梁笑天，袁行飛

（浙江大學(xué) 空間結(jié)構(gòu)研究中心，浙江 杭州310058）

在大跨度空間結(jié)構(gòu)體系迅速發(fā)展的近20年中，以索、桿結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的組合形式一直被國內(nèi)外工程師所廣泛使用，如1996年亞特蘭大奧運(yùn)會主體育場——喬治亞穹頂采用了索穹頂結(jié)構(gòu)；2008年北京奧運(yùn)會主場館——北京工業(yè)大學(xué)體育館采用了弦支穹頂結(jié)構(gòu).索穹頂結(jié)構(gòu)是由脊索、斜索和環(huán)索構(gòu)成的連續(xù)張力索網(wǎng)和不連續(xù)的壓桿組成；弦支穹頂結(jié)構(gòu)則是由上層單層球面網(wǎng)殼和下層環(huán)索、斜索通過豎桿連接而成［1］.在這些結(jié)構(gòu)中，壓桿兩端或一端與索連接，故稱其為索支撐壓桿.在現(xiàn)有的整體結(jié)構(gòu)有限元分析中，通常將壓桿直接簡化為單個(gè)桿單元，因此，只能考慮結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)或由于節(jié)點(diǎn)的塌陷導(dǎo)致的局部失穩(wěn)，而不能考慮壓桿屈曲對于結(jié)構(gòu)性能的影響［2-4］.目前，采取吳柏生［5-6］所提出的計(jì)算方法進(jìn)行彈性支撐壓桿的失穩(wěn)計(jì)算，其指出存在一個(gè)由桿的長度以及抗彎剛度決定的支撐剛度閾值（Kcr），即當(dāng)支撐剛度從0增加到該閾值時(shí)桿的屈曲荷載也隨之增加，而當(dāng)支撐剛度超過該閾值時(shí)桿的屈曲荷載與兩端剛性支撐鉸支桿相同.對于張拉整體結(jié)構(gòu)，國內(nèi)羅堯治等［7］取閾值Kcr=；對于索穹頂結(jié)構(gòu)，闞遠(yuǎn)等［8］取閾值Kcr=.本文采用彈性支撐鉸支桿模型，對大跨空間結(jié)構(gòu)中常用的兩類索支撐壓桿——兩端索支撐壓桿和一端剛性桿支撐一端索支撐壓桿利用ANSYS軟件進(jìn)行非線性有限元分析，探討支撐索不同初始預(yù)應(yīng)力、壓桿初始缺陷和支撐桿不同剛度對壓桿及索桿單元穩(wěn)定性的影響.

1 彈性支撐壓桿屈曲分析相關(guān)理論與計(jì)算假定

1.1 彈性支撐壓桿屈曲分析理論

設(shè)一長為L，抗彎剛度為EI（E為彈性模量，I為截面慣性矩）的桿兩端鉸接于剛度為K的彈性支撐上，一端承受大小為P的橫向荷載（圖1）.

圖1 兩端彈性支撐鉸支桿Fig.1 Centrally compressed strut with elastic restrains

將原有變量代入式（1）可得

當(dāng)K＜Kcr時(shí)，最小屈曲荷載Pcr=KL／2；當(dāng)K≥Kcr時(shí)，最小屈曲荷載Pcr=π2EI／L2，即此時(shí)的屈曲荷載等于兩端鉸支桿的屈曲荷載.

式（3）與文獻(xiàn)［7］中的閾值取值相同，與文獻(xiàn)［8］中的閾值取值不同的原因是選取的計(jì)算模型不同.前者選取的是兩端鉸支桿的計(jì)算模型，而后者選取的是兩端夾緊桿的計(jì)算模型.考慮到索和桿的實(shí)際連接方式，認(rèn)為兩端鉸支桿的計(jì)算模型更為準(zhǔn)確.

1.2 預(yù)應(yīng)力索的剛度

由于索本身具有“只拉不壓”的特殊性質(zhì)，索的

有實(shí)際意義的僅是最低的屈曲荷載，于是可得到支撐剛度閾值受力狀態(tài)與普通彈性支撐存在一定的區(qū)別.索的剛度由3部分組成：彈性剛度、重力剛度和幾何剛度.彈性剛度取決于索的彈性模量、截面積和受力狀態(tài).當(dāng)索處于受拉狀態(tài)時(shí)，彈性剛度服從胡克定律；當(dāng)索力減小至0時(shí)，喪失軸向彈性剛度.重力剛度則只有在索擁有充分垂度時(shí)才會逐漸顯現(xiàn)出來，不同于懸索結(jié)構(gòu)，索桿張力結(jié)構(gòu)中索的長度一般較短，重力剛度一般可以忽略不計(jì).幾何剛度存在于與索軸相垂直的方向，與索拉力和長度有關(guān)，但是一般比彈性剛度和重力剛度小得多［9］.

