李 標(biāo)，李曉燁

（中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 金融學(xué)院，湖北 武漢430073）

一、引言

國(guó)債收益率曲線不僅可為投資者提供投資的決策依據(jù)，也是貨幣政策和實(shí)體經(jīng)濟(jì)之間、基準(zhǔn)利率和市場(chǎng)利率之間的橋梁，為政府發(fā)行國(guó)債和實(shí)施政策提供依據(jù)。在利率市場(chǎng)化不斷推進(jìn)的條件下，國(guó)債收益率曲線的重要性不言而喻。黨的十八屆三中全會(huì)中也明確提出了“需要不斷健全反映市場(chǎng)供求關(guān)系的國(guó)債收益率曲線”，同時(shí)該內(nèi)容也是金融學(xué)專(zhuān)業(yè)核心課程《固定收益證券》教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。讓學(xué)生掌握收益率曲線的擬合方法更顯得尤為重要。

國(guó)債收益率曲線在過(guò)去的半個(gè)多世紀(jì)中，理論和實(shí)踐都有著突破性的發(fā)展，有不少的國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)收益率曲線進(jìn)行了研究。Nelson和Siegel（1987）提出了一種在表達(dá)式上與微分方程解非常相似，描述利率動(dòng)態(tài)變化，該收益率曲線模型具有簡(jiǎn)單靈活實(shí)用的特點(diǎn)。朱世武和陳健恒（2003）使用Nels on-Siegel-Svensson模型利用交易所債券數(shù)據(jù)成功估計(jì)了利率期限結(jié)構(gòu)。陳芳菲和沈長(zhǎng)征(2006)使用Nelson-Siegel模型提取了水平因素、斜率因素和曲度因素并擬合國(guó)債收益率曲線，進(jìn)而又對(duì)收益率曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)。郭濤等（2008）根據(jù)國(guó)債交易數(shù)據(jù)用NS模型估計(jì)收益率曲線，并分析了模型的相關(guān)經(jīng)濟(jì)學(xué)含義。胡志強(qiáng)等(2009)用NS模型擬合了國(guó)債收益率曲線，預(yù)測(cè)能力更強(qiáng)。陳艷等(2013)采用MATLAB擬合中國(guó)的利率期限結(jié)構(gòu)曲線，對(duì)比了兩個(gè)參數(shù)精度和穩(wěn)定性。

在當(dāng)前環(huán)境下，金融產(chǎn)品層出不窮，如何科學(xué)地研究固定收益類(lèi)證券類(lèi)產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)收益顯得至關(guān)重要且越來(lái)越受到社會(huì)各界的重視。MATLAB語(yǔ)言由于具有編寫(xiě)簡(jiǎn)單、編程效率高、易學(xué)易懂等特點(diǎn)，可運(yùn)用于定義國(guó)債的特征，滿(mǎn)足不同用戶(hù)計(jì)算需求，具有一定的實(shí)際意義。所以本文以案例教學(xué)的方式呈現(xiàn)matlab如何估計(jì)和擬合國(guó)債收益率曲線。本文第一部分為引言，第二部分介紹收益率曲線的理論和模型，第三部分基于MATLAB的案例部分，第四部分為結(jié)論。

二、國(guó)債收益率曲線的研究方法

研究擬合國(guó)家債收益率曲線的方法多種多樣，主要是依據(jù)交易所或銀行間市場(chǎng)的歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，提取歷史數(shù)據(jù)的債券信息，并對(duì)曲線擬合和預(yù)測(cè)。在構(gòu)造國(guó)債收益率曲線中，本文主要介紹直接方法、Nelson-Siegel方法以及多樣式樣條函數(shù)法。

（一）直接法

所謂直接方法，就是直接利用當(dāng)前不同到期時(shí)間國(guó)債價(jià)格推導(dǎo)出到期收益率，并將計(jì)算所得的收益率進(jìn)行線性聯(lián)結(jié)、繪制出相應(yīng)的收益率曲線圖。這是一種較為簡(jiǎn)單直觀的方法，假定債券各期的利息固定不變。

