方弦

硬幣除了可以買東西，也可以用來解決各種爭(zhēng)端。據(jù)說，遇到不可調(diào)解的分歧的時(shí)候，為了作出決定，人們的首選是猜拳，其次是拋硬幣。足球場(chǎng)上開球方的決定，習(xí)慣上也是用硬幣決定的。除此之外，硬幣作為垂手可得的小道具，也能玩出各種花樣的小游戲。對(duì)于這些小游戲，你又知道多少呢？

硬幣正反不一樣

如果硬幣兩面是完全一樣的，顯然擲出正面或者反面的可能性是均等的。我們常說，正反面出現(xiàn)的概率都是0.5。那么，這里的“概率”是什么意思呢？

如果我們不停地投擲硬幣，并記錄下每次的結(jié)果，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)正面出現(xiàn)的數(shù)量大約是全部的一半。投擲的次數(shù)越多，“出現(xiàn)正面”所占的比例就越接近0.5。這就是概率的含義：如果在許多次獨(dú)立的試驗(yàn)中，某個(gè)特定的事件發(fā)生的比例會(huì)逐漸趨近一個(gè)特定的數(shù)值，那么這個(gè)數(shù)值就被稱為這個(gè)特定事件的概率。

我們可能覺得擲硬幣時(shí)，正反面出現(xiàn)的概率是一樣的，其實(shí)不然。由于設(shè)計(jì)的原因，硬幣正反面的花紋是不一樣的，從而也導(dǎo)致了重心與中心的微小偏差。以人民幣一元硬幣來說，正面是代表面額的1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面;歐元就更麻煩了，不同的鑄幣廠會(huì)鑄出不同的背面花紋，重心偏向也因這些花紋而異。由于重心有偏向，所以擲硬幣時(shí)，正反面出現(xiàn)的概率也會(huì)有些偏差。幸好花紋導(dǎo)致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不計(jì)。

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【歐元硬幣圖案一覽】

盡管可以忽略不計(jì)，但有沒有辦法修正這個(gè)偏差呢？換句話說，能不能找到一個(gè)方法，讓有偏差的硬幣產(chǎn)生無偏差的結(jié)果呢？

假設(shè)某枚硬幣擲出正面的概率是p，我們用以下的方法產(chǎn)生拋硬幣的結(jié)果：擲兩次硬幣，如果兩次的結(jié)果相反的話，取后擲出的為結(jié)果;否則重新擲兩次。更具體地說，如果結(jié)果是“反正”的話，那就當(dāng)作擲出了正面，如果是“正反”的話，那就當(dāng)作反面，如果是“正正”或者“反反”的話，那就重新再來。這樣的話，在一次嘗試中，結(jié)果為正面和反面的概率都是p（1-p），結(jié)果是完全公平的。

正反抵消不容易

擲100次硬幣，正面和反面相差多少次呢？1000次呢？10000次呢？現(xiàn)實(shí)中的硬幣，擲出正反面的概率略有偏差，但差別之小可以看作相同。你可能會(huì)覺得，擲出正面和反面的數(shù)目有很大概率是相等的。但事實(shí)如何？

雖然根據(jù)概率論中的大數(shù)定律，正反面出現(xiàn)次數(shù)的比應(yīng)該很接近1，但這不代表正反面數(shù)目剛好抵消的概率很大。打個(gè)不太恰當(dāng)?shù)谋确?，地鐵相對(duì)來說是很準(zhǔn)時(shí)的，但是要它一天提前或者延誤的時(shí)間剛好抵消的話，還是相當(dāng)困難的。盡管得到正面和反面的概率相同，但是要它們恰好相互抵消，這也需要一點(diǎn)運(yùn)氣。稍稍用點(diǎn)數(shù)學(xué)知識(shí)可以知道，拋2n次硬幣，恰好有n次正面n次反面的概率大概是1/nπ——√。當(dāng)n越來越大，這個(gè)概率越來越趨近0。也就是說，雖然正反面出現(xiàn)的概率相同，但是它們恰好相等的概率會(huì)隨著拋硬幣的總次數(shù)變低，最后越來越接近0。

所以說，在表達(dá)數(shù)學(xué)問題時(shí)，一定要用精確的語言。意思上一點(diǎn)點(diǎn)微小的變動(dòng)，也會(huì)產(chǎn)生截然不同的結(jié)果。我們說投擲硬幣時(shí)出現(xiàn)正面的概率是0.5，說的是在許許多多次投擲后，結(jié)果中正面所占的比例會(huì)非常接近0.5，投擲次數(shù)越多，比例越接近0.5。但這并不是說比例會(huì)非常湊巧地穩(wěn)穩(wěn)停在0.5。實(shí)際上，在很多情況下，這個(gè)比例會(huì)不停地在0.5周圍浮動(dòng)，但浮動(dòng)的幅度會(huì)越來越小，也會(huì)越來越靠近0.5。某幾次投擲之后正面恰好占一半，這種情況發(fā)生的機(jī)會(huì)反而很小。

誰先誰后輕松選

如果你跟你的小伙伴一起玩游戲要決定誰先誰后的話，拋個(gè)硬幣是個(gè)很好的解決方案。但是如果小伙伴不止一位的話，單靠硬幣可能就不太容易解決問題了。如果要從四個(gè)人里公平地挑出一個(gè)，擲兩次硬幣，將四種不同的結(jié)果（正正、正反、反正、反反）分別指派給每個(gè)人，擲出哪種結(jié)果就選哪個(gè)人，這種方法還是挺方便的。但如果只有三個(gè)人呢？

