處與屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變處不一致。

圖12 高寬比為10兩種算法計算結(jié)果及差異Fig.12 Results and difference between two methods when section ratio is 10

圖13給出了筋條截面高寬比為3，隨著縱筋數(shù)降低，結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)由整體屈曲轉(zhuǎn)變?yōu)榫植壳^程中，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷及兩者之間差異?？v筋數(shù)為50～120根時，筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4，顯式算法計算精度較高，當(dāng)縱筋數(shù)降至30根時，此時筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比為0.314，顯式算法計算結(jié)果與隱式算法計算結(jié)果存在一定差異，差異超過15%。差異也是隨著筋條數(shù)降低，呈現(xiàn)出先增加、后降低的趨勢，差異產(chǎn)生處與結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變處一致。

圖13 高寬比為3兩種算法計算結(jié)果及差異Fig.13 Results and difference between two methods when section ratio is 3

綜合以上兩種筋條截面高寬比情況，結(jié)果表明，減少縱筋數(shù)，當(dāng)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4時，顯式算法計算臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果幾乎一致；當(dāng)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比小于0.4時，顯式算法計算屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果存在波動性差異，且差異產(chǎn)生并非由于屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變而引起的。

3.3.3 減少環(huán)筋和縱筋數(shù)目

環(huán)縱筋數(shù)目同時減少，筋格尺寸增大，容易出現(xiàn)桁框內(nèi)蒙皮局部失穩(wěn)。為研究環(huán)向和縱向筋數(shù)目同時減小對顯式算法計算結(jié)構(gòu)屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果的差異，現(xiàn)等體積下環(huán)筋數(shù)目由9根遞減至2根，縱筋數(shù)由90根以8、6、6循環(huán)依次遞減至12根，即筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比由0.567降至0.081過程中，分別研究了兩種筋條截面高寬比：低高寬比3和高高寬比10，顯式算法計算結(jié)果與隱式算法計算結(jié)果的對比。

圖14給出了筋條截面高寬比為10，隨著環(huán)縱筋數(shù)同時降低，結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)始終為局部屈曲過程中，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷及兩者之間差異。當(dāng)環(huán)筋數(shù)大于5根，縱筋數(shù)大于32根，顯式算法計算臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果相差無異；當(dāng)環(huán)筋數(shù)降至5根，縱筋數(shù)降至32根時，即筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比為0.243，此時顯式算法與隱式算法出現(xiàn)很大差異，結(jié)果差異近20%。隨著環(huán)縱筋數(shù)目的繼續(xù)減少，顯式算法與隱式算法計算差異呈現(xiàn)先降低后增長的趨勢。

圖15給出了筋條截面高寬比為3，隨著環(huán)縱筋數(shù)同時降低，結(jié)構(gòu)屈曲模態(tài)由整體屈曲轉(zhuǎn)變?yōu)榫植壳^程中，顯式算法與隱式算法計算臨界載荷及兩者之間差異。當(dāng)環(huán)筋數(shù)大于7根，縱筋數(shù)大于46根，顯式算法計算臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果相差無異，此時筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比為0.386，顯式算法計算結(jié)果與隱式算法計算結(jié)果相差近3%。隨著筋條數(shù)的逐步減少，差異呈現(xiàn)先增大后減少再增大的趨勢，最大差異接近20%，且差異產(chǎn)生處與屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變處一致。

圖14 高寬比為10兩種算法計算結(jié)果及差異Fig.14 Results and difference between two methods when section ratio is 10

圖15 高寬比為3兩種算法計算結(jié)果及差異Fig.15 Results and difference between two methods when section ratio is 3

綜合以上兩種筋條截面高寬比情況，結(jié)果表明，同時減少環(huán)縱筋數(shù)，當(dāng)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4時，顯式算法計算臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果幾乎一致；當(dāng)筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比小于0.4時，顯式算法計算屈曲臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果存在波動性差異，且差異產(chǎn)生并非由于屈曲模態(tài)轉(zhuǎn)變而引起的。

4 結(jié)論

基于非線性顯式算法，以正交加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)為例，采用殼-殼單元對加筋圓柱結(jié)構(gòu)簡化建模，分析加筋柱殼結(jié)構(gòu)后屈曲行為。針對加筋柱殼失穩(wěn)極限承載力，研究了針對給定正交加筋殼結(jié)構(gòu)，顯式非線性算法對單元尺寸以及加載時間的依賴性。計算結(jié)果表明：對于給定結(jié)構(gòu)，顯式非線性算法對單元尺寸有一定的依賴性，對加載時間依賴性不強。比較了模型結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)，如筋條截面高寬比、蒙皮厚度、筋條疏密程度等改變對計算其臨界載荷與隱式算法計算結(jié)果差異的影響。計算結(jié)果表明，對于筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4的結(jié)構(gòu)，顯式非線性算法計算所得臨界載荷與隱式非線性算法計算臨界載荷趨于一致；對于筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比小于0.4的結(jié)構(gòu)，顯式非線性算法與隱式非線性算法計算結(jié)果存在一個波動性的差異，且波動性差異并非由于結(jié)構(gòu)屈曲失穩(wěn)模態(tài)轉(zhuǎn)變而產(chǎn)生。顯式非線性算法能夠快速高效求解筋條質(zhì)量與蒙皮質(zhì)量之比大于0.4的加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)后屈曲臨界載荷。

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(編輯：薛永利)

Comparative study on post-buckling analysis method of thin-walled stiffened cylindrical shell

LI Qing-ya1,2,TAN Fu-ying1,2,QIAO Ling1,2DONG E-liang1,2,FEI Qing-guo1,2

(1.Department of Engineering Mechanics,Southeast University, Nanjing 210096,China)(2.Jiangsu Key Laboratory of Engineering Mechanics,Nanjing 210096,China)

The post-buckling behavior of thin-walled stiffened cylindrical shell structures under axial compression was studied based on FEA by nonlinear explicit dynamic method,and the critical buckling load was compared with nonlinear implicit method when changing the structural geometric parameters,such as cylindrical shell ribs sectional aspect ratio,skin thickness,and the degree of density.The results show that: the mass ratio of the ribs and the skin is greater than 0.4,the calculation results between the explicit and implicit methods are consistent.When the mass ratio of the ribs and the skin is less than 0.4,the calculation results between the explicit and implicit methods present a volatility differences.Explicit nonlinear analysis is a fast and efficient analysis method for the post-buckling behavior of thin-walled stiffened cylindrical shell structures when the mass ratio of the ribs and the skin is greater than 0.4.

stiffened cylindrical shell;post-buckling;explicit dynamic method

2014-04-17；

：2014-06-29。

國家自然科學(xué)基金(10902024；11202051)；教育部博士學(xué)科點基金(2013009212 0039)；教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃(NCET-11-0086)。

李慶亞(1990—)，男，碩士生，研究方向為運載火箭主承力筒后屈曲。E-mail：kingyalee@163.com

董萼良。E-mail：eldong@seu.edu.cn

V414

A

1006-2793(2015)04-0541-08

10.7673/j.issn.1006-2793.2015.04.018