張 卓 宋志堯

(1. 南京師范大學(xué)虛擬地理環(huán)境教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210023; 2. 江蘇省地理信息資源開發(fā)與利用協(xié)同創(chuàng)新中心 南京210023; 3. 江蘇省大規(guī)模復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)值模擬重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210023)

湍流運(yùn)動(dòng)是流體力學(xué)研究的重要課題, 它對(duì)河口混合與泥沙輸運(yùn)產(chǎn)生重要影響(周濟(jì)福等, 2000)。湍流在水流在平均流動(dòng)方向的基礎(chǔ)上增加了湍流應(yīng)力的影響, 其分量包括三個(gè)正應(yīng)力和三個(gè)切應(yīng)力, 正應(yīng)力主要體現(xiàn)在對(duì)水流壓強(qiáng)的影響, 而切應(yīng)力主要體現(xiàn)在對(duì)流速分布的影響。目前關(guān)于潮流、潮汐的研究較多地采用數(shù)值模擬(朱學(xué)明等, 2012; 齊繼峰等,2013; 林作梁等, 2013), 由于潮流的主要流動(dòng)方向是水平方向, 垂直方向的流速相比水平流速至少要小一個(gè)量級(jí), 因此水平方向的切應(yīng)力對(duì)流速垂向分布有重要影響, 而它的分布和變化特征一直是水動(dòng)力學(xué)的經(jīng)典課題之一, 受到眾多學(xué)者的關(guān)注(Anwaret al, 1980; 李浩麟, 1992; 盧金友等, 2005; 朱長軍等,2007)。

相比于河道和明渠水流, 潮流是周期性往復(fù)流或旋轉(zhuǎn)流, 比河道和明渠的恒定水流更加復(fù)雜。樂肯堂等(2003)曾假定垂直湍流粘性系數(shù)為常數(shù), 推導(dǎo)出潮流Ekman方程解析解。徐鵬等(2013)對(duì)強(qiáng)潮狹長海灣中垂直渦粘系數(shù)分布和底部拖曳系數(shù)的變化進(jìn)行了觀測(cè)分析, 發(fā)現(xiàn)垂直渦粘系數(shù)大致呈拋物線分布。經(jīng)典流速分布公式對(duì)數(shù)分布基于湍流切應(yīng)力線性分布的假設(shè), 具有良好的適應(yīng)性, 在大多數(shù)時(shí)段的潮流分布可以用對(duì)數(shù)分布來擬合, 尤其是在漲急或落急前后。但在轉(zhuǎn)流期間, 對(duì)數(shù)分布誤差較大。更重要的是, 很多看似擬合很好的流速分布, 推得的粗糙高度卻是不合理的。Collins等(1998)的研究表明, 經(jīng)過一致性分析后, 潮間帶的潮流真正滿足對(duì)數(shù)關(guān)系的不到 40%, 并且認(rèn)為潮流的加速和減速效應(yīng)是使潮流速偏離對(duì)數(shù)分布的重要原因之一。一些學(xué)者將對(duì)數(shù)分布與實(shí)測(cè)的偏差歸結(jié)于湍流切應(yīng)力線性分布假設(shè)的不合理。Bowden等(1952)的觀測(cè)表明, 湍流切應(yīng)力在高潮位1/4周期后滿足線性分布, 而在高潮位時(shí)與線性分布偏離較大。Kironto等(1995)的實(shí)驗(yàn)表明, 在加速條件下, 湍流切應(yīng)力呈上凹型曲線, 在減速條件下,湍流切應(yīng)力呈下凹型曲線。李浩麟(1992)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)型的指數(shù)分布, 得到了指數(shù)形式的潮流切應(yīng)力分布模式; Song等(2009)通過動(dòng)力學(xué)方程從理論上導(dǎo)出能反映潮流加速和減速作用的湍流切應(yīng)力二次冪函數(shù)分布表達(dá)式; Ni等(2009)以二次分布為基礎(chǔ)得到雙對(duì)數(shù)水流分布模式; Ni等(2012)進(jìn)一步推出了紊流切應(yīng)力三次冪函數(shù)分布式。目前多數(shù)學(xué)者認(rèn)為潮流切應(yīng)力偏離線性分布, 但切應(yīng)力具體表達(dá)形式還沒有定論, 也缺少對(duì)切應(yīng)力分布影響因素的分析。另外還有一些學(xué)者通過實(shí)際觀測(cè)發(fā)現(xiàn)在某些海域湍流切應(yīng)力仍然在多數(shù)情況下滿足線性分布(Elliott, 2002; Rippethet al,2002)。

