朱長江++徐章韜

摘 要：根據(jù)數(shù)學(xué)的本性，辨證認識數(shù)學(xué)的抽象性，理清數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過程中認識視角的變遷，注重領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的實質(zhì)，采用問題驅(qū)動的模式展開教學(xué)，有利于為學(xué)生尋找認知的固著點，符合學(xué)生的認知規(guī)律，有助于學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和認知方式的優(yōu)化。這還是一個多贏的舉措，有助于名師的成長、課程群的建設(shè)和人才的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：認知的固著點；認知結(jié)構(gòu)；認知方式；人才培養(yǎng)

在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中也要加強教學(xué)研究。人們常說，數(shù)學(xué)是思維的體操，能進數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的人都是聰明人?？墒沁@種論斷正在不斷地被現(xiàn)實無情地粉碎。當(dāng)數(shù)學(xué)系的學(xué)生學(xué)到“實變函數(shù)”、“拓撲學(xué)”和“泛函分析”等比較現(xiàn)代、抽象的學(xué)科時，數(shù)學(xué)像一把篩子，把越來越多的同學(xué)“過濾”掉了；須知這些學(xué)生都是對數(shù)學(xué)很有興趣，有一定數(shù)學(xué)功底的學(xué)生。由于數(shù)學(xué)的逐級抽象性，由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)和近代數(shù)學(xué)的巨大分野，這些原本是數(shù)學(xué)“粉絲”的同學(xué)掉隊落伍，讓人心痛。在大學(xué)數(shù)學(xué)中加強數(shù)學(xué)研究大有可為，如通過偏微分方程中一個實例的教學(xué)研究[1]，可取得良好的教學(xué)效果。為了提高大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)效果，需要有理念、有目標、有方法、有步驟地開展教學(xué)研究活動。也有文獻表明以偏微分方程為切入口，進行實踐，能取得一定的效果[2-4]。本研究以上述工作為基礎(chǔ)，探索如何在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中尋找認知的固著點，促進學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和認知方式的優(yōu)化，為人才培養(yǎng)做出貢獻。

一、目標：為學(xué)生搭建良好的認知結(jié)構(gòu)和認知方式

大學(xué)之道不唯在傳授知識，更在于塑造學(xué)生良好的認知結(jié)構(gòu)。按美國心理學(xué)家奧蘇伯爾的觀點，“智”是由學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)構(gòu)成的。智育的目標就是塑造學(xué)生的良好認知結(jié)構(gòu)。良好的認知結(jié)構(gòu)在縱向上自上而下逐漸分化，在橫向上融會貫通[5]。認知結(jié)構(gòu)由知識結(jié)構(gòu)內(nèi)化而來，要形成良好的認知結(jié)構(gòu)，首要的是理解大學(xué)數(shù)學(xué)的課程知識結(jié)構(gòu)。大學(xué)數(shù)學(xué)中，純數(shù)學(xué)的主干課程大致可以分為分析類、代數(shù)類和幾何類等三大類課程[6]。同一類課程的思維方式，基本上是類似的。以分析類課程為例，無不以“數(shù)學(xué)分析”為基礎(chǔ)。如，“復(fù)變函數(shù)”是“數(shù)學(xué)分析”在實數(shù)域上的推廣，“實變函數(shù)”是在研究病態(tài)函數(shù)的過程中逐步精致化而形成的，是對“數(shù)學(xué)分析”思想和方法的提煉和總結(jié)而成。不同類課程的思維方式可以相互融合，如，作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)入門基礎(chǔ)的“泛函分析”把古典分析、幾何、代數(shù)融為一體，研究無窮維空間上的函數(shù)、算子和極限理論。弄清楚大學(xué)數(shù)學(xué)的課程知識結(jié)構(gòu)之后，就為尋找認知的固定點打下了良好的基礎(chǔ)。