假設(shè)索在初始態(tài)的長度為L0，預(yù)應(yīng)力態(tài)的長度為L1，荷載態(tài)的長度為L，則支撐壓桿的索的總彈性剛度為

式中：N為支撐壓桿的索根數(shù)，E為索彈性模量，A為單根索截面積，k為單根索的彈性剛度.對內(nèi)蒙古伊旗全民健身體育中心索穹頂結(jié)構(gòu)體系［10］進(jìn)行分析，支撐壓桿的彈性模量取2.06×105MPa，根據(jù)式（3）計(jì)算得到不同尺寸的壓桿的支撐剛度閾值如表1所示，選用Q345 B鋼材可以保證表中所列壓桿在彈性范圍內(nèi)屈曲.而對于預(yù)應(yīng)力索，彈性模量取1.9×105MPa，索型號為 Φ32，長10 m，則根據(jù)式（5）計(jì)算得到預(yù)應(yīng)力索對壓桿提供的支撐剛度為15 281 k N／m，遠(yuǎn)大于表1中壓桿的支撐剛度閾值.以上計(jì)算表明：此時(shí)僅單根索提供的支承剛度足以使得壓桿的屈曲荷載與兩端鉸支約束的桿件屈曲荷載相同.對不同尺寸及形式的結(jié)構(gòu)的大量計(jì)算結(jié)果表明：對于絕大多數(shù)索桿張力結(jié)構(gòu)，在預(yù)應(yīng)力索不松弛的情況下，兩端有索支撐的壓桿的臨界荷載可取計(jì)算長度為原長的壓桿臨界荷載值.

1.3 計(jì)算假定

對兩類索支撐壓桿——兩端索支撐壓桿和一端剛性桿支撐、一端索支撐壓桿受力性能進(jìn)行數(shù)值模擬，分析中采用如下假定：

1）兩端索支撐壓桿模型中，索與壓桿連接的一端為鉸接，另一端為固接；

2）一端剛性桿支撐一端索支撐的壓桿模型中，剛性桿和索與壓桿連接的一端為鉸接，另一端為固接；

3）2種計(jì)算模型中壓桿的兩端均可移動，移動幅度取決于上下索的剛度、預(yù)應(yīng)力和剛性桿的剛度.

表1 已建工程中壓桿支撐剛度閾值計(jì)算Tab.1 Calculation of rods'support stiffness threshold in established project

2 兩端索支撐壓桿受力性能

在索穹頂結(jié)構(gòu)中，壓桿兩端與上部脊索、下部斜索及環(huán)索相連.建立兩端分別與3根索相連的壓桿模型（圖2），壓桿使用BEAM 188單元，為模擬壓桿的屈曲，壓桿在建模中用多段梁單元代替桿單元.壓桿長度為10.00 m，外徑為0.20 m，內(nèi)徑為0.18 m，彈性模量為2.06×105MPa.拉索長度為6.00 m，直徑為0.04 m，彈性模量為1.90×105MPa，每根索與壓桿的夾角為60°，使用LINK 10單元模擬.索的一端固接，另一端與壓桿端部耦合，索初始應(yīng)變?yōu)?.001 0.

采用有限元進(jìn)行壓桿的非線性屈曲分析，當(dāng)壓桿的單元劃分?jǐn)?shù)在8個(gè)以上時(shí)，其臨界荷載穩(wěn)定在某一固定值［11］.本例中壓桿劃分為10個(gè)梁單元.對桿件施加初始缺陷，缺陷采用正弦半波的形式y(tǒng)=，式中L0為桿件長度，N=250.

2.1 壓桿屈曲全過程分析

兩端預(yù)應(yīng)力索約束下的壓桿模型如圖2所示，對壓桿上節(jié)點(diǎn)施加沿壓桿軸向的荷載，壓桿發(fā)生變形，如圖3所示.壓桿受力過程中節(jié)點(diǎn)的荷載-位移曲線如圖4所示，其中位移為已扣除壓桿支座位移的頂端軸向位移.

在荷載施加初始階段，節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線基本為線性，對應(yīng)上部索力逐漸減小.當(dāng)荷載增加到423.56 k N（點(diǎn)a）時(shí)，上部支撐索索力Fc為零（圖5），索松弛，但此時(shí)單元仍能繼續(xù)承載，壓桿的內(nèi)力繼續(xù)增大（圖6）.

當(dāng)壓桿的內(nèi)力FN增加到512.56 k N（點(diǎn)b）時(shí)，節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線與壓桿內(nèi)力-位移曲線斜率均發(fā)生較大變化.荷載增加較緩慢時(shí)，壓桿頂點(diǎn)位移即迅速增大，此時(shí)可認(rèn)為桿件發(fā)生屈曲.

