程建華，董金魯，陳岱岱

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引 言

余度技術(shù)是現(xiàn)代容錯(cuò)技術(shù)用于提高慣性導(dǎo)航系統(tǒng)可靠性最常采用的技術(shù)之一［1～3］。系統(tǒng)級(jí)冗余和器件級(jí)冗余是最常用的余度技術(shù)［4，5］，在過(guò)去的幾十年里，系統(tǒng)級(jí)冗余有許多成功的應(yīng)用案例，例如:前蘇聯(lián)的東方號(hào)、聯(lián)盟號(hào)飛船就采用兩套冗余慣導(dǎo)系統(tǒng)，一套為安裝于一級(jí)儀器艙的平臺(tái)式慣導(dǎo)系統(tǒng)，另一套為安裝于二級(jí)儀器艙的捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)［6］，但其體積、重量隨著冗余數(shù)量的增加而成倍增加。對(duì)于捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)，可使用器件級(jí)余度技術(shù)，即通過(guò)增加慣性測(cè)量元件(陀螺儀或加速度計(jì))的個(gè)數(shù)進(jìn)行冗余配置來(lái)實(shí)現(xiàn)余度技術(shù)，從而達(dá)到提高系統(tǒng)可靠性和容錯(cuò)能力的目的。例如:美國(guó)Honeywell 公司基于正十二面體結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了基于6 個(gè)激光陀螺構(gòu)成的冗余式慣導(dǎo)系統(tǒng)，大幅提升了系統(tǒng)的可靠性，并應(yīng)用于波音777 飛機(jī)［7］。美國(guó)航天局將4 個(gè)呈錐形安裝的陀螺儀應(yīng)用于EOS—AQUA 衛(wèi)星［8］。國(guó)內(nèi)，第三代航天器的核心部件也采用了多余度的設(shè)計(jì)方案。

對(duì)于艦船慣導(dǎo)系統(tǒng)，由于慣性器件自身體積較大，單純通過(guò)增加慣性器件數(shù)目雖然能提高系統(tǒng)可靠性，但同時(shí)也大大增加了慣導(dǎo)系統(tǒng)的體積、重量等。因此，研究慣性器件較少情況下的可靠性提升方法，對(duì)于艦船捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)，具有重要的實(shí)際意義。

基于此，本文針對(duì)四陀螺配置的冗余式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)方案，在分析和驗(yàn)證冗余優(yōu)化準(zhǔn)則性能的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種基于對(duì)稱(chēng)式配置方案的冗余式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)方案，并通過(guò)可靠性和精度分析，對(duì)方案的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 冗余優(yōu)化準(zhǔn)則等價(jià)性

對(duì)于采用n 個(gè)單自由度陀螺儀的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，陀螺儀的量測(cè)輸入可由方程(1)表述［9］

式中 m 為n×1 維慣性測(cè)量矢量;H 為n×3 維配置矩陣;X 為3×1 維待求矢量;η 為n×1 維測(cè)量噪聲矢量。

設(shè)測(cè)量噪聲η 為零均值、方差為σ2的高斯白噪聲，其統(tǒng)計(jì)特性為

其中，In為n×n 單位矩陣。

根據(jù)線性最小方差理論，可以求出捷聯(lián)慣導(dǎo)導(dǎo)航解算輸入X 的估計(jì)值

同時(shí)，基于式(2)可得到相應(yīng)的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣為

定義導(dǎo)航特性的最優(yōu)準(zhǔn)則為

由式(5)可知，J 是估計(jì)協(xié)方差矩陣跡的最小值，只與配置矩陣H 和誤差方差σ2有關(guān)。

根據(jù)文獻(xiàn)［4］可知，J=min{trace(C)}等價(jià)于

即當(dāng)配置矩陣滿足式(6)時(shí)，J 取估計(jì)協(xié)方差矩陣跡的最小值。

式(6)所示的最優(yōu)準(zhǔn)則可采用其他參數(shù)進(jìn)行表征。設(shè)噪聲η 為零均值高斯白噪聲，相應(yīng)的概率密度函數(shù)為［10］

