◎福建省福清第一中學(xué) 鄭 琦

談數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中的題后反思

◎福建省福清第一中學(xué) 鄭 琦

在數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教學(xué)中，需要進行即時性反思和階段性反思.反思主要包括：思路解法的反思，知識點的反思，思維邏輯和解題規(guī)范的反思，計算基本功和技巧的反思，數(shù)學(xué)思想方法的反思，變式的反思，專題的反思，出題者命題意圖及高考地位的反思．

及時性反思；階段性反思；數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中的題后反思，是指學(xué)生對數(shù)學(xué)解題思維過程進行即時性和階段性的回顧、比較、分析和檢查.第一輪復(fù)習(xí)應(yīng)強化典型例題思路解法的反思，知識點的反思，思維邏輯嚴(yán)密性和解題規(guī)范化的反思，計算基本功技巧和驗證的反思，數(shù)學(xué)思想方法的反思以及變式的反思；第二輪則強化專題的反思，出題者命題意圖及高考地位的反思.

試題2.有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式，并求這個函數(shù)的定義域.

一、思路解法的反思

一題多解是運用聯(lián)系、轉(zhuǎn)化的思維方式，根據(jù)觀察題目角度的不同，解題思維方式的不同和解題過程局部的變更，選擇不同轉(zhuǎn)化依據(jù)和轉(zhuǎn)化途徑解決同一數(shù)學(xué)問題.學(xué)生對思路解法進行反思，從而才能在高考中揚長避短，選擇知識點把握度較高和失分點較低的解題思路，提高解題穩(wěn)定性和得分率.下以試題1為例.

1.對解題的通性通法進行反思

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（2，y2），N為EF的中點,則下面證明直線AN.CN的斜率相等（A.N.C共線），可得直線AC過點N.由直線AB的方程y=k（x-1）（斜率不存在時極易證明）及斜率公式，有，通分后分子：3（x1+x2）-2x1x2-4①.將直線AB方程與橢圓方程聯(lián)立消y得:（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，由韋達定理得:x1+將上述兩個式子代入式子①，可驗證其為零.本思路將初中韋達定理銜接入高中階段性知識點中，這正是新課改所倡導(dǎo)的要求教師和學(xué)生做好初高中知識點的銜接工作.這個思路更多涉及解題的通性通法，涉及考試大綱最基本的知識點、數(shù)學(xué)思想方法及運算基本功技巧等，體現(xiàn)了命題者主要意圖.

2.對計算量最大的思路進行反思

3.對知識點涉及量最多的思路進行反思

4.知識含量最少的思路

設(shè)點B（xB+yB），由橢圓方程可得到，且知C（2+yB），依題意有解得點；將點A1代入橢圓方程，且.經(jīng)驗證.故直線lNC與lBF交點就是點A，即知AC過EF的中點.可見在不同復(fù)習(xí)輪次的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中教師和學(xué)生應(yīng)該把重點放在數(shù)學(xué)證明的實質(zhì)和命題結(jié)構(gòu)上.

二、知識點的反思

學(xué)生對所學(xué)知識點的自主整理能力較差，知識系統(tǒng)性較弱，解題時“死卡”現(xiàn)象普遍存在，對題中所涉及的某個知識點很模糊，就無法解題.所以要將題中所涉及的知識點根據(jù)考綱要求進行分層羅列，對于同一個或多個知識點，可選擇難度系數(shù)不同的題目加以鞏固，從解題的突破點和錯誤思路（錯在哪個知識點或計算步驟）的回放兩方面強化知識點在解題中的重要角色——突破點和失分點，尤其要讓學(xué)生專門進行“嘗試錯誤”的反思活動，比如直線斜率不存在，基本不等式等號不成立，函數(shù)單調(diào)區(qū)間在定義域外等常見解題誤區(qū)，引起學(xué)生知錯、改錯、防錯的良性反應(yīng).試題1考查韋達定理，橢圓第一定義，直線方程，焦半徑，離心率和斜率公式.試題2考查函數(shù)定義域，基本不等式，函數(shù)單調(diào)性和最值.