圖2 兩端預(yù)應(yīng)力索約束下的壓桿Fig.2 Strut supported by prestressed cables

圖3 索桿結(jié)構(gòu)變形圖Fig.3 Deformation of cable-strut element

圖4 節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線Fig.4 Nodal load-displacement curve

圖5 上部索內(nèi)力隨外荷載變化曲線Fig.5 Relationship between nodal load and upper cableforce

圖6 壓桿內(nèi)力-位移曲線Fig.6 Relationship between internal force of strut and displacement

上例中的壓桿若按照兩端鉸支約束計(jì)算，則其臨界荷載為

非線性分析得到的屈曲荷載512.56 k N與式（6）相近，由于初始缺陷的影響，比上述歐拉臨界荷載略小.

2.2 索初始預(yù)應(yīng)變的影響

對索施加不同初始預(yù)應(yīng)力可通過改變索初始預(yù)應(yīng)變實(shí)現(xiàn)，在外荷載不斷增加的過程中，索內(nèi)力基本線性減?。▓D7）.ε為索初始應(yīng)變，而節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線斜率亦保持不變.當(dāng)上部拉索內(nèi)力Fc減小至0后，節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線斜率發(fā)生變化（圖8），此后，索初始預(yù)應(yīng)變的不同對于結(jié)構(gòu)的受力情況影響不大，不同初始預(yù)應(yīng)力下結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線逐漸趨近.

圖7 不同預(yù)應(yīng)變下索力隨荷載變化圖Fig.7 Internal force of cable with different initial strain

圖8 不同預(yù)應(yīng)變下結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)荷載-位移圖Fig.8 Nodal load-displacement curve of cable-strut element with different initial strain

2.3 初始缺陷的影響

對壓桿引入不同幅值的初始缺陷，得到圖9所示的節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線，δ為壓桿初始缺陷.在施加荷載前期，不同缺陷的桿件差別不大，因?yàn)榇藭r(shí)結(jié)構(gòu)由上部預(yù)應(yīng)力索承擔(dān)了較大外荷載，達(dá)到臨界荷載后，缺陷的大小對于壓桿的受力性能存在影響，但是影響不大.

圖9 不同缺陷下結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)荷載-位移圖Fig.9 Nodal load-displacement curve of cable-strut with different initial imperfections

3 一端剛性桿支撐、一端索支撐的壓桿受力性能

弦支穹頂中壓桿一端與單層球面網(wǎng)殼的節(jié)點(diǎn)相連，一端與預(yù)應(yīng)力拉索連接（如圖10所示），共同發(fā)揮單層網(wǎng)殼和張拉體系的優(yōu)勢.弦支穹頂剛度比索穹頂大，中間壓桿的受力性能很大程度上取決于上部桿件的剛度及桿件與壓桿之間的角度.取壓桿長度為5.00 m，外徑為0.15 m，內(nèi)徑為0.13 m，上部桿件直徑為0.10 m，長度為2.61 m，夾角為85°.桿件連接壓桿的一端鉸接，另一端固接.拉索長度3.00 m，直徑為0.04 m，彈性模量為1.90×105MPa，每根預(yù)應(yīng)力索與壓桿夾角為60°，索初始應(yīng)變?yōu)?.002 0.在非線性有限元計(jì)算中，采用BEAM188單元模擬上部剛性桿，使用弧長法求解.

3.1 索桿單元屈曲全過程分析

在上部桿件與壓桿的交點(diǎn)處施加荷載，方向沿壓桿軸向，節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線為非線性，如圖11所示.當(dāng)壓桿內(nèi)力FN=661.12 k N（圖12中點(diǎn)a）時(shí)，壓桿首先發(fā)生屈曲，由于上部壓桿的約束，壓桿不會發(fā)生過大位移.整個(gè)體系仍保有承載能力，可繼續(xù)承載，直到達(dá)到最大荷載1 396.99（點(diǎn)b），此時(shí)壓桿內(nèi)力為692.15 k N，上部桿件的軸力Fu為4 362.18 k N（圖13）.繼續(xù)跟蹤節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線，整個(gè)體系

圖10 弦支穹頂中的壓桿單元Fig.10 Cable-strut element in suspen-dome

圖11 節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線Fig.11 Nodal load-displacement curve

圖12 壓桿內(nèi)力-位移曲線Fig.12 Relationship between internal force of strut and displacement

圖13 上部桿件軸力隨節(jié)點(diǎn)荷載變化曲線Fig.13 Relationship between nodal load and upper rigid rods force

由于初始缺陷的影響，上式結(jié)果稍大于點(diǎn)a對應(yīng)的荷載值661.12 k N.由此可見，一端剛性桿支撐一端索支撐的壓桿雖然先發(fā)生屈曲，但是由于上部桿件的約束作用，體系仍然可以繼續(xù)承載，直至整個(gè)壓桿體系失穩(wěn).

