◎閩江學(xué)院附屬中學(xué) 李 霞

初高中函數(shù)銜接教學(xué)問(wèn)題探究二次函數(shù)課“代數(shù)說(shuō)理”的教學(xué)嘗試

◎閩江學(xué)院附屬中學(xué) 李 霞

在二次函數(shù)課“代數(shù)說(shuō)理”的教學(xué)中，嘗試引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)的研究方法從圖象法逐步過(guò)渡到解析法，實(shí)現(xiàn)從“變化過(guò)程”函數(shù)認(rèn)知到“對(duì)應(yīng)關(guān)系”函數(shù)認(rèn)知的發(fā)展，這是初高中函數(shù)銜接教學(xué)的一個(gè)有效途徑．

函數(shù)教學(xué)；銜接；解析式；邏輯思維

函數(shù)概念是數(shù)學(xué)核心概念中最重要的概念之一，從數(shù)學(xué)史上看函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從集合、對(duì)應(yīng)與映射的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想.19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼提出如下函數(shù)定義：如果某一個(gè)量依賴于另一個(gè)量，使后一個(gè)量變化時(shí)，前一個(gè)量也隨著變化，那么就把前一個(gè)量叫做后一個(gè)量的函數(shù).這個(gè)定義已揭示了函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，即兩個(gè)變量在變化過(guò)程中相互依賴的關(guān)系.

從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算術(shù)到方程再到函數(shù)的過(guò)程.算術(shù)研究確定的常數(shù)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.方程研究確定的常數(shù)和未知的常數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.函數(shù)研究變量之間的數(shù)量關(guān)系.函數(shù)為研究運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)量之間的依存、對(duì)應(yīng)關(guān)系和構(gòu)建模型帶來(lái)了方便，從而能夠解決比較復(fù)雜的問(wèn)題.因此曾國(guó)光老師在《中學(xué)生函數(shù)概念認(rèn)知發(fā)展研究》一文中指出，學(xué)生函數(shù)概念的認(rèn)知發(fā)展有三個(gè)階段：作為“算式”的函數(shù)；作為“變化過(guò)程”的函數(shù)；作為“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的函數(shù).

在初中的學(xué)習(xí)中，學(xué)生研究函數(shù)的方法以觀察圖象變化為主，重視數(shù)形結(jié)合的研究方法，理解函數(shù)三種表示形式的作用：如解析法具有計(jì)算和推理的功能；圖像法可以連續(xù)地看到函數(shù)的具體變化過(guò)程和趨勢(shì)，便于圖形自身的比較、圖形與圖形之間的比較；列表法要讓學(xué)生通過(guò)觀察，產(chǎn)生猜想等.要讓學(xué)生在思維中構(gòu)建這樣的一個(gè)過(guò)程，能用解析法、圖像法、列表法來(lái)刻畫函數(shù)隨著自變量變化而變的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程.

結(jié)合學(xué)段過(guò)渡的需要，在初三后期學(xué)習(xí)函數(shù)圖像時(shí)，教師不妨從觀察函數(shù)圖象入手，適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)推導(dǎo)進(jìn)行代數(shù)說(shuō)理，如在學(xué)習(xí)內(nèi)容上從前面的由形到數(shù)，以形助數(shù)的圖象法逐步向解析式轉(zhuǎn)移，從解析式上對(duì)函數(shù)的最值、對(duì)稱性、增減性等特征進(jìn)行說(shuō)理，為訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)提供過(guò)程性的經(jīng)歷.為初高中的函數(shù)教學(xué)銜接尋找策略.

本文嘗試著通過(guò)《二次函數(shù)的y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)》一課的教學(xué)設(shè)計(jì)，試圖引導(dǎo)學(xué)生將研究方法從圖象逐步向解析式轉(zhuǎn)移，對(duì)數(shù)形結(jié)合的方法順勢(shì)自然地理解，并加以靈活運(yùn)用，發(fā)揮從數(shù)和形兩個(gè)方面共同分析解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì).突出兩者間的轉(zhuǎn)化對(duì)分析解決問(wèn)題的特殊作用.

一、教學(xué)目標(biāo)突出“代數(shù)說(shuō)理”

《二次函數(shù)》一章編排于九年級(jí)下冊(cè)，從內(nèi)容上看，學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了《一次函數(shù)》《反比例函數(shù)》的內(nèi)容，此后，在《高中數(shù)學(xué)必修1》的課程中，學(xué)生將繼續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等基本初等函數(shù)的性質(zhì).

