☉江蘇省如東縣童店初級中學 李 琴

妙用“圖形的變換”，解決線段和的最值問題

☉江蘇省如東縣童店初級中學 李 琴

中考前的備戰(zhàn)歲月令所有的學生、家長、老師都具有一種凝重感，要在時間緊、容量大、要求高的條件下復習好，對于每一位初三數(shù)學老師來說，還真是一種高難度的挑戰(zhàn).基礎(chǔ)知識系統(tǒng)化復習和專題化復習是中考總復習的一條主脈線，綜合性模擬訓練和回歸教材貫穿總復習的整個過程，其中專題化復習是非常考驗教師的教育智慧的.一個有著真知灼見的教師絕對不會滿足課本、教參，他們的創(chuàng)造性教學便源于此，比如專題復習中，教師事先要通過大量的收集、整理、歸納各類問題，形成體系，方能凸顯規(guī)律和方法.

著名數(shù)學家G·波利亞說過：“一個專心的認真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得學生通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”在中考總復習中，筆者就曾經(jīng)嘗試以某些典型的例題為模型進行深入的挖掘，加以提煉引申，適當加工改造，培養(yǎng)學生思維的廣度和深度，創(chuàng)造性地解決實際問題，以期達到以少勝多、事半功倍之效.下面筆者就借用“圖形的變換”說說這個專題復習.

一、利用軸對稱變換解決線段和、差的最值問題

例1已知：如圖1所示，A、B兩村莊在一條小河的同一側(cè)，要在河邊建一自來水廠向A、B兩村莊供水，若要使廠址到A、B兩村的水管最省料，廠址應(yīng)設(shè)在哪個位置，為什么？

圖1

圖2

具體解法：如圖2，把小河抽象為直線l，作A1和A關(guān)于直線l對稱，連接A1B，與直線l交于P點，廠址位于P點時，使得PA+PB最小.

圖3

思路分析：如圖3，為什么P點能使得PA+PB最小呢？理由如下：如圖2，在直線l上任意取一點M，連接AM、BM，由軸對稱可知MA=MA1，PA=PA1，在△BMA1中，有BM+MA1>BA1，BM+MA1>BP+PA1，所以BM+MA>BP+PA，故而，廠址位于P點時，使得PA+PB的值最小.

圖4

變式1：如圖4，已知點A（1，5），B（3，-1），點M在x軸上，當AM+BM最小時，求M的坐標.

思路分析：如圖4，連接AB交x軸于點M，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則解得所以y=-3x+8，令y=0，則-3x+8=0，解得，故M的坐標為

圖5

變式2：如圖5，已知點A（1，5），B（3，1），點M在x軸上，當AM+BM最小時，求M的坐標.

思路分析：如圖5，作B和B1關(guān)于x軸對稱，連接AB1，則B1（3，-1）.設(shè)直線AB1的解析式為y=kx+b，則解得所以y=-3x+8，令y=0，則-3x+8=0，解得，故M的坐標為

點評與感悟：例1的理論根據(jù)是：“兩點之間，線段最短”，其原理是把不在同一條直線上的線段利用軸對稱轉(zhuǎn)化到同一條直線上去研究的，由此可見數(shù)學上“轉(zhuǎn)化與化歸”這一思想的重要性.本組題從研究線段和的最值問題展開，以例1為知識的生長點，把直線同側(cè)的兩點變?yōu)楫悅?cè)的兩點，這兩種圖形都置于平面直角坐標系中進行研究，利用一次函數(shù)中的待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，確定與x軸的交點坐標.

例2已知點A（1，5），B（3，1），點M在x軸上，當AMBM最大時，求M的坐標.

思路分析：連接AB并延長交x軸于M點，使得AMBM最大，理由如下：

在x軸任意取一點C（假設(shè)AC＞BC），在△ABC中，因為兩邊之差小于第三邊，所以AC-BC＜AB，即AC-BC＜AM-BM.

圖6

點評與感悟：例2的理論根據(jù)是：“兩點之間，線段最短”，其原理是把不在同一條直線上的線段利用軸對稱轉(zhuǎn)化到同一條直線上去研究的，數(shù)學上“轉(zhuǎn)化與化歸”思想的重要性不言而喻，真正起到了化難為易、化繁為簡的等價轉(zhuǎn)化的作用.本組題從研究線段差的最值問題展開，在例2的基礎(chǔ)上，把直線同側(cè)的兩點變?yōu)楫悅?cè)的兩點，這兩種圖形都置于平面直角坐標系中進行研究，通過函數(shù)知識，確定與x軸的交點坐標.

二、用平移變換解決線段和的最值問題

例3如圖7，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A→M→N→B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

具體解法：如圖8，我們可以將點A沿與河垂直的方向平移MN的距離到A1，那么為了使AMNB最短，只需A1B最短.根據(jù)兩點之間距離最短，連接A1B，交河岸于點N，在此處造橋MN，所得路徑AMNB就是最短路徑.

圖7

圖8

思路分析：如圖7，從A到B的路徑長=AM+MN+NB，由于河岸寬度是固定的，造的橋要與河垂直，因此MN的長度是固定的.要使得從A到B的路徑AMNB最短，就轉(zhuǎn)化為AM+BN最短的問題，不妨把MA沿MN的方向平移至NA1的位置，當A1、N、B三點共線時，AM+BN最短（或者把BN沿NM方向平移至MB1的位置，如圖8，當B1、M、A三點共線時，AM+BN最短）.為什么此時AM+BN最短呢？如圖9，如果在不同于MN的位置造橋M1N1.由于M1N1=MN=AA1，又根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知，A1N+NB< A1N1+N1B，即AM+NB

圖9

點評與感悟：這是人教版八年級數(shù)學上冊中最短路徑問題后的數(shù)學活動中的造橋選址問題，往年有80%的學生不能很好地理解和掌握這個問題，所以筆者認為不宜在課堂上探討，私下感興趣的可以進行探討解決，但到了初三中考備戰(zhàn)前段時間就不一樣了，學生的理解力和解題能力都空前達到了一定的高度，放在本專題中講，不僅效果好，還能起到拋磚引玉的作用.