3.2 索初始預(yù)應(yīng)力的影響

不同索預(yù)應(yīng)力情況下，在承受荷載初期，3種不同模型的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線（見圖14）和壓桿內(nèi)力-位移曲線（見圖15）基本重合.索桿單元中的出現(xiàn)類似空間網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)典型的跳躍失穩(wěn)現(xiàn)象，上部桿件軸力在短時(shí)間內(nèi)由4 362.18k N（點(diǎn)b）降為0（點(diǎn)c），此時(shí)節(jié)點(diǎn)荷載值降為1 049.25 k N.

圖14 不同預(yù)應(yīng)變下結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線Fig.14 Nodal load-displacement curve of cable-strut with different initial strain

圖15 不同預(yù)應(yīng)變下結(jié)構(gòu)的壓桿內(nèi)力-位移曲線Fig.15 Relationship between internal force of strut and displacement with different initial strain

索桿單元屈曲全過程分析中的壓桿若按照兩端鉸支約束計(jì)算，則其臨界荷載為壓桿先于整個(gè)體系屈曲，預(yù)應(yīng)力只對壓桿初始內(nèi)力有影響，而對結(jié)構(gòu)的整體剛度影響不大，原因是此時(shí)預(yù)應(yīng)力索只存在于索桿單元下部，隨著結(jié)構(gòu)的變形，下部索拉力持續(xù)增大，不會出現(xiàn)如兩端均為索支撐的壓桿單元中上部拉索松弛的現(xiàn)象，故對于由預(yù)應(yīng)力索和上部桿件共同作用的索桿單元，索預(yù)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)的影響不明顯.節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線何時(shí)進(jìn)入下降段主要取決于上部桿件達(dá)到極值點(diǎn)的時(shí)間.

3.3 上部桿件剛度的影響

改變上部桿件的截面積，研究上部桿件剛度對壓桿性能的影響，得到節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線（圖16）和壓桿內(nèi)力-位移曲線（圖17），D為上部桿件的直徑.可以看出，索桿單元中的壓桿先于整個(gè)體系屈曲，壓桿內(nèi)力-位移曲線不會因上部桿件剛度的不同而發(fā)生變化.但是在節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線中，當(dāng)荷載較小時(shí)，上部桿件直徑不同對曲線的影響不大，隨著荷載的繼續(xù)增大，壓桿屈曲后，曲線呈非線性變化，3條曲線的極值點(diǎn)值分別為1 135.31、1 256.70和1 396.99 k N.壓桿屈曲荷載不會因上部支撐桿件剛度的不同而發(fā)生改變，接近于式（7）的計(jì)算結(jié)果.整個(gè)壓桿體系屈曲荷載將隨著上部剛性桿面積的增大有不同程度的提高.

4 結(jié) 論

圖16 不同剛度上部桿件對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線Fig.16 Nodal load-displacement curve of cable-strut with different rigidity of upper rods

圖17 壓桿內(nèi)力-位移曲線Fig.17 Relationship between internal force of strut and displacement

（1）兩端索支撐壓桿的屈曲荷載基本符合吳柏生［5-6］所提出的計(jì)算方法，壓桿內(nèi)力-位移曲線斜率發(fā)生較大轉(zhuǎn)折處對應(yīng)的荷載值接近于按照兩端鉸支計(jì)算的桿的歐拉臨界荷載.

（2）兩端索支撐壓桿中，索的預(yù)應(yīng)力對于節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線存在影響，當(dāng)上部預(yù)應(yīng)力索松弛后節(jié)點(diǎn)荷載-位移曲線斜率會發(fā)生變化，此時(shí)壓桿只有下部索的支撐.

（3）對于一端索支撐一端剛性桿支撐的壓桿，壓桿的屈曲先于整個(gè)壓桿體系的屈曲，壓桿的臨界荷載值可以近似取為按照兩端鉸支桿的歐拉臨界荷載.在壓桿屈曲后，由于上部桿件的約束作用，結(jié)構(gòu)仍然可以繼續(xù)承載，直至上部桿件發(fā)生跳躍屈曲使得結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn).

（4）本文研究了不同彈性支撐對單個(gè)索桿單元屈曲性能的影響，考慮到實(shí)際工程中通常存在多個(gè)單元的連接，且各單元之間存在相互作用，因此，單個(gè)索桿單元中的壓桿發(fā)生屈曲后的結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性仍然有待研究.

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