三、思維邏輯和解題規(guī)范的反思

學(xué)生往往易犯“對而不全”的解題通病，要加強題后思維邏輯嚴(yán)密性和解題規(guī)范化的訓(xùn)練，避免出現(xiàn)關(guān)鍵步失分，表述不簡捷和出現(xiàn)未說明的字母，向量沒箭頭等解題不規(guī)范通病.

四、計算基本功技巧和驗證的反思

在考試中學(xué)生計算基本功和技巧的不扎實造成解題感覺“很順”，但實質(zhì)上全盤皆失。比如試題1中的斜率值或韋達定理出錯了，盡管后面解題思路框架正確，但數(shù)據(jù)是錯的，導(dǎo)致全盤皆失.這點“算功”在高考選擇和填空題中尤為重要.所以高考復(fù)習(xí)題后反思要強化看似簡單的配方、通分、移項、因式分解、解方程不等式（組）等計算基本功和配湊、分離變量、換元法及整體法等計算基本常用技巧，注重含字母問題的計算驗證,比如導(dǎo)函數(shù)方程的根不一定是極值點，做到步步為營，避免出現(xiàn)漏解多解.

五、數(shù)學(xué)思想方法的反思

解題后要反思題中滲透的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)綜合運用能力.中學(xué)數(shù)學(xué)基本思想主要有：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想、消元降次思想、等價轉(zhuǎn)化思想、集合與對應(yīng)思想以及公理化等思想；基本方法如換元法，待定系數(shù)法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、配方法以及觀察、分析、歸納與演繹、綜合等方法。試題1中要注意直線斜率不存在與存在情況的分類討論.

六、變式的反思

復(fù)習(xí)中教師應(yīng)指導(dǎo)與提倡學(xué)生自覺對所解習(xí)題盡量作變式與引申探索研究，變式的反思可分為變式結(jié)論的反思、變式條件的反思以及變式研究對象的反思.

試題2變式1：問x為何值時，體積V達到最大值？

變式2：有一塊邊長為2a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的長方形盒子，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過常數(shù)t.（1）寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式，并求這個函數(shù)的定義域.（2）x取何值時，容積V有最大值?

變式3：有一塊邊長為2，寬為1的矩形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的正方形，然后折成一個無蓋的長方形盒子，則x取何值時，容積V有最大值?

七、專題的反思

學(xué)生可以根據(jù)自身的知識水平在教師的指導(dǎo)下進行題后篩選和分類，進行小專題和大專題的總結(jié)，從而才能在考試中提高“舊題”的解題速度和穩(wěn)定性，為解決“新題”做好時間和解法上的充分準(zhǔn)備.比如高考中的恒成立問題g（x，a）≥0，g（x，a）≤0大致有分離變量為a≥f（x），a≤f（x）型（有時要分類討論），后用求導(dǎo)法或基本不等式等求f（x）值域，或者根據(jù)一元二次函數(shù)在上的圖象與x軸的位置關(guān)系得到含的不等式（組）.

八、出題者命題意圖及高考地位的反思

試題1涉及初高中知識點的銜接，考察學(xué)生是否注意到對直線斜率存在性的分類討論，解方程組的基本運算能力以及對考綱不要求的知識點的拓寬度等.試題2考察學(xué)生“數(shù)學(xué)化”能力，基本不導(dǎo)式成立的條件，以及定義域在最值中的重要作用，在考試過程中，需要學(xué)生克服思維片面性，以防常規(guī)題失分.

數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)中，學(xué)生的即時性和階段性反思習(xí)慣的培養(yǎng)是非常必要的.在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，需要教師結(jié)合例習(xí)題教學(xué)給以反思指導(dǎo)，騰出時間讓學(xué)生進行自主反思，要求學(xué)生在題后寫出反思總結(jié)，教師可以根據(jù)學(xué)生的解題反思小結(jié)進行相應(yīng)的指導(dǎo)，對反思質(zhì)量進行評價,從而使學(xué)生整體數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和自主學(xué)習(xí)能力乃至創(chuàng)新能力都有新發(fā)展.

（責(zé)任編輯：王欽敏）