本文對(duì)潮流動(dòng)力方程作簡(jiǎn)化假設(shè), 得到切應(yīng)力傳播方程。湍流切應(yīng)力由底部逐漸向上傳播擴(kuò)散, 推導(dǎo)出切應(yīng)力隨潮周期變化的垂向分布表達(dá)式, 發(fā)現(xiàn)計(jì)算得到的切應(yīng)力偏離線性分布, 但也不同于指數(shù)分布或冪函數(shù)分布。根據(jù)江蘇近海潮流流速的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算潮流切應(yīng)力分布, 與本文方程對(duì)比, 發(fā)現(xiàn)本文的湍流切應(yīng)力分布式能較好地反映潮周期內(nèi)切應(yīng)力分布變化特征。最后根據(jù)切應(yīng)力垂向分布表達(dá)式分析了導(dǎo)致切應(yīng)力偏離線性分布的主要因素, 探討了以往研究在不同海域得到切應(yīng)力分布不同結(jié)論的原因。

1 切應(yīng)力的垂向分布

潮流運(yùn)動(dòng)方程可表達(dá)為

式中u,w分別是x,z方向的流速;η是潮位;Ez是垂向渦粘系數(shù); g是重力加速度。

將(1)對(duì)z求導(dǎo), 在地形變化較緩且無淡鹽水混合的情形下, 可以忽略對(duì)流項(xiàng)和斜壓項(xiàng), 并注意到湍流切應(yīng)力和流速的關(guān)系:可以得到

上式就是湍流切應(yīng)力的控制方程。從方程的形式可以看出, 此方程屬于擴(kuò)散方程, 顯示湍流切應(yīng)力從底層向中上層傳播的物理特性。這里假設(shè)湍流粘性系數(shù)是常數(shù), 根據(jù) Elliott(2012)實(shí)測(cè)研究, 在距離海底5m以上將渦粘系數(shù)作常數(shù)化處理其結(jié)果比較接近實(shí)測(cè), 而江蘇近海深槽平均深度大約在20m。因此可以認(rèn)為在近底層以外大多數(shù)深度范圍內(nèi)(2)式的假設(shè)是合理的。由于近底層內(nèi)(又稱常應(yīng)力層)的切應(yīng)力分布可近似為不變, 因此在以下推導(dǎo)過程中可以理解為將底部邊界條件施加在近底層上邊即(z=–h=–0.8D,D是總水深約20m,h是近底層到水面的深度)。

設(shè)(2)的解形式為

將(3)代入(2)可得

于是可以得到

取實(shí)數(shù)部分即為(7)式需要確定兩個(gè)積分常數(shù)C1和C2, 一般可采用底面邊界條件和表面邊界條件確定:

根據(jù)實(shí)測(cè)資料, 可將底面邊界條件簡(jiǎn)化近似為正弦波動(dòng),τm是底部最大切應(yīng)力。

通過(8)可得 C1=–C2, 將其代入(7), 由底面邊界條件(9)可得:z=–h時(shí),

可以看到, 湍流切應(yīng)力的相位和振幅在不同水深處不同, 并非簡(jiǎn)單的冪指數(shù)分布。

2 近海潮流切應(yīng)力的計(jì)算和對(duì)比驗(yàn)證

研究區(qū)域選擇江蘇近海, 該區(qū)域在東海前進(jìn)波和黃海旋轉(zhuǎn)波的相互作用下, 形成輻射狀的沙脊群和潮流通道。該海區(qū)主要以正規(guī)半日潮為主, 弶港至小洋口潮差最大, 平均潮差 3.9m, 從小洋口向南潮差逐漸減小。平均水溫最低月為2月, 最高水溫為8月, 南北海域表層分別為27.4°C和26.8°C, 底層分別為26.0°C和24.2°C。在該海域幾個(gè)主要的潮流通道,漲落潮流速很大, 垂線平均速度可達(dá)1.5m/s以上。近年來有眾多學(xué)者對(duì)該海區(qū)的潮流特征進(jìn)行了研究(陳斌等, 2011; 張存勇, 2012)。

2013年9月7日14: 00至9月8日15: 00, 在江蘇洋口港附近海域, 進(jìn)行了海洋水文觀測(cè)。表1和圖1 列出了某點(diǎn)(121°24′29.72″, 32°30′54.00″)前 15 個(gè)小時(shí)的流速剖面, 圖2是該點(diǎn)站位圖。從表1可以看出,該區(qū)域潮流基本以往復(fù)流為主, 科氏力可以忽略。到達(dá)指定位置后采用船舶錨定觀測(cè), 誤差控制在一個(gè)船長之內(nèi), 并在測(cè)驗(yàn)過程中隨時(shí)檢查測(cè)船位置。在一條垂線上采用了 6個(gè)流速儀(SLC92型海流計(jì), 流速測(cè)量精度≤±1.5%, 流向精度≤±4°)同時(shí)進(jìn)行測(cè)量,得到了大潮2周期的流速剖面。

圖1 大潮流速剖面Fig.1 Velocity profiles over spring tidal cycles

圖2 測(cè)點(diǎn)站位圖Fig.2 Location of measurement

Bowden(1959)曾經(jīng)用流速剖面計(jì)算潮流切應(yīng)力,這里用他的方法得到江蘇近海湍流切應(yīng)力并以此作為實(shí)測(cè)驗(yàn)證數(shù)據(jù)。忽略科氏力和平流項(xiàng), 潮流的動(dòng)量方程可寫為

對(duì)上式作垂向平均可得:

對(duì)上面 2式分別從底部到某一深度作垂向積分可得:

將上(17)和(18)兩式相減可得:

上式第一項(xiàng)是潮流加速運(yùn)動(dòng)引起的附加切應(yīng)力, 加速度越大, 這一項(xiàng)就越大, 切應(yīng)力就越偏離線性分布;反之, 如果潮流變成恒定流動(dòng), 這一項(xiàng)變?yōu)?0, 切應(yīng)力就完全呈線性分布。第二項(xiàng)則是底摩擦引起的線性切應(yīng)力項(xiàng)。

表1 部分流速測(cè)量結(jié)果Tab.1 Some measured velocities

在用實(shí)測(cè)資料計(jì)算(19)式右邊第一項(xiàng)時(shí), 可先數(shù)值積分, 然后對(duì)時(shí)間離散求得:

圖3是根據(jù)圖1所示流速剖面, 應(yīng)用公式(20)計(jì)算得到的切應(yīng)力分布(用點(diǎn)表示), 圖3(a), (b), (c), (d)分別包含落潮加速、落潮減速、漲潮加速、漲潮減速四個(gè)過程, 每個(gè)點(diǎn)的序號(hào)代表潮流時(shí)間的先后次序,和圖1的流速剖面對(duì)應(yīng), 每個(gè)序號(hào)之間相差1h。