從方法上看，在研究一次函數(shù)和反比例函數(shù)時(shí)，教材側(cè)重于通過(guò)觀察函數(shù)圖象來(lái)直觀了解函數(shù)的性質(zhì)，而進(jìn)入高中后，教材則側(cè)重于通過(guò)分析解析式來(lái)研究函數(shù)性質(zhì).在《反比例函數(shù)》教學(xué)中，筆者就試圖透過(guò)反比例函數(shù)的解析式的右邊，啟發(fā)學(xué)生從反比例函數(shù)解析式的形態(tài)，即分式的特點(diǎn)去研究圖象的性質(zhì)：如從分式的條件關(guān)注定義域和值域；從分式的運(yùn)算特點(diǎn)，關(guān)注變化規(guī)律（增減性）等.

《二次函數(shù)的y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)》這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生明確函數(shù)是描述自然界中量的依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是對(duì)問(wèn)題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種動(dòng)態(tài)刻畫.在進(jìn)一步掌握“數(shù)形結(jié)合”學(xué)習(xí)的一般策略前提下，試圖從最簡(jiǎn)函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2入手分析，通過(guò)自變量x的變化來(lái)探究因變量y的變化.具體學(xué)習(xí)目標(biāo)如下：

（1）不畫圖能說(shuō)出畫出函數(shù)y=ax2的圖象性質(zhì)；

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，均勻設(shè)計(jì)法實(shí)驗(yàn)得到的ITAE相較于工程整定法更小，穩(wěn)態(tài)性能較好。輸出波形圖表明，均勻設(shè)計(jì)法得到的輸出曲線與工程整定法相比，超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間均有降低，系統(tǒng)的暫態(tài)性能有所提高。

（2）能明白y=ax2+bx+c化成y=a（x-h）2+k的意義；

（3）不畫圖能得出y=ax2+bx+c圖象的性質(zhì).

二、教學(xué)過(guò)程呈現(xiàn)“代數(shù)說(shuō)理”

1.從非負(fù)性的性質(zhì)確定函數(shù)定義域和值域

問(wèn)題1在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=x2，y=x2+3，y= x2-3的圖象，這三個(gè)圖像位置如何變化？

教師用幾何畫板演示圖像，建立形的感知.以動(dòng)畫的形式體現(xiàn)拋物線在同一坐標(biāo)系中的分布及位置變化過(guò)程，幫助學(xué)生建立平移轉(zhuǎn)換的思想.

問(wèn)題2函數(shù)y=x2圖象有那些性質(zhì)？拋物線解析式右邊的代數(shù)式是什么數(shù)？

追問(wèn)1：對(duì)于函數(shù)y=x2，當(dāng)自變量x取遍所有實(shí)數(shù)的時(shí)候，因變量y也是取遍所有的實(shí)數(shù)嗎？如不是，那個(gè)范圍是什么呢？

追問(wèn)2：在x2中x變化時(shí)，x2如何變化？

在討論函數(shù)最值的時(shí)候，不讓學(xué)生畫圖，而是讓學(xué)生從函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2入手，分析拋物線解析式右邊的代數(shù)式是什么數(shù)？判斷出右邊代數(shù)式是非負(fù)數(shù).而后從非負(fù)數(shù)的性質(zhì)就能判斷出它的最值即值域.再問(wèn)當(dāng)自變量取遍所有實(shí)數(shù)的時(shí)候，因變量也是取遍所有的實(shí)數(shù)嗎？如不是，那個(gè)范圍是什么呢？通過(guò)這樣的一些問(wèn)題的思考，也就非常自然地討論了函數(shù)的定義域和值域問(wèn)題.

類比于y=x2去討論y=ax2+c及y=a（x+c）2+k、y= a（x+c）2-k（a≠0）的情形.這就是利用了完全平方的非負(fù)性，來(lái)確定函數(shù)的最值和取得最值的條件，也就確定函數(shù)定義域和值域.

2.從平方根的概念尋找函數(shù)的對(duì)稱軸

尋找函數(shù)的對(duì)稱軸其實(shí)就是討論函數(shù)y=x2的奇偶性，為避開奇偶性這個(gè)詞，我們問(wèn)學(xué)生，函數(shù)y=x2的自變量在什么情況下函數(shù)值相等?讓學(xué)生從函數(shù)的解析式的特點(diǎn)去分析，函數(shù)y=x2的自變量與因變量之間的關(guān)系.函數(shù)其本質(zhì)是量的依存關(guān)系，它的性質(zhì)是由解析式本身所反映出來(lái)的兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系而確定，即x是y的平方根，而一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根互為相反數(shù).互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)到原點(diǎn)距離相等，反過(guò)來(lái)關(guān)于直線x=0對(duì)稱的兩m、n，其坐標(biāo)應(yīng)該滿足從而用數(shù)析形，得出函數(shù)直線x=0是y=x2的圖象的對(duì)稱軸.