根據(jù)最基本的國(guó)債定價(jià)模型：

其中P為債券價(jià)格，C為各期利息，F(xiàn)為債券面值，y為到期收益率，n為債券年限。

（二）Nelson-Siegel模型

Ne1son-Siegel模型是NelsonC.和SiegelA.(1987)提出的一個(gè)參數(shù)擬合模型,該模型通過(guò)建立遠(yuǎn)期瞬時(shí)利率的函數(shù),從而推導(dǎo)出即期利率的函數(shù)形式。與樣條模型不同的是，它是對(duì)貼現(xiàn)函數(shù)的整條模擬,且需要估計(jì)的參數(shù)相對(duì)較少。它假設(shè)瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率函數(shù)為：

其中f（0，t）為即期計(jì)算未來(lái)t時(shí)點(diǎn)的瞬間遠(yuǎn)期利率，β0、β1、β2以及τ1是待估計(jì)的參數(shù)。

根據(jù) ，其中 是表示剩余到期限為t的連續(xù)復(fù)合利率，且t趨近于零時(shí)相當(dāng)于即期利率。

即期利率函數(shù)形式為：

其中β0是當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí),函數(shù)的極限，故為長(zhǎng)期因子，稱(chēng)做水平因子；β1是t趨于0時(shí),極限趨向于1，故為斜率因子；β2為曲度因子；τ1是比例參數(shù),被解釋為短期利率向長(zhǎng)期利率回轉(zhuǎn)的強(qiáng)度,可看作一個(gè)常數(shù)項(xiàng)。這個(gè)方程能夠產(chǎn)生大家所熟悉的遠(yuǎn)期利率曲線的各種形狀,如單調(diào)型、水平和倒置型曲線。同時(shí),經(jīng)過(guò)后來(lái)學(xué)者的研究發(fā)現(xiàn),該模型的參數(shù)都具有很明顯的經(jīng)濟(jì)含義,使得模型本身容易被理解。

（三）Hermite插值模型

Hermite方法是數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域里面函數(shù)逼近的一種重要方法,與前述樣條模型和NS及其擴(kuò)展模型不一樣,Hermite模型并非曲線擬合模型,它只是一種插值技術(shù)。其構(gòu)建利率期限結(jié)構(gòu)的思路為:對(duì)解算出已知年期的即期利率,利用Hermite插值模型進(jìn)行插值,得到相應(yīng)的整條即期利率曲線。

Hermite插值模型具體描述如下：

Hermite插值法的到期限收益率曲線能夠通過(guò)所有的樣本點(diǎn),對(duì)于收益率曲線的各種形態(tài),該模型都能很好的予以反映。但該方法所需樣本點(diǎn)需經(jīng)過(guò)專(zhuān)門(mén)挑選,且對(duì)樣本點(diǎn)的剩余期限有較嚴(yán)格的要求。對(duì)同一剩余期限,只能有一個(gè)樣本點(diǎn)。所以,該方法的實(shí)施需要一個(gè)專(zhuān)門(mén)的經(jīng)驗(yàn)豐富的團(tuán)隊(duì)來(lái)進(jìn)行,否則很容易出現(xiàn)偏差。目前,中國(guó)債券登記結(jié)算公司就是采用該法進(jìn)行收益率曲線的估計(jì)。

三、基于Matlab的教學(xué)案例

（一）數(shù)據(jù)選擇

我國(guó)銀行間債券市場(chǎng)在1996年成立后，我國(guó)債券市場(chǎng)分割成為銀行間債券市場(chǎng)和交易所債券市場(chǎng)兩部分。與交易所債券市場(chǎng)相比，前者投資主體主要是機(jī)構(gòu)投資者（商業(yè)銀行、保險(xiǎn)公司、基金、證券公司、財(cái)務(wù)公司等），并且目前債券市場(chǎng)上最大的投資者商業(yè)銀行只投資于銀行間債券市場(chǎng)，同時(shí)市場(chǎng)上投資者的參與目的趨于資產(chǎn)配置而非資本投機(jī)，價(jià)格發(fā)現(xiàn)功能更強(qiáng)。更為重要的是，前者市場(chǎng)規(guī)模遠(yuǎn)大于后者。

所以選取銀行間債券市場(chǎng)的國(guó)債債券數(shù)據(jù)，以2014年5月15日為基準(zhǔn)。

（二）MATLAB估計(jì)收益率曲線

本小節(jié)會(huì)具體的介紹如何使用MATLAB進(jìn)行收益率曲線的估計(jì)，將以案例教學(xué)的方式與讀者互動(dòng)。在用MATLAB估計(jì)收益率曲線之前需要對(duì)一些變量進(jìn)行闡述，Settle為交割日；Maturity為到期日；CleanPrice為凈價(jià)格；CouponRate為利率；Period為付息次數(shù)。