三、以軸對稱變換為基礎(chǔ)，借助平移變換解決線段和的最值

例4在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.

（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標.

（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.

思路分析：（1）如圖10，△CDE的周長=CD+DE+EC，CD的長是固定的，當△CDE的周長最小時，也就是DE+EC最小，從而轉(zhuǎn)為例1所解決的問題.

圖10

具體解法：（1）如圖11，作點D關(guān)于x軸的對稱點D′，連接CD′與x軸交于點E.

因為OB=4，OA=3，D是OB的中點，所以O(shè)D=2，則D的坐標是（0，2），C的坐標是（3，4），所以D′的坐標是（0， -2）．設(shè)直線CD′的解析式是y=kx+b，則解得則直線的解析式是y=2x-2．在解析式中，令y=0，得到2x-2=0，解得x=1．則E的坐標為（1，0）.

圖11

圖12

思路分析：（2）如圖12，四邊形CDEF的周長=CD+DE+EF+FC，CD和EF的長是固定的，當四邊形CDEF的周長最小時，也就是DE+FC最?。慌c圖10進行比較，發(fā)現(xiàn)圖10中DE和CE有公共端點E，而圖12中DE和CF沒有公共端點，怎樣才能把圖12轉(zhuǎn)化為圖10呢？仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，把線段CF向左平移2個單位使得點F和點E重合或者把線段DE向右平移2個單位使得點E和點F重合，就能把圖12轉(zhuǎn)化為圖10進行解決了.

具體解法：（2）如圖13，作出D的對稱點D′，把C向左平移2個單位長度到C′，連接C′D′，與x軸的交點就是E，E點向右平移2個單位長度就是F.因為D′的坐標是（0，-2），所以C′的坐標是（1，4）.設(shè)直線C′D′的解析式是y=kx+b，則解得則直線的解析式是y=6x-2.在 y=6x-2中，令y=0，解得

圖13

圖14

或者把D向右平移2個單位長度的D′（2，2），作出D′的對稱點D″（2，-2），如圖14.

因為C的坐標是（3，4），設(shè)直線CD″的解析式是y=kx+ b，則解得則直線的解析式是y=6x-14.在y=6x-14中，令y=0，解得

圖15

圖16

變式：如圖15，在平面直角坐標系中，矩形ABCO，B點坐標為（4，3），拋物經(jīng)過矩形ABCO的頂點B、C，D為BC的中點，直線AD與y軸交于E點，點F在直線AD上且橫坐標為6.

（1）求該拋物線解析式并判斷F點是否在該拋物線上；

（2）如圖16，動點P從點C出發(fā)，沿線段CB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動；同時，動點M從點A出發(fā)，沿線段AE以每秒個單位長度的速度向終點E運動.過點P作PH⊥OA，垂足為H，連接MP，MH.設(shè)點P的運動時間為t秒.問EP+PH+HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果沒有，請說明理由.

（2）因為E（0，6），所以CE=CO，如圖17，連接CF交x軸于點H′，過H′作x軸的垂線交BC于點P′，當P運動到P′，H運動到H′時，EP+PH+HF的值最小.

圖17

設(shè)直線CF的解析式為y=k2x+b2，因為C（0，3）、F（6，-3），則解得所以y=-x+3.

當y=0時，x=3，所以H′（3，0），所以CP=3，所以t=3.

點評與感悟：本組題以例1和例3為知識的生長點，即以軸對稱為基礎(chǔ)，借助平移來解決問題的，綜合性很強.把例1和例3涉及的知識點放置到函數(shù)這個情境中去研究，既用到了一次函數(shù)的知識，又用到了二次函數(shù)的知識，對學生的能力要求很高，要求學生能靈活地從復雜的情境中剝離出各種簡單的基本圖形，熟練地運用各種簡單的基本圖形去解決復雜的問題.

在本專題復習中，數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終，數(shù)與形是數(shù)學中的兩個最基本的研究對象.作為一種數(shù)學思想方法，數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”.著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”簡簡單單幾句話，道盡了數(shù)形之妙.在專題復習中，尤其要重視數(shù)學思想方法的體現(xiàn)，就好比航海需要舵手的掌控，而解題能力尤其需要數(shù)學思想方法來指明解題的方向.

古希臘哲學家芝諾關(guān)于學習知識是這樣說的：“如果用小圓代表你們學到的知識，用大圓代表我學到的知識，那么大圓的面積是多一點，但兩圓之外的空白都是我們的無知面，圓越大其圓周接觸的無知面就越多.”這何嘗不是學生與教師關(guān)系的真實寫照！科學上沒有平坦的大道，真理的長河中有無數(shù)礁石險灘.只有不畏攀登的采藥者，不怕巨浪的弄潮兒，才能登上高峰采得仙草，深入水底探驪得珠.“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，唯有學習，不斷地學習，勤奮地鉆研，有創(chuàng)造性地教學，才能讓孩子們穩(wěn)妥地踩著我們的肩膀，站得更高，看得更遠.H