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)更要講究研究型教學(xué)，幫學(xué)生形成良好的認知方式。研究和教學(xué)是兩種旨趣不同的活動。研究的目標指向未知領(lǐng)域，旨在擴展人們對未知領(lǐng)域的認識，最好能達到控制、改變未知世界的程度。研究由于目標不明，在無路可走的荊棘處開辟一條前人沒有走過的路，是相當(dāng)困難的。教學(xué)的目標之一是傳承前人的知識和經(jīng)驗，這是一種有著明確目的的教學(xué)行為。由于傳授的內(nèi)容是已知的，故被一般人認為教學(xué)不如研究重要，不值得花大力研究。當(dāng)我們把學(xué)生的頭腦當(dāng)作有待填充的箱子時，發(fā)現(xiàn)填得越多，學(xué)生的頭腦越是轉(zhuǎn)不動了。因此，對教學(xué)要轉(zhuǎn)變認識。教學(xué)的目的之一是在傳承前人的知識和經(jīng)驗的過程中，把前人的研究經(jīng)驗、心得以“演義”的方式傳遞后人，為學(xué)生塑造良好的認知方式。大學(xué)生不是知識的消費者，而應(yīng)當(dāng)成為知識的開拓者。因此，教學(xué)的過程應(yīng)當(dāng)是盡量擬合真實的研究過程，讓大學(xué)生獲得做研究的一般活動經(jīng)驗，最終學(xué)會做研究。雖然學(xué)會做研究這樣的目標要求是高了，不可能每個人都成為數(shù)學(xué)家，會做研究，但“取法乎上，得法其中”，如果沒有一個較高的目標，最后的結(jié)果可能更低。這正如高爾基所說：一個人的追求越高，他的才力發(fā)展得越快。目標具有激勵、定向、指導(dǎo)和調(diào)控作用，能最大限度地推動學(xué)生主動地進行研究性學(xué)習(xí)，從而不斷革新認知方式。

人的認知結(jié)構(gòu)不是一個封閉的系統(tǒng)，是一個不斷發(fā)展的系統(tǒng)。在良好的認知方式的推動下，大學(xué)生最終能學(xué)會不斷地建構(gòu)自己的認知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化自己的認知結(jié)構(gòu)，這就是俗語所說的“授人以魚，不如授人以漁”。

二、路徑：依據(jù)數(shù)學(xué)的特點而定

如何尋找認知的固著點，涉及“如何”的問題，這是一個技術(shù)理論的問題，這就需要既講技術(shù)性的問題，又要從理論層面進行闡述。如何尋找認知的固著點，要依據(jù)數(shù)學(xué)的特點，然后采取適當(dāng)?shù)呐e措。

對于淺一點的內(nèi)容而言，教師加強教學(xué)技能方面的修養(yǎng)，可能更有助于提高教學(xué)效果，但對于內(nèi)容難度越來越高的學(xué)科來說，可能更要注重在吃透學(xué)科本質(zhì)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生對教育教學(xué)上的見解，依據(jù)學(xué)科的本性特征進行教學(xué)。學(xué)科教學(xué)知識的結(jié)構(gòu)模型通常認為，教師的學(xué)科知識本身不是第一位的，它不具有教學(xué)法功能，第一位的是教師對內(nèi)容的處理、對教學(xué)內(nèi)容的合理組織，以及教師與學(xué)生之間相互關(guān)系的合理把握。這種認識可能適合內(nèi)容難度不深的學(xué)段的教學(xué)，適合于常規(guī)課堂的教學(xué)，但不一定適合研究性教學(xué)。面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識認為，學(xué)科知識本身具有教學(xué)法的維度，吃透學(xué)科知識，也能產(chǎn)生教育教學(xué)上的見解[7]。

辨證認識數(shù)學(xué)的抽象性。前蘇聯(lián)A.D.亞歷山大洛夫的名著《數(shù)學(xué)：它的內(nèi)容、方法和意義》指出數(shù)學(xué)具有抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性，這些觀點已廣為人們接受。對抽象性而言，任何科學(xué)都具有抽象性，不僅僅是數(shù)學(xué)才具有抽象性，而是數(shù)學(xué)有高度的抽象性，而且這種抽象性具逐級抽象的特點。任何一個抽象的數(shù)學(xué)概念，在它形成的過程中，卻往往以大量的對象作為基礎(chǔ)，或者以一些具體的抽象概念為基礎(chǔ)。這其中飽含教學(xué)法，在教概念時，一定要找到概念形成或概念賴以棲居的表象，換言之，具有心理運算能力，能把抽象的概念看成是較不抽象的概念，這就為抽象概念找到了認知的固著點。例如，在“實變函數(shù)”的開篇之初有一個集列的上極限、下極限的概念，學(xué)生對這個概念很難理解，同時這個概念也是“實變函數(shù)”不可回避的基本概念。要理解這個抽象概念，就要把這個抽象概念固著在一個較不抽象的概念上，可以把集合列的上、下極限看成或想象成數(shù)列的上、下極限，把數(shù)列的上、下極限的內(nèi)涵、定義方式弄清楚了，將有助于集合列的上、下極限的理解。這就是充分利用數(shù)學(xué)逐級抽象的特點，利用數(shù)學(xué)的概念的相對抽象性來進行概念的認知理解。