式中 G=(HTH)－1，η 的軌跡滿足

K 為放大因子，式(8)表示一個(gè)橢球族，給定一個(gè)K 值，即可得到一個(gè)固定的橢球，相應(yīng)的橢球體積可表示為

對(duì)于式(9)，體積V 越小，則噪聲η 產(chǎn)生的誤差就越小，從而系統(tǒng)的導(dǎo)航特性就越好，定義最優(yōu)準(zhǔn)則為

F 取值越小，噪聲η 產(chǎn)生誤差的橢球體積就越小，當(dāng)滿足式(6)所示的條件時(shí)，F(xiàn) 取最小值，即噪聲產(chǎn)生的誤差的橢球體積最小，則系統(tǒng)的導(dǎo)航特性最優(yōu)。從式(5)、式(6)和式(10)可知，當(dāng)配置矩陣H 滿足式(6)時(shí)，式(5)和式(10)均取最小值，因此，本文中所提到的兩種優(yōu)化準(zhǔn)則在數(shù)值運(yùn)算上等價(jià)。

2 冗余配置方案可靠度

在計(jì)算系統(tǒng)可靠度時(shí)，通常先做如下假設(shè):

1)冗余配置采用單自由度陀螺儀，且只考慮陀螺儀發(fā)生故障，可靠度為e－λt，記為R(t)［11］;

2)各陀螺儀等概率發(fā)生故障，且相互獨(dú)立。

單個(gè)陀螺儀的可靠性表達(dá)式為

其中，λ 為故障率，則單個(gè)陀螺儀的平均無(wú)故障時(shí)間(mean time between failures，MTBF)為

對(duì)于無(wú)冗余系統(tǒng)，其可靠度為

對(duì)應(yīng)MTBF 為

由式(11)～式(14)可知，當(dāng)系統(tǒng)沒(méi)有冗余時(shí)，系統(tǒng)的可靠性很低(僅考慮陀螺儀發(fā)生故障)，僅為單個(gè)陀螺儀的1/3。

3 冗余配置方案性能分析

圖1 給出了三種最常見(jiàn)的四陀螺冗余配置方案分別是:正交配置方案、斜置配置方案、圓錐配置方案。

圖1 四陀螺冗余配置示意圖Fig 1 Diagram of redundancy configuration of four gyros

對(duì)于圖1(a)所示的正交配置方案，可推得其陀螺儀量測(cè)方程為

其中，ma=［m1m2m3m4］T為測(cè)量值，ωa=［ωxωyωz］T為角速率待求值，Ha為配置矩陣。

對(duì)于圖1(b)中的斜置方案，其3 個(gè)陀螺儀為正交安裝方式，最后一個(gè)測(cè)量軸與前3 個(gè)測(cè)量軸等夾角安裝，即α=β=γ=54.73°。由配置方案可推得陀螺儀量測(cè)方程為

對(duì)于圖1(c)所示的圓錐配置方案，4 個(gè)陀螺儀的測(cè)量軸均勻分布在圓錐面上，圓錐的半圓錐角為α=54.73°，且測(cè)量軸分別分布在xoz 平面、yoz 平面、－xoz 平面、－yoz 平面上。由配置方案可推得陀螺儀的量測(cè)方程為

3.1 導(dǎo)航性能比對(duì)

根據(jù)各夾角，可得出圖1(b)，(c)方案具體配置矩陣

表1 不同配置方案F 值Tab 1 Value of F in different configuration schemes

從表1 可以看出:Fa，F(xiàn)b值最大，F(xiàn)c值較小。這說(shuō)明正交的配置方案，其導(dǎo)航特性較斜置配置方案的特性差。

3.2 可靠度比對(duì)

按照式(13)，可計(jì)算圖1(a)方案的可靠度為

對(duì)應(yīng)MTBF 為

由于圖1(b)，(c)方案任意3 個(gè)陀螺儀都不共面，則其構(gòu)成的冗余系統(tǒng)正常工作的概率相等，可靠度為

對(duì)應(yīng)MTBF 為

將式(18)～式(21)的計(jì)算結(jié)果列表如表2。

表2 單自由度陀螺儀系統(tǒng)的可靠度與MTBFTab 2 Reliability and MTBF of single degree of freedom gyros system