表1：債券信息

1.NS模型的實(shí)現(xiàn)

在MATLAB命令窗口輸入Settle=repmat（datenum（'date'），[N 1]）；date表示結(jié)算日，N表示債券個(gè)數(shù)。

接著輸入：Maturity=[datenum（'date1'）;datenum（'date2'）；datenum （'date3'）；datenum （'date4'）；...datenum（'dateN'）；]；date1到dateN分別表示N個(gè)債券的到期日，也就是它們的剩余期限。

再把債券的價(jià)格和利率導(dǎo)入，輸入如下命令：CleanPrice=[100.1；100.1；100.8；96.6；103.3；96.3]；CouponRate=[0.0400；0.0425；0.0450；0.0400；0.0500；0.0425]；

在將債券包含的信息集合在一起，輸入如下命令：Instruments=[Settle Maturity CleanPrice CouponRate]；

為了做圖的方便，需要把的幾個(gè)重要的節(jié)點(diǎn)找到，也就是按到期日從小到大排列，輸入命令：PlottingPoints=datenum（'date1'）:180:datenum（'dateN'）；

用命令bndyield計(jì)算收益率：Yield=bndyield（CleanPrice，CouponRate，Settle，Maturity）；

用IRFunctionCurve.fitNelsonSiegel命令即可估計(jì)NS模型的收益率：NSModel=IRFunctionCurve.fitNelsonSiegel（'Zero',datenum（'date'），Instruments）；

最后作圖：plot（PlottingPoints,NSModel.getParYields（PlottingPoints），'r'）；datetick（'x'）

2.樣條函數(shù)的實(shí)現(xiàn)

用1中方法得到債券的信息后，用IRFunctionCurve.fitSmoothingSpline命令估計(jì)樣條函數(shù)的信息：

SmoothingModel=IRFunctionCurve.fitSmoothingSpline('Forward'，datenum（'date'），...Instruments，@（t）1000）；

最后作圖即可：plot（PlottingPoints,SmoothingModel.getParYields（PlottingPoints），'b'）；datetick（'x'）

（三）收益率曲線的擬合

本文采用第1節(jié)的數(shù)據(jù)，通過(guò)第2節(jié)MATLAB命令先后用NS模型和Hermite樣條函數(shù)對(duì)收益率曲線進(jìn)行擬合，即可得出模擬圖。

為了更好的研究它們的擬合程度，本文對(duì)它們的擬合情況與實(shí)際的收益率進(jìn)行對(duì)比，如下圖1所示：

圖1：擬合效果對(duì)比圖

通過(guò)圖1可以看出NS模型和樣條函數(shù)擬合的方法還是有一定的差別，總體來(lái)看NS模型擬合的效果較好，也有部分債券的收益率擬合的不是很滿(mǎn)意，還需要進(jìn)一步研究

四、結(jié)論

本文通過(guò)實(shí)際的案例操作，實(shí)現(xiàn)國(guó)債收益率曲線的構(gòu)建，進(jìn)一步的研究我國(guó)國(guó)債的利率期限結(jié)構(gòu)的變化和影響。通過(guò)研究不同到期期限的銀行間國(guó)債收益率基本不難看出，隨著到期期限的逐漸增加，銀行間國(guó)債的收益率是逐漸增加的，即收益率曲線總體呈向上傾斜狀態(tài)，說(shuō)明利率期限結(jié)構(gòu)流通性偏好理論適用于我國(guó)銀行間國(guó)債市場(chǎng)。同時(shí)讓學(xué)生可以通俗易懂的理解《固定收益證券》這門(mén)專(zhuān)業(yè)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，更加生動(dòng)的展示給學(xué)生復(fù)雜的過(guò)程和結(jié)果。

本案例教學(xué)的還可進(jìn)一步增加其他函數(shù)形式或者模型對(duì)國(guó)債收益率曲線進(jìn)行構(gòu)建，更加豐富其教學(xué)的內(nèi)容。

（注：本文系中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革項(xiàng)目“國(guó)債收益率曲線構(gòu)建與預(yù)期理論的實(shí)證檢驗(yàn)”，項(xiàng)目編號(hào)：2013066）

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