將實(shí)測(cè)流速剖面得到的切應(yīng)力分布和式(14)比較, 發(fā)現(xiàn)當(dāng)bh取1—2左右時(shí), 二者比較相似(圖2)。實(shí)測(cè)海區(qū)的平均水深度在20m, 半日潮對(duì)應(yīng)的角頻率ω約為 0.00022rad/s, 垂直湍流粘性系數(shù)Ez約為0.01m2/s. 這樣得到的bh約為 2.2, 跟公式結(jié)果比較接近。這說明本文公式結(jié)果可以反映實(shí)際潮流切應(yīng)力的周期性變化。

圖3 潮周期內(nèi)湍流切應(yīng)力的變化過程Fig.3 The variation of the stress profiles over a tidal cycle

從圖2可以看到, 湍流切應(yīng)力曲線在加速時(shí)上凸,而減速的時(shí)下凹, 主要是因?yàn)樵浇紫辔辉匠啊⒃浇嫦辔辉铰浜蟮木壒? 而在漲急落急時(shí)刻, 切應(yīng)力接近線性分布。該結(jié)論與以往研究的結(jié)論完全一致。本文雖然對(duì)渦粘系數(shù)作了常數(shù)簡(jiǎn)化處理, 在近底層處存在一定誤差(主要在離底面0.2D范圍內(nèi)), 海域?qū)咏Y(jié)效應(yīng)可能也對(duì)公式精度產(chǎn)生影響, 但總體上仍能很好地反映潮流過程中湍流切應(yīng)力隨時(shí)間的變化特征。

3 討論

式(14)也可寫為

上式表明, 湍流切應(yīng)力的分布從底層到表層存在相位差, 相位差大小跟具體位置有關(guān)。而振幅從底層到表層逐漸減小但并非簡(jiǎn)單的線性或二次分布,而是復(fù)雜的雙曲分布多項(xiàng)式。除了垂直位置以外, 影響切應(yīng)力振幅和相位的主要參數(shù)為bh, 該參數(shù)是個(gè)無量綱數(shù)記為Ri

該參數(shù)代表了潮流加速作用與渦粘性的相互關(guān)系。Ri越大, 潮流加速作用越強(qiáng), 振幅就越偏離線性(圖4), 相位在垂向的差異就越大(圖5)。Ri越小, 則代表渦粘性強(qiáng), 切應(yīng)力就更接近線性分布。水深對(duì)切應(yīng)力分布的影響主要體現(xiàn)在水深越大, 摩擦力作用從底部傳遞到表層所需要的時(shí)間越長, 這也會(huì)使切應(yīng)力偏離線性分布。從江蘇近海的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來看, Ri在1—2之間, 主要與水深變化密切相關(guān), 水深越深測(cè)得的湍流切應(yīng)力越有可能偏離線性分布, 這也解釋了為什么有些學(xué)者測(cè)得的湍流切應(yīng)力較符合線性分布, 而另外一些學(xué)者得到的湍流切應(yīng)力明顯偏離線性的現(xiàn)象。

圖4 紊流切應(yīng)力振幅沿水深的變化Fig.4 Distribution of the amplitude in water depth

圖5 湍流切應(yīng)力相位隨水深變化Fig.5 Distribution of the phase in water depth

4 結(jié)論

通過潮流動(dòng)力方程推得湍流切應(yīng)力擴(kuò)散方程,并解出湍流切應(yīng)力垂向分布, 并與近海潮流流速觀測(cè)計(jì)算得到的切應(yīng)力進(jìn)行比較, 得到如下結(jié)論:

(1) 本文得到的湍流切應(yīng)力公式能夠反映潮流湍流切應(yīng)力在不同潮流階段(加速、減速、漲急、落急)的分布特征; 只有在漲急、落急前后基本符合線性分布, 在加速和減速階段明顯偏離線性分布。

(3) 本文僅考慮潮流加減速影響下的湍流切應(yīng)力分布。實(shí)測(cè)結(jié)果經(jīng)常含有風(fēng)和密度流的影響, 這使湍流切應(yīng)力分布較為復(fù)雜, 但本文的結(jié)果可以為分析實(shí)測(cè)切應(yīng)力分布提供參考。

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