☉江蘇省如皋市九華鎮(zhèn)九華初級中學(xué) 夏建明

一類值得重視的代數(shù)運算應(yīng)用題
——從一道中考?？荚囶}說起

☉江蘇省如皋市九華鎮(zhèn)九華初級中學(xué) 夏建明

應(yīng)用能力是各級考試重點考查的能力之一，特別是代數(shù)應(yīng)用問題幾乎在每份中考試卷都會涉及，然而反復(fù)檢索近年來的中考試卷，卻較少發(fā)現(xiàn)考查以代數(shù)運算為主的應(yīng)用問題，后來筆者在2015年一批模考試題中竟然有所發(fā)現(xiàn)，本文就從這道?？荚囶}說起，并通過對人教版教材的研習(xí)、檢索，引起各級命題者對這類代數(shù)運算應(yīng)用題的關(guān)注．

一、由一道?？碱}說起

題目如圖1，“豐收1號”小麥的試驗田是邊長為am（a＞1）的正方形去掉一個邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗田是邊長為（a-1）m的正方形，兩塊試驗田的小麥都收獲了500kg．

圖1

（1）用含a的式子表示兩塊試驗田的單位面積產(chǎn)量.

（2）哪種小麥的單位面積產(chǎn)量高？（請給出必要的演算或說明）

（3）當(dāng)a＝26時，高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？

思路簡述：（1）“豐收1號”試驗田的面積為（a2-1）m2，它的單位面積產(chǎn)量為kg/m2；“豐收2號”試驗田的面積為（a-1）2m2，它的單位面積產(chǎn)量為kg/m2.

（2）（a2-1）-（a-1）2＝2a-2＝2（a-1）．由題意a＞1，所以2（a-1）＞0.所以（a2-1）＞（a-1）2．所以．即“豐收2號”的單位面積產(chǎn)量高．（說明：如果學(xué)生直接觀察圖形，從圖形面積的角度解釋（a2-1）＞（a-1）2，我們認為也是可以的）

研習(xí)教材：這道考題的原型來自人教版八上教材第136頁，分式乘除運算的一道例題，從上面求解來看，主要涉及分式的列式、分式的乘除運算與化簡，同時還涉及作差法比較兩式大小．對分式及其運算的考查比較到位，有著較好的區(qū)分度．

沿著這種應(yīng)用問題的角度再讀教材，我們有了很多新的發(fā)現(xiàn)，原來教材上這類代數(shù)運算的應(yīng)用問題還有很多，下面列舉幾題．

二、教材上代數(shù)運算應(yīng)用問題例舉

教材習(xí)題（人教八上教材第125頁，第12題）某種產(chǎn)品的原料提價，因而廠家決定對產(chǎn)品進行提價，現(xiàn)有三種方案：

（1）第一次提價p%，第二次提價q%；

新課改初期，針對很多數(shù)學(xué)教師對新課程的困惑，我們將教研內(nèi)容的重點放在了課堂教學(xué)上，教研活動以集體備課、公開課、研磨試題為主。定期開展包括教材分析研究、復(fù)習(xí)備考研討等主題在內(nèi)的多層次、多角度的備課活動，定期開展基于新課程理念的課堂教學(xué)交流、研討等教研活動。區(qū)域教研組的公開課主要分為骨干教師的示范課和青年教師的展示課。青年教師的展示課多以同課異構(gòu)、跨校上課的形式進行，并由專家、優(yōu)秀教師現(xiàn)場指導(dǎo)。每個模塊的教學(xué)結(jié)束后進行統(tǒng)一測評，并組織研磨試題活動。

（2）第一次提價q%，第二次提價p%；

其中p，q是不相等的正數(shù)．三種方案哪種提價最多？

思路簡述：設(shè)原料的原價是m元，p%＝a，q%＝b.

方案一：m（1＋p%）（1＋q%）＝m（1＋a）（1+b）=m（1＋a＋b＋ab）.

方案二：m（1＋q%）（1＋p%）＝m（1＋b）（1＋a）=m（1＋a＋b＋ab）.