理清數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展過程中認識視角的變遷。數(shù)學(xué)的發(fā)展從來都不是一帆風(fēng)順的，數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機就是這些狀況的生動寫照。歷史沉淀在時間的長河里了，當(dāng)后人鉤古沉思時，往往對一些奇聞軼事感興趣，而其中引起觀念變遷的認識視角的變化卻沒有引起足夠的重視。例如，把歐氏幾何拉下神壇的非歐幾何，其根本出發(fā)點就與歐幾里得幾何迥然不同。歐幾里得說，過直線外一點只能作一條平行線；俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基卻說，過直線外一點能作多條平行線。當(dāng)這種觀點面世時，并沒有給羅巴切夫斯基帶來學(xué)術(shù)上的榮譽，而是各種打擊。就連有“數(shù)學(xué)王子”之稱的德國數(shù)學(xué)家高斯，雖然認識到認識視角的變化，對幾何學(xué)變革的重要意義，但囿于傳統(tǒng)的壓力，高斯秘而不宣。這種由于認識視角的變化而引起數(shù)學(xué)發(fā)生革命性變化的例子，比比皆是，如從局部微分幾何到整體微分幾何的嬗變。對具體概念的學(xué)習(xí)，也要注意概念在發(fā)展過程中認識視角的變化。如，極限是數(shù)學(xué)中最重要一個基本概念，可以極端一點說，沒有極限就沒有微積分，就沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)。還是以上、下極限為例，數(shù)列極限有鮮明的幾何意義，是從距離逼近的角度定義用一列變動的數(shù)來刻畫一個未知的常數(shù)；但是到了上、下極限，認識視角就發(fā)生了很大的變化，是從集合論的角度定義上、下極限的。這種做法的好處是既保留了距離逼近視角的一些好的性質(zhì)，同時又舍棄了基于實數(shù)直線的幾何結(jié)構(gòu)，便于極限概念的進一步推廣。這就是定義集合列上、下極限的切入點。

注重領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的實質(zhì)，用多元表征揭示數(shù)學(xué)理論的實質(zhì)。數(shù)學(xué)思想并非數(shù)學(xué)理論，兩者是有區(qū)別的，我們所說的思想是指數(shù)學(xué)的科學(xué)思維方法，這種思維方法也許并不一定需要通過抽象的理論來表達[8]。同一種數(shù)學(xué)思想可以用不同的數(shù)學(xué)語言、不同的數(shù)學(xué)理論來表達，不同的學(xué)生可以有不同的選擇。這就是多元表征理論的觀點，多元表征理論的實質(zhì)就是對信息進行多角度、多視角的解釋，使學(xué)生建立新舊知識固著點的同時，便于調(diào)用原有認知結(jié)構(gòu)中的信息使其對新信息進行加工從而建構(gòu)知識。這特別適合于抽象理論的教學(xué)。如，從子列收斂的角度而言，數(shù)列的上極限是它一切收斂子列的極限值所成的集合中之最大值；從聚點的角度而言，數(shù)列的上極限是其最大的聚點；從確界的角度而言，數(shù)列的上極限是一個用上確界定義的遞減數(shù)列的下確界。集合的上、下極限也可以從類似角度用不同的等價語言來描述。雖然符號化、形式化是數(shù)學(xué)的重要特點之一，但生動活潑思想不能湮沒在形式主義的海洋里。林群院士指出，要剝開形式化的外衣，找出“微元”[9]。其實，上下極限的定義法充分體現(xiàn)了單調(diào)性這一核心概念在不同數(shù)學(xué)情境中的運用。明白了這點，也就是把握了上下極限的精髓所在。要把數(shù)學(xué)的本質(zhì)教給學(xué)生，不要將數(shù)學(xué)弄得玄而又玄，要教會學(xué)生科學(xué)的思維方法，要讓數(shù)學(xué)“原形畢露”，離生活、常識近一些，使大眾也能看得見，想得出。數(shù)學(xué)也是講道理的、平易近人的和常識性的[10]。用多元表征理論揭示數(shù)學(xué)理論的實質(zhì)是從學(xué)習(xí)技術(shù)的層面落實“因材施教”的教學(xué)原則，也符合數(shù)學(xué)學(xué)科不斷演進的特點。