類比函數(shù)y=x2奇偶性性質(zhì)的研究，啟發(fā)學(xué)生從函數(shù)y=a（x+2）2-3與y=x2相似的結(jié)構(gòu)上去尋找函數(shù)最值時(shí)自變量的取值.再引導(dǎo)學(xué)生當(dāng)x+2取互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等.即自變量x取關(guān)于-2為中點(diǎn)的兩個(gè)自變量的時(shí)候，函數(shù)值相等.在x軸上（一維空間）x取到-2距離相等的點(diǎn)能使函數(shù)值相等.二維上存在m、n兩點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足ym=yn.則直線x=-2就是函數(shù)y= 2（x+2）2-3=2x2+8x+5的圖象的對(duì)稱軸.從而從函數(shù)的最簡(jiǎn)式到一般式都能用函數(shù)的解析式來(lái)求出它的對(duì)稱軸.

3.從自變量的變化發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性

從函數(shù)的奇偶性，已經(jīng)得出函數(shù)y=x2的圖象是關(guān)于直線x=0對(duì)稱的.對(duì)于函數(shù)y=x2單調(diào)性，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自變量x≤0時(shí)，x由小到大時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大.x＞0時(shí)，x越大函數(shù)值越大，即y隨x的增大而增大.

同樣對(duì)于y=2（x+2）2，如果（x+2）2越大，y的值越大.因此，當(dāng)（x+2）≤0即x≤-2時(shí)，x越小函數(shù)值越大，即y隨x的減小而增大；當(dāng)（x+2）＞0即x＞-2時(shí)，x越大函數(shù)值越大，即y隨x的增大而增大.類似推出函數(shù)y=2（x+2）2-3=2x2+8x+5的單調(diào)性.

三、通過(guò)“代數(shù)說(shuō)理”理解配方的意義

問(wèn)題1求出二次函數(shù)y=2x2+8x+5開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).如何將y=2x2+8x+5的右邊式子配方？

讓學(xué)生去體驗(yàn)直接從函數(shù)解析式y(tǒng)=2x2+8x+5去研究函數(shù)的性質(zhì)不是那么容易，原因在于解析式y(tǒng)=2x2+ 8x+5中的x出現(xiàn)兩次，x的變化如何影響y的變化不易看出，啟發(fā)學(xué)生必須將x變成只出現(xiàn)一次，而配方的結(jié)構(gòu)式中x只出現(xiàn)一次.這樣找準(zhǔn)化簡(jiǎn)的方向和方法，從而讓學(xué)生明白配方的意義.對(duì)于配方的變形運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生回憶在一元二次方程的解法中，如何用配方方法解方程？方程的左邊代數(shù)式與函數(shù)解析式的右邊表達(dá)的代數(shù)式如何聯(lián)系？

函數(shù)之所以成為初中代數(shù)的核心課程內(nèi)容，一是源于函數(shù)本身的研究“變化過(guò)程中變量之間關(guān)系”的特點(diǎn)，二是函數(shù)教學(xué)是初中代數(shù)課程內(nèi)容教學(xué)的重要脈絡(luò).如從講授一維空間（數(shù)軸）到二維空間（平面直角坐標(biāo)系）的變化；由列代數(shù)式發(fā)展為求函數(shù)的解析式；由方程發(fā)展為函數(shù)；由幾何圖形發(fā)展為函數(shù)的圖象.最重要的是函數(shù)教學(xué)中所蘊(yùn)含的建模、方程、變量等思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)必須關(guān)注的核心內(nèi)容.函數(shù)在某個(gè)特定自變量時(shí)的函數(shù)可視為求取代數(shù)式的求值問(wèn)題，函數(shù)在某個(gè)特定函數(shù)值自變量時(shí)y=0的情況可看成相應(yīng)的方程，函數(shù)在某個(gè)特定函數(shù)值范圍的情況可以看成是相應(yīng)的不等式組.

初中學(xué)生雖然可以從事抽象邏輯思維活動(dòng)，但在很大程度上，他們?nèi)匀恍枰蕾嚲唧w形象地經(jīng)驗(yàn)材料來(lái)理解抽象的邏輯關(guān)系.函數(shù)的學(xué)習(xí)是促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式發(fā)生重大轉(zhuǎn)折的好時(shí)期，因此初中老師應(yīng)該有意識(shí)多引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行以上的思維訓(xùn)練.

賈丕珠教授在《函數(shù)學(xué)習(xí)中的六個(gè)認(rèn)知層次》一文中指出，函數(shù)教學(xué)中的知識(shí)構(gòu)建需經(jīng)歷：變量的認(rèn)識(shí)；關(guān)系的理解；“對(duì)應(yīng)”的掌握.初三學(xué)生介于初中和高中學(xué)段之間，如何引導(dǎo)學(xué)生思維從算式運(yùn)算轉(zhuǎn)向變量關(guān)系、從純粹的數(shù)（式）轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合的相得益彰，是我們老師教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題.

（責(zé)任編輯：王欽敏）