☉江蘇省海門(mén)市四甲鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 朱 衛(wèi)

速算問(wèn)題藏公式，即時(shí)變式重追問(wèn)

☉江蘇省海門(mén)市四甲鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 朱 衛(wèi)

乘法公式新授課一直是教研課研討的熱點(diǎn)課題，但是過(guò)往的研討常常是先上平方差公式，再學(xué)完全平方公式，學(xué)生看上去接受很快，練習(xí)也很到位，然而當(dāng)兩個(gè)乘法公式混合在一起時(shí)，不少學(xué)困生就開(kāi)始表現(xiàn)出不適應(yīng)性，辨別公式不清，混淆使用的現(xiàn)象開(kāi)始發(fā)生．為此，筆者近期讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下），關(guān)注到著名特級(jí)教師李庾南老師關(guān)于單元教學(xué)的操作方法，決定也嘗試一下乘法公式的單元教學(xué)，在第1課時(shí)中把兩個(gè)公式都講完，第2課時(shí)再集中安排相關(guān)習(xí)題課，也取得了較好的教學(xué)效果．本文主要呈現(xiàn)第1課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)與立意解讀，提供研討．

一、乘法公式新授課教學(xué)設(shè)計(jì)

1.開(kāi)課階段，快速計(jì)算

（1）計(jì)算：①（x＋1）（x-1）；②（y＋2）（y-2）；③（a＋3）（a-3）；④（2m＋1）（2m-1）．

預(yù)設(shè)意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納出平方差公式．

（2）計(jì)算：①（x＋1）（x＋1）；②（y＋2）2；③（a-3）2；

預(yù)設(shè)意圖：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納出完全平方公式．

板書(shū)設(shè)計(jì)：在學(xué)生歸納出平方差公式、完全平方公式后在黑板上寫(xiě)出來(lái)，暫時(shí)別在前面注明公式，要引導(dǎo)學(xué)生證明公式．

2.證明公式，多元表征

（1）安排學(xué)生證明平方差公式（a＋b）（a-b）＝a2-b2.

（2）如圖1，求陰影面積時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為圖2來(lái)思考面積問(wèn)題，你能得出怎樣的等式呢？

圖1

圖2

_________＝________-________．

預(yù)設(shè)意圖：相信學(xué)生應(yīng)該能得出（a＋b）（a-b）＝a2-b2.這是啟發(fā)學(xué)生從“形”的角度認(rèn)識(shí)平方差公式的合理性，或者是從數(shù)、形兩個(gè)方面來(lái)表征平方差公式．

（3）安排學(xué)生證明完全平方公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a-b）2＝a2-2ab＋b2.

（4）思考圖3的面積時(shí)，可以轉(zhuǎn)化圖4來(lái)進(jìn)行拆分理解，你能得出怎樣的等式呢？

圖3

圖4

_________＝_________＋_________＋_________．

預(yù)設(shè)意圖：相信學(xué)生應(yīng)該能得出（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.這是啟發(fā)學(xué)生從“形”的角度認(rèn)識(shí)完全平方公式的合理性，或者是從數(shù)、形兩個(gè)方面來(lái)表征完全平方公式．

3.例題講評(píng)，變式追問(wèn)

例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算：

（1）（2x＋2）（2x-3）；（2）（-a＋2b）（-a-2b）．

預(yù)設(shè)講評(píng)：在學(xué)生獨(dú)立解題之后，追問(wèn)它們是如何理解的，即怎樣套用公式，明辨公式中的a、b是講評(píng)時(shí)的重點(diǎn)，同時(shí)對(duì)第（2）問(wèn)給出變式：（2b-a）（-2b-a），并指出，這個(gè)變式問(wèn)題可以先將其變形或轉(zhuǎn)化，方便辨識(shí)公式特點(diǎn)，減少出錯(cuò)的風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)也可以利用其他的變形技巧，比如將其變形為（a-2b）（a＋2b）．

例2運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：

預(yù)設(shè)講評(píng)：前兩問(wèn)都是直接套用公式，安排學(xué)生講清他們是如何辨明公式中的a、b是關(guān)鍵，對(duì)于第（3）問(wèn)，在解決之后，可以給出追問(wèn)：（-2m＋3）2與（3-2m）2是否相等？

例3計(jì)算：

（1）（y＋2）（y-2）-（y-1）（y＋5）；（2）102×98；

預(yù)設(shè)講評(píng)：對(duì)于第（1）問(wèn)，要讓學(xué)生明確，只有符合公式特征的才能使用公式，也就是辨明算式結(jié)構(gòu)特征是應(yīng)用公式的前提．而第（2）、（4）問(wèn)則需要恰當(dāng)?shù)牟鸱旨记桑?/p>

4.歸納小結(jié)，練習(xí)反饋

（1）通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你如何理解乘法公式與整式乘法之間的關(guān)系？

（2）學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，有人想起了角平分線性質(zhì)和線段的垂直平分線性質(zhì)，覺(jué)得它們都有某些相似之處，你能理解嗎？