顯然，方案一、二提價相等，需要比較方案三與前者的大小，運用作差法比較如下：

三、對命題取向和解題教學(xué)的啟示

可以發(fā)現(xiàn)僅八年級上冊教材在整式乘除運算、分式運算內(nèi)容中，只在例題或習(xí)題的“拓廣探索”的最后一題安排了兩次涉及代數(shù)運算類型的應(yīng)用問題，而且這兩章代數(shù)內(nèi)容也應(yīng)該是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，那么在各級命題中理應(yīng)有這類應(yīng)用問題的一席之地．以下圍繞相關(guān)話題提出一些操作性建議：

1.降低起點，從特例出發(fā)推廣到一般

由于以上提及的教材習(xí)題安排在“拓廣探索”欄目，教材編寫者可能是讓學(xué)有余力的學(xué)生挑戰(zhàn)這類問題，根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗，數(shù)學(xué)適應(yīng)性不好的學(xué)生難以接受這類問題，過于抽象、晦澀，讀不懂題意，作為命題研究，為了追求更多考生參與、理解這類問題，建議先安排特例引路，比如，對于教材習(xí)題，我們可以先給出一些特殊值讓更多的學(xué)生理解.

特例引路：某種產(chǎn)品的原料提價，因而廠家決定對原定價為100元的產(chǎn)品提價，現(xiàn)有三種方案：

方案一：第一次提價10%，第二次提價30%；

方案二：第一次提價30%，第二次提價10%；

方案三：第一、二次均提價20%．

三種方案中哪種提價最多？

簡評：相信經(jīng)過特例引路，應(yīng)該有更多基礎(chǔ)不好的學(xué)生能動手練習(xí)，而優(yōu)秀考生也可以借助于特例引路增加對問題的理解，然后再過渡到抽象的一般表示，讓他們感受到數(shù)學(xué)中從特殊到一般的思想方法．此外，在目前很多地區(qū)仍然是大班教學(xué)的前提下，學(xué)生的水平參差不齊，要想取得較好的教學(xué)效果，增設(shè)特例引路可能是較為現(xiàn)實的途徑．

2.挖掘教材資源，編擬代數(shù)運算應(yīng)用問題

如“?？碱}”一樣，其實源自教材例題，“題干”并沒有改變，只是下設(shè)的三個小問與教材上的兩個問題相比，梯度更加明顯，讓更多學(xué)生能參與進來，讓學(xué)生感受到分式運算的解釋力量．由此受到啟發(fā)，我們在七年級命題時，曾改編一道教材例題，也追求了從特殊到一般的命題取向.

教材探究：（人教版七上，第102頁，銷售中的盈虧）一商店在某一時間以每件60元的價值賣兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

改編設(shè)問，得到下列一系列變式問題：

變式1：某服裝店在某一時間以每件100元的價格賣出兩件服裝，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

變式2：某服裝店在某一時間以每件a元的價格賣出兩件服裝，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

變式3：某服裝店在某一時間以每件100元的價格賣出兩件服裝，其中一件盈利25%，另一件虧損20%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

變式4：某服裝店在某一時間以每件a元的價格賣出兩件服裝，其中一件盈利25%，另一件虧損10%，那么賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧？

改編意圖：變式1、變式2的目的是讓學(xué)生經(jīng)過特值引路過渡到這類問題的一般結(jié)構(gòu)；而變式3、變式4則是為了糾正學(xué)生容易形成的思維定勢，讓他們養(yǎng)成具體問題具體分析的好習(xí)慣．

四、寫在最后

數(shù)學(xué)命題研究博大精深，既需要一定的解題能力，特別是命題者本身在解題之后對問題深層結(jié)構(gòu)的揭示與洞察，又需要對所教數(shù)學(xué)的深刻理解，包括對本學(xué)段數(shù)學(xué)知識的學(xué)段特征有清晰的認知，還需要對大樣本下學(xué)生整體數(shù)學(xué)認知水平的精準(zhǔn)研判等．具體到本文關(guān)注的這類代數(shù)運算應(yīng)用問題，則是一類值得重視的命題方向，因為它反映了數(shù)學(xué)中從特殊到一般的學(xué)科特點，能讓數(shù)學(xué)適應(yīng)性優(yōu)秀的學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思維的徹底性，通過數(shù)式運算解釋的力量感．想來，研習(xí)教材、理解教材并不是很簡單的吧．

1.劉東升．經(jīng)歷問題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（4）.

2.劉東升．重視教材“活動材料”，追求變式教學(xué)效率——以一道中考模擬卷壓軸題為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（6）.

3.劉東升．“以課本為本”：誰解其中味［J］．中小數(shù)學(xué)，2013（1-2）.

4.章建躍．理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2015（1）．

5.嚴(yán)冬梅．命題到底該怎樣考查概念——以七年級上學(xué)期一些習(xí)題為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）．

6.仲進東．例談客觀題型中“把關(guān)題”的呈現(xiàn)方式［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）．H