由表2 可以看出:4 個(gè)單自由度陀螺儀構(gòu)成的冗余系統(tǒng)比無(wú)冗余系統(tǒng)可靠度高，說(shuō)明利用敏感器件進(jìn)行冗余是提高系統(tǒng)可度性的重要方法，圖1(b)，(c)所示方案的可靠度大于方案(a)，即在陀螺儀數(shù)量相同的情況下，斜置方案優(yōu)于正交方案。

4 對(duì)稱(chēng)斜置式冗余配置方案

基于前述分析可知，斜置式冗余方案在導(dǎo)航性能和可靠性方面均優(yōu)于正交配置方案。因此，提出新的對(duì)稱(chēng)式斜置配置方案如下:

構(gòu)建五面體使其側(cè)面與底面夾角為54.73°，側(cè)面為等邊三角形，底面為正方形。選取底面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以底面對(duì)角線分別為x 軸、y 軸，z 軸與x 軸y 軸構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。將4 個(gè)陀螺儀測(cè)量軸分別垂直于五面體的4 個(gè)側(cè)面，測(cè)量軸1 與x 負(fù)半軸、y 負(fù)半軸和z 正半軸夾角均為α，測(cè)量軸2 與x 正半軸、y 負(fù)半軸和z 正半軸夾角均為α，測(cè)量軸3 與x 正半軸、y 正半軸和z 正半軸夾角均為α，測(cè)量軸4 與x 負(fù)半軸、y 正半軸和z 正半軸夾角均為α，如圖2所示。

圖2 對(duì)稱(chēng)式四陀螺配置方案示意圖Fig 2 Diagram of symmetrical configuration scheme of four gyros

根據(jù)配置方案，可列出其量測(cè)方程為

其中，md=［m1m2m3m4］T為測(cè)量值，ωd=［ωxωyωz］T為角速率待求值，Hd為配置矩陣。

當(dāng)α=54.73°時(shí)，可計(jì)算得對(duì)稱(chēng)斜置式方案的配置矩陣

根據(jù)α=54.73°和五面體的側(cè)面與底面的夾角也為54.73°可以推得:測(cè)量軸1 的方向相當(dāng)于以x 負(fù)半軸、y 負(fù)半軸和z 正半軸方向的單位向量所構(gòu)成的正方體的體對(duì)角線方向，其余測(cè)量軸方向類(lèi)似推出。

根據(jù)式(10)可計(jì)算其F 值為

將Fd值與表1 的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較可知，F(xiàn)d值最小。根據(jù)優(yōu)化準(zhǔn)則可知，對(duì)稱(chēng)式斜置方案是這4 個(gè)方案中最優(yōu)的配置方案，易求

同時(shí)，由于對(duì)稱(chēng)式配置方案的任意三個(gè)陀螺儀均不共面，則其構(gòu)成的冗余系統(tǒng)正常工作的概率相等，亦可按照式(20)、式(21)計(jì)算可靠度和平均無(wú)故障時(shí)間，計(jì)算結(jié)果與圓錐型配置相同。

圖3 給出了四類(lèi)配置方案隨時(shí)間變化的可靠度曲線，其中，假設(shè)單個(gè)陀螺儀的MTBF 為5 000 h。

圖3 冗余配置系統(tǒng)隨時(shí)間變化的可靠度曲線Fig 3 Reliability curves of change with time redundancy configuration system

從圖3 可以看出:冗余方案的可靠度始終高于非冗余方案，且在任意時(shí)刻方案(b)，(c)，(d)的可靠度始終最高。

通過(guò)上述的計(jì)算和分析可知，對(duì)稱(chēng)式配置方案是冗余數(shù)為4 時(shí)的最優(yōu)配置方案，且優(yōu)于圓錐型配置方案。

5 冗余配置方案精度分析

5.1 無(wú)故障情況

配置方案中的陀螺儀全部正常工作，根據(jù)公式(4)可知，系統(tǒng)的精度與配置矩陣H 和噪聲方差σ2有關(guān)，噪聲方差不可控制，因此，可以通過(guò)選擇不同的配置矩陣來(lái)控制系統(tǒng)的估計(jì)精度?？梢缘玫剿姆N配置方案的M 值如表3 所示。