預(yù)設(shè)：前面幾何學(xué)習(xí)時(shí)先學(xué)習(xí)全等三角形，進(jìn)一步再將角平分線性質(zhì)升級(jí)為定理，線段的垂直平分線性質(zhì)也是這樣，因?yàn)檫@些知識(shí)也是源于全等，但又超越全等的，乘法公式也是這樣的．

（3）一組練習(xí)：

③練習(xí)①②后，你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

④請(qǐng)?jiān)僭O(shè)計(jì)一個(gè)類似的問(wèn)題，并求解．

設(shè)計(jì)意圖：完全平方公式的結(jié)構(gòu)中有一個(gè)“2ab”，然而上述這組算式計(jì)算后一次項(xiàng)系數(shù)沒(méi)有2了，引導(dǎo)學(xué)生注意辨清系數(shù)特點(diǎn)．

二、教學(xué)立意的闡釋

1.貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，找準(zhǔn)起點(diǎn)是前提

乘法公式是在冪的運(yùn)算、整式乘法（單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式）之后學(xué)習(xí)的，特別是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開(kāi)后會(huì)有很多項(xiàng)，而且還需要合并同類項(xiàng)，常常讓學(xué)生感覺(jué)比較繁雜，然而有些具備公式特征的二項(xiàng)式乘二項(xiàng)式卻能得出非常簡(jiǎn)潔的結(jié)果，這就是本課的邏輯結(jié)構(gòu)，理解了這一點(diǎn)，學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)就找到了，這就是挑選一組簡(jiǎn)單的符合公式結(jié)構(gòu)的二項(xiàng)式乘以二項(xiàng)式，讓學(xué)生在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)潔的結(jié)果，從而為主動(dòng)歸納出公式形成基礎(chǔ)．像本課開(kāi)展階段的兩組算式就需要精心挑選，不能過(guò)分復(fù)雜，要追求班級(jí)所有學(xué)生都能運(yùn)算得到，又讓優(yōu)秀學(xué)生能自主感悟并應(yīng)用這個(gè)規(guī)律（即公式）直接優(yōu)化計(jì)算過(guò)程．

2.重視代數(shù)計(jì)算的算理，對(duì)話追問(wèn)是保證

幾何教學(xué)重視推理、論證，訓(xùn)練學(xué)生步步有據(jù)已是眾所周知之事．然而代數(shù)中運(yùn)算教學(xué)常常被忽略一點(diǎn)，就是重視算理教學(xué)．通過(guò)近一年來(lái)《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）很多同行推介李庾南老師的代數(shù)課例來(lái)看，李老師在代數(shù)運(yùn)算教學(xué)過(guò)程中，十分注意步步有據(jù)的教學(xué)，這是值得我們認(rèn)真學(xué)習(xí)的，在一些代數(shù)運(yùn)算的新授課中，我們見(jiàn)到李老師不僅強(qiáng)調(diào)逐步寫(xiě)出運(yùn)算依據(jù)，而且還要通過(guò)追問(wèn)、點(diǎn)評(píng)，使得學(xué)生明了每一步運(yùn)算的算理，比如本課中在公式證明、例題教學(xué)時(shí)注意通過(guò)追問(wèn)，在對(duì)話交流中讓學(xué)生展示他們對(duì)公式的理解，對(duì)每一步變形的理解．

3.即時(shí)變式拓展重生長(zhǎng)，開(kāi)放教學(xué)是追求

從上面的例題教學(xué)來(lái)看，我們注重了對(duì)部分例題進(jìn)行即時(shí)變式，而不是一組例題之后再來(lái)一組習(xí)題訓(xùn)練，這樣設(shè)計(jì)的目的就在于讓學(xué)生看到某一個(gè)例題或算式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變式之后就成為一個(gè)新算式，而這個(gè)新算式就需要通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖冃无D(zhuǎn)化為公式結(jié)構(gòu)，這時(shí)變式問(wèn)題的主要障礙并不在于如何套用公式，而在于如何轉(zhuǎn)化成公式結(jié)構(gòu)的樣式．根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，很多代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)性不好的學(xué)生，常常是不能快速、精準(zhǔn)地把零亂、繁雜的算式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)恼?、變形，梳理成符合公式結(jié)構(gòu)的形式，而這正需要通過(guò)例題講評(píng)之后的即時(shí)變式讓他們看到變式題、拓展題是如何生長(zhǎng)出來(lái)的．事實(shí)上，長(zhǎng)期堅(jiān)持這樣的解題教學(xué)，在反思回顧環(huán)節(jié)注重變式、拓展與追問(wèn)，也就是追求了所謂的“開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)”（鄭毓信語(yǔ)），至少這樣做，有效促進(jìn)了學(xué)生更合理的想，想得更優(yōu)化、更深入．

1.李庾南．自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］．北京：人民教育出版社，2013．

2.李庾南，陳育彬．中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007．

3.章建躍．構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）．

4.章建躍．課堂教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)的整體性［J］．中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2013（5）．

5.湯志良．步步有據(jù)：推導(dǎo)冪的運(yùn)算性質(zhì)——李庾南老師“冪的運(yùn)算性質(zhì)”課例賞析［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（5）.

6.葛媛．基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，探索“未知領(lǐng)域”——李庾南老師“分式方程”課例賞析［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（8）.H