三個(gè)人的時(shí)候，有一種比較顯而易見的解決方法：同樣擲兩次硬幣，將正正、正反、反正三種結(jié)果指派給三個(gè)人，如果擲出的結(jié)果是指定的結(jié)果之一，那么就選出對(duì)應(yīng)的人;否則，如果運(yùn)氣不好擲出“反反”的話就重新開始另一輪硬幣的投擲。顯然這種方法保證了公平性，因?yàn)樵诿枯啍S硬幣中，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率是相同的。但會(huì)不會(huì)運(yùn)氣不好，一連好幾輪都擲出“反反”，需要重新開始？

我們可以算一算。每一輪擲出“反反”重新開始的概率恰好是1/4，而n輪都出現(xiàn)如此情況的概率是1/4的n次方，當(dāng)n越來越大的時(shí)候，這個(gè)概率很快地會(huì)變得越來越小。直觀看來，一輪不能決出結(jié)果的概率也不高，所以大概不需要拖上很長時(shí)間。更嚴(yán)格的計(jì)算表明，用這種方案從三個(gè)人中選出一個(gè)，平均只需要投擲8/3次硬幣就能完成，算上來大約比兩次多一點(diǎn)點(diǎn)，說明這種方法還是很有效的。

實(shí)際上，這種方法可以推廣到任意人數(shù)，而且也能證明，平均需要投擲硬幣的次數(shù)一定不會(huì)太多，隨著人數(shù)增長，平均投擲次數(shù)也會(huì)增長，但是要緩慢得多。

尼姆游戲有乾坤

硬幣除了能解決分歧，還能用來玩玩游戲。其中一種游戲非常有名，叫“尼姆游戲”。這個(gè)游戲的玩法很簡(jiǎn)單，先將硬幣分成幾堆，然后兩個(gè)人輪流取硬幣，每次取硬幣只能從同一堆中取出，枚數(shù)不限，但至少要取一枚，取走最后一枚硬幣的就是贏家。

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【尼姆游戲很流行的一個(gè)版本】

比如說，甲乙二人玩這個(gè)游戲，開局有三堆硬幣，分別有3、5、7枚。甲先取走第二堆中的4枚，每堆剩下3、1、7枚，接下來乙取走第三堆的所有硬幣，剩下的就分別是3、1、0枚。接下來甲只要取走第一堆中的2枚，留給乙的就是各自有一枚硬幣的兩堆。這時(shí)，乙只能取走其中一堆，而甲只需要拿走剩下的一堆就能獲勝。

從這個(gè)例子能看出來，尼姆游戲中沒有運(yùn)氣的成分，每位玩家都能看清整個(gè)局勢(shì)，而玩家能采取的行動(dòng)也是一樣的，區(qū)別只是在于一位先攻而另一位后守。在博弈論這一研究游戲取勝策略的數(shù)學(xué)分支中，這樣的游戲被稱為無偏博弈。也正是博弈論中的一個(gè)定理，賦予了尼姆游戲一個(gè)非常特殊的地位：任意給定一個(gè)無偏博弈，它都對(duì)應(yīng)一個(gè)推廣了的尼姆游戲的特例?？梢哉f，尼姆游戲中包含了所有的無偏博弈，比如象棋、圍棋等，盡管這些更為復(fù)雜的游戲，它們對(duì)應(yīng)的尼姆游戲特例中可能有很多堆硬幣，每堆硬幣可能會(huì)很多，甚至有無窮枚，需要用更為抽象的“序數(shù)”來描述。

讓我們回到普通的尼姆游戲中。在之前的例子中，如果甲乙雙方都依照最好的策略來玩尼姆游戲，哪一方將會(huì)勝出，而勝者需要采取怎么樣的策略？這個(gè)問題就留給小讀者們思考了。給個(gè)提示：最優(yōu)策略與二進(jìn)制有關(guān)，如果只有兩堆硬幣的話，獲勝者與策略都比較明顯，如果有三堆甚至更多的硬幣的話，從簡(jiǎn)單的情況開始，試驗(yàn)一下，再觀察一下，將每堆的數(shù)量用二進(jìn)制寫出來，到底滿足什么樣的條件，先走者會(huì)勝利呢？

硬幣陣列需策略

另一種與尼姆游戲很相似的硬幣游戲叫“大嘴巴”，英語里叫“Chomp”。尼姆游戲的戰(zhàn)場(chǎng)是一堆硬幣，而“大嘴巴”的戰(zhàn)場(chǎng)則是排成長方形陣列的硬幣。規(guī)則與尼姆游戲非常類似：一開始桌面上擺放著m×n的長方形硬幣陣列（比如說5×7），兩人輪流取硬幣，每次指定桌面上剩下的硬幣之一，然后將這枚硬幣以及它右下方的所有硬幣都取走（包括正右方與正下方），陣列左上方的硬幣是特殊硬幣，誰拿到手誰就輸?shù)粽麍?chǎng)游戲。

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【3×5的大嘴巴游戲過程舉例】

雖然“大嘴巴”與尼姆游戲非常相似，但它們的性質(zhì)相當(dāng)不同。對(duì)于尼姆游戲而言，在不同的開局中，能取勝的玩家也不同，有的是先手必勝，有的是后手必勝，而且策略很容易算出來。但對(duì)于“大嘴巴”而言，除了一開始只放一枚硬幣的開局，對(duì)于所有開局來說，都是先手必勝。雖然證明并不復(fù)雜，但并沒有給出具體的獲勝策略。要知道具體的獲勝策略，目前還只能借助計(jì)算機(jī)的力量。所以，比起尼姆游戲，“大嘴巴”更有趣更復(fù)雜，更適合跟朋友一起玩。

叫上你的小伙伴，拿上一把硬幣，立刻探索一下簡(jiǎn)單游戲的樸素樂趣吧！

（依據(jù)果殼網(wǎng)整合）