表3 不同配置方案M 值Tab 3 Value of M in different configuration schemes

其中，M=det(HTH)，通過(guò)表3 可以看出:這4 個(gè)方案在陀螺儀全部正常工作時(shí)，測(cè)量精度相近。

5.2 單故障情況

選取工作模式124，則行列式的值為

同理，可求出配置方案(a)，(b)，(c)，(d)其他工作模式的行列式值，計(jì)算結(jié)果如表4 所示。

表4 單自由度陀螺儀工作模式精度計(jì)算Tab 4 Precision calculation of single degree of freedom gyros working mode

從表4 可以看出:方案(a)和方案(b)的123 工作模式的精度最高，它們均為正交配置，可見(jiàn)正交的配置方案比斜置的配置方案精度高。但方案(d)與方案(a)精度相差并不大，而且，方案(d)的各個(gè)工作模式的精度均相等，具有很好的一致性，這一點(diǎn)優(yōu)于方案(a)和方案(b)，方案(c)精度稍小于方案(d)的精度。因此，在優(yōu)先考慮系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的前提下，綜合考慮系統(tǒng)精度一致性，方案(d)是冗余數(shù)為4 時(shí)的最優(yōu)配置方案之一。

6 結(jié) 論

針對(duì)四陀螺配置的冗余式捷聯(lián)系統(tǒng)技術(shù)，以提高系統(tǒng)可靠性和導(dǎo)航性能為關(guān)鍵指標(biāo)，在分析正交配置、斜置配置和圓錐配置的基礎(chǔ)上，提出了對(duì)稱(chēng)斜置式四陀螺的冗余配置方案，并通過(guò)精度一致性、可靠性等分析驗(yàn)證了所提方案的有效性。這對(duì)于提高捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)的可靠性和精度，具有重要的實(shí)際意義。

［1］ 尹遜和，林寶軍，周 銳，等.傘形安裝的陀螺系統(tǒng)性能分析［J］.宇航學(xué)報(bào)，2008，29(1):178－182.

［2］ 王京獻(xiàn)，張明輝.一種高可靠捷聯(lián)慣性測(cè)量單元布局［J］.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，20(3):363－367.

［3］ 趙 剡，白雪峰.慣性導(dǎo)航系統(tǒng)冗余設(shè)計(jì)與可靠性分析［J］.航空兵器，2006(1):15－17.

［4］ 單 斌，繆 棟.捷聯(lián)慣性測(cè)量組合的冗余設(shè)計(jì)和優(yōu)化［J］.導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，2004(3):25－30.

［5］ 高豫強(qiáng)，祝君冬，趙 剡.捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)陀螺儀冗余配置研究［J］.戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)，2008(2):62－66.

［6］ 潘鴻飛，呂 雋，劉培毅.捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)級(jí)余度技術(shù)研究［J］.上海航天，2004(3):7－10.

［7］ Yang C K，Shim D S.Best sensor configuration and accommodation rule based on navigation performance for INS with seven inertial sensors［J］.Sensors，2009，9:8456－8472.

［8］ 楊華波，張士峰，蔡 洪.空間冗余陀螺儀在軌標(biāo)定方法［J］.宇航學(xué)報(bào)，2010，31(1):104－110.

［9］ Mahdi Jafari，Jafar Roshanian.Optimal redundant sensor configuration for accuracy and reliability increasing in space inertial navigation systems［J］.The Journal of Navigation，2013，66:199－208.

［10］朱建豐，徐世杰.基于誤差橢球理論的慣性部件構(gòu)型分析［J］.導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，2008(2):40－45.

［11］富 力，王新玲，岳亞洲.基于可靠性分析的最優(yōu)冗余配置數(shù)量確定方法［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，36(9):1030－1033.

［12］Shim D S，Yang C K.Optimal configuration of redundant inertial sensors for navigation and FDI performance［J］.Sensors，2010，1:6497－6512.

［13］吳光裕，武志忠，段成紅.一種衛(wèi)星用高可靠性的慣性敏感器［J］.中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2004，12(1):70－73.