采用問題驅(qū)動的模式展開教學(xué)。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說，問題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)的特點是有一套提出問題和解決問題的方法，問題解決之后，得到的結(jié)果便沉下來，便走進了教科書。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)也要以問題情境來驅(qū)動。情境認知理論認為，知識不是一件事情或一組表征，也不是事實或規(guī)則的集合，知識是一種基于問題的動態(tài)的建構(gòu)與組織。知識是個體與問題情境交互作用過程中建構(gòu)的一種交互狀態(tài)，是一種協(xié)調(diào)一系列行為，以適應(yīng)動態(tài)變化發(fā)展的問題情境的能力?；谇榫痴J知理論，知識是根植于情境的，要創(chuàng)設(shè)一定情境來導(dǎo)入知識，而不把知識當(dāng)結(jié)果來學(xué)習(xí)。大學(xué)數(shù)學(xué)知識雖離生活常識漸遠，但也是根植于問題情境，這樣的問題情境更是知識發(fā)生發(fā)展過程中的邏輯脈絡(luò)情境。因此關(guān)鍵的是讓學(xué)生提出好的問題，然后，讓學(xué)生嘗試著從不同角度解決問題。這時的教學(xué)方式可以是啟發(fā)性的講授法，也可以是導(dǎo)引性的研究性學(xué)習(xí)。曾有很好的啟發(fā)性講授法的例子[11]和導(dǎo)引性研究性學(xué)習(xí)的例子，這兩種教學(xué)法都取得了很好的效果。還是以上、下極限為例，那么驅(qū)動上、下極限這個概念產(chǎn)生的問題是什么呢？當(dāng)數(shù)列收斂時，用極限這個常數(shù)就可以控制整個數(shù)列，這是多么經(jīng)濟的思想。然而，當(dāng)數(shù)列發(fā)散時，如何控制一個數(shù)列呢？融合函數(shù)最值的思想，上、下極限的概念呼之欲出?！皢栴}——方法——結(jié)果”是數(shù)學(xué)發(fā)展的主線，這樣的內(nèi)在邏輯必然要表現(xiàn)在教學(xué)上，那才是真正的教學(xué)，才體現(xiàn)了教學(xué)的價值，教學(xué)是為了后人能更好地研究開創(chuàng)新天地。

三、成效：多贏

由于堅持依據(jù)數(shù)學(xué)的本性進行教學(xué)，符合了學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)和認知方式發(fā)展的規(guī)律，取得了多方面的成效。打造了名師引領(lǐng)的教學(xué)團隊[12]。本文第一作者就是2013“湖北名師”，所在團隊擁有數(shù)位科研水平、教學(xué)技藝精湛的教師。二是以精品課程資源建設(shè)為抓手，推動課程群的建設(shè)，探索了課程體系改革的新路。國家級精品課程資源在“愛課程網(wǎng)”已成功運行，網(wǎng)上反響很好。以此為突破口，把內(nèi)在聯(lián)系緊密，內(nèi)在邏輯性強、屬于同一個培養(yǎng)能力范疇的同一類課程集結(jié)在一起，打破了傳統(tǒng)課程內(nèi)容的歸屬性，構(gòu)建了有利于發(fā)揮課程內(nèi)容教學(xué)價值和效應(yīng)的課程群。三是人才培養(yǎng)質(zhì)量顯著。參與課堂的本科生的學(xué)習(xí)積極性和科研水平得到了很大的提高。

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[基金項目：2012年湖北省本科高校“專業(yè)綜合改革試點”項目數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)綜合改革；2013年湖北省教學(xué)改革項目“師范生拔尖創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的理論與實踐”]

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