☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué) 蔡月紅

探究一類運動問題

☉江蘇省如東縣馬塘中學(xué) 蔡月紅

縱觀這幾年的中考題，發(fā)現(xiàn)壓軸題都趨向于對動態(tài)問題的研究.此類題既能考查學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握情況，又能考查學(xué)生的綜合能力，是綜合性很強的一類題.學(xué)生遇到這種問題，總是犯難，感覺無從下手.筆者對運動中的最值和運動路徑問題進行了整理.

一、利用三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短求運動問題中的最值

1.利用三角形的兩邊之和大于第三邊求最小值

例1如圖1，已知菱形ABCD的兩條對角線的長分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一動點，則PM+PN的最小值= _________.

圖1

本題利用菱形的軸對稱性，作出點M（或者點N）關(guān)于BD的對稱點E，再連接NE或ME，交BD于點P，由三角形的兩邊之和大于第三邊可知，PM+PN的最小值即為NE或ME的長度.

2.利用三角形的兩邊之差小于第三邊求最大值

例2如圖2，拋物線y=-x2+bx+c與 x軸交于A（1，0），B（-3，0）兩點.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點，點Q在該拋物線的對稱軸上運動，當(dāng)點Q運動到何處時，使得QB-QC的絕對值最大？

圖2

本題利用拋物線的軸對稱性，連接CA，并延長CA交拋物線的對稱軸于點Q，利用三角形的兩邊之差小于第三邊可知，此時的QB-QC的絕對值最大，最大值即為QC的值.

3.利用垂線段最短求最小值

例3（1）如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3， AC=4，點D是邊AC上的一個動點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，求EF的最小值.

圖3

利用矩形的對角線相等，可知求EF的最小值就是求AD的最小值，由于點A是定點，所以當(dāng)AD⊥BC時，AD最短.然后利用等面積法就能求出AD的最小值了.

（2）如圖4，在△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，點D為BC邊上的動點，連接AD，過點A作AE∥DC，且AE=DC，求DE的最小值.

圖4

根據(jù)題意，四邊形ADCE為平行四邊形，所以DE= 2OD，求DE的最小值就是求OD的最小值，點O為定點，因此當(dāng)OD⊥BC時，OD最短.

圖5

根據(jù)條件，PQ2=OP2-OQ2，OQ是圓的半徑，它是固定值，只要OP最小，PQ就最小，當(dāng)OQ⊥AB，即點P位于點C時，OP最小，PQ也就最小.

二、利用相似或全等來確定動點的運動軌跡、路徑長

圖6

1.利用相似求動點的運動路徑長

首先，需要證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡），如圖7所示.利用相似三角形可以證明.其次，如圖8所示，利用△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即為點B運動的路徑長.

圖7

圖8

由相似求出點B運動的路徑長，可以大幅度簡化計算，但這要求學(xué)生有一定的空間想象能力和分析問題的能力.

2.利用全等探究動點的運動軌跡

圖9

例5如圖9，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)是（0，3），點C是x軸上的一個動點，點C在x軸上移動時，始終保持△ACP是等邊三角形.當(dāng)點C移動到點O時，得到等邊三角形AOB（此時點P與點B重合）.

（1）點C在移動的過程中，當(dāng)?shù)冗吶切蜛CP的頂點P在第三象限時（如圖9），求證：△AOC≌△ABP；由此你發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

（2）求點C在x軸上移動時，點P所在函數(shù)圖像的解析式.

由△AOC≌△ABP，可知點P在過點B且與AB垂直的直線上，要求點P所在函數(shù)圖像的解析式，只要求出點P的一個特殊位置，即當(dāng)點C移動到使點P在y軸上時，得點P的坐標(biāo)為（0，-3），再將B、P兩點的坐標(biāo)代入就可以求出解析式了.

圖10

例6如圖10，△ABC和△EFC都是等邊三角形，在△ABC中，AD是高，AB=2a，若點E在直線AD上運動，連接DF，則在點E運動過程中，線段DF的最小值是多少？

由于△AEC≌△BFC，所以∠CBF=∠CAE=30°，當(dāng)點E在直線AD上運動時，點F在過點B且與CB的夾角為30°的直線上運動.再利用垂線段最短，可求出DF的最小值.

三、利用圓的知識先確定點的運動路徑，再求值

1.利用90°的圓周角所對的弦是直徑來確定動點的運動軌跡

圖11

例7如圖11，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D為線段AC上一動點，連接BD，過點C作CH⊥BD于點H，連接AH，則AH的最小值是多少？

因為CH始終垂直于BD，所以點H在以CB為直徑的圓上運動，再利用兩點之間，線段最短，可知當(dāng)點H運動到線段AO上時，AH最小.

2.利用“到定點的距離等于定長的點在同一個圓上”來確定動點的運動軌跡

例8（2014年江西中考題改編）已知AC=4，AB=3，當(dāng)∠C最大時，求CB的長度.

因為AB=3，所以點B在以點A為圓心，3為半徑的圓上運動.當(dāng)CB與圓A相切時，∠C的度數(shù)最大，這時就可以利用勾股定理求出CB的長度了.

通過以上這些例子，我們可以看出，運動問題是一個復(fù)雜的動態(tài)問題，具有較強的靈活性和思考性.遇到此類問題千萬不能繞開走，只有要求學(xué)生多摸索，在不斷嘗試的過程中注意總結(jié)，在運動變化中尋找規(guī)律，這樣才能有助于解題能力的提高.H