☉江蘇省張家港市妙橋中學(xué) 楊春東

數(shù)學(xué)模型應(yīng)來自常態(tài)課堂
——以“相似三角形”復(fù)習(xí)為例

☉江蘇省張家港市妙橋中學(xué) 楊春東

模型思想是初中階段最為重要的數(shù)學(xué)思想之一，建立模型思想將有利于學(xué)生“體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系”.因此，一線教師都十分重視數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)和應(yīng)用，但對(duì)于數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)的確存在著很多的誤解，有些老師認(rèn)為數(shù)學(xué)模型一定要在新授課上建構(gòu).為此，他們?cè)谛率谡n上用很大的精力，而在其他類型的課上則很少考慮到讓潛在的數(shù)學(xué)模型顯性，這顯然是不妥的.近期就在“相似三角形”復(fù)習(xí)課上，筆者用一道例題順利抽象出了對(duì)學(xué)生今后學(xué)習(xí)影響很大的數(shù)學(xué)模型，提升了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.現(xiàn)呈現(xiàn)這則片斷并談一些個(gè)人感悟，希望能給你帶來啟示.

一、“相似三角形”復(fù)習(xí)片斷

例題如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）.

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

圖1

教師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真閱讀題目，將文本中的信息在圖形中標(biāo)注出來，并試著去找到問題解決的思路.

學(xué)生審題，標(biāo)記并作圖.5分鐘后，全班交流.教師：說說你們的發(fā)現(xiàn)吧！

學(xué)生1：根據(jù)題意可得，△PAD和△PBC中，∠A＝∠B＝90°.如果△PAD與△PBC是相似三角形，那么，頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)B一定是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

學(xué)生2：對(duì)！接下來，就是另外兩對(duì)頂點(diǎn)如何對(duì)應(yīng)的問題了！

教師：哦！是嗎？

學(xué)生3：是的.如圖2，△PAD的頂點(diǎn)P與△PBC的頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)，也就是∠DPA＝∠PCB.易得，∠DPC與∠A、∠B一樣，也是直角.

圖2

教師：你真棒！此時(shí)，在直線AB上一共分布著幾個(gè)直角的頂點(diǎn)？

學(xué)生4：三個(gè).

教師：這種圖形常見嗎？

學(xué)生5：常見！

教師：對(duì)！在一條直線上有三個(gè)具有密切聯(lián)系的直角的頂點(diǎn)，我們能給這種圖形起個(gè)名嗎？

學(xué)生6：一線三直角！

教師：好的！就叫“一線三直角”模型吧.這道題中還有這樣的模型嗎？

學(xué)生7：有！如圖3，這時(shí)點(diǎn)P的位置與圖2相比離B點(diǎn)近了些.

教師：你是怎么發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)點(diǎn)的呢？

學(xué)生8：根據(jù)“∠A、∠B和∠DPC都是直角”，我用直角三角板的直角頂點(diǎn)在AB邊上滑動(dòng)，同時(shí)，不停旋轉(zhuǎn)直角使其兩邊同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)C和點(diǎn)D，我一下子就找到了圖2和圖3中的兩個(gè)點(diǎn)P.

教師：不錯(cuò)！用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法我們可以發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)點(diǎn).你們還有其他方法嗎？

學(xué)生9：我是用作圖的方法得到的，如圖4，我以CD為直徑作圓，交AB于點(diǎn)P，兩個(gè)點(diǎn)就同時(shí)出現(xiàn)了！

教師：這又是什么道理呢？學(xué)生10：直徑所對(duì)的圓周角是直角.

教師：看來，為了構(gòu)建出符合題意的“一線三直角”模型，同學(xué)們還是蠻拼的！

學(xué)生11：我覺得這道題中不光有“一線三直角”模型，當(dāng)兩個(gè)三角形中的點(diǎn)P是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)時(shí)，如圖5，∠DPA＝∠CPB.這個(gè)圖有點(diǎn)像物理上的“光線的反射”，此時(shí)兩個(gè)三角形同樣是相似的.

圖3

圖4

教師：真不錯(cuò)，你竟然還能將物理上的模型移植到數(shù)學(xué)上來！“一線三直角”模型和“光線的反射”模型是不同學(xué)科的模型，我們能將其歸為一類嗎？

（教師稍作停頓，等待學(xué)生給出答案，學(xué)生安靜下來陷入沉思）

教師：我們可以試著從圖形上進(jìn)行歸納.（同時(shí)投影圖2、圖3和圖5）

教師：前面不是剛學(xué)了相似三角形中的“8字形”和“A字形”嗎？我們也可以用數(shù)字或字母來表示這個(gè)基本圖形的.

學(xué)生12：我感覺將這三幅圖旋轉(zhuǎn)90°后，都有一個(gè)字母K.

學(xué)生13：我也發(fā)現(xiàn)了.所以，我給它們?nèi)∶麨椤癒形圖”！

教師：嗯，確實(shí)像！好的，我們就將具備這種特征的圖形叫“K形圖”！通過作出符合題意的所有的“K形圖”，這道題中符合要求的點(diǎn)P一共有幾個(gè)呢？

學(xué)生（齊答）：3個(gè)！

片斷分析：在學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中，幾何圖形因其具有直觀性，作為數(shù)學(xué)模型是最容易被學(xué)生接受的.幾何圖形因其在外形上具有相似之處，所以，我們常可以將一項(xiàng)較為接近的圖形抽象為基本圖形，形成數(shù)學(xué)模型，使之成為學(xué)生解決幾何問題的重要工具.片斷中，教師引導(dǎo)學(xué)生從探究P點(diǎn)的位置入手，挖掘題中可能存在的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行了適時(shí)歸納，通過學(xué)生之口將“一線三直角”模型、“光線反射”模型，以及“K形圖”模型一并依次呈現(xiàn).在此過程中，學(xué)生不僅關(guān)注了“形”上的相似，還理清了這些模型的知識(shí)起點(diǎn)和數(shù)學(xué)道理，為今后解題應(yīng)用掃清了障礙.這樣的教學(xué)，以例題求解為抓手，突出解題一般方法的呈現(xiàn)，將模型思想滲透到教學(xué)之中，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，提升了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

圖5

二、教學(xué)反思

1.把握教學(xué)契機(jī)，適時(shí)建構(gòu)模型

模型建構(gòu)應(yīng)以適時(shí)為宜.俗話說，強(qiáng)扭的瓜不甜.如果為了讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)模型，在學(xué)生的知識(shí)與能力儲(chǔ)備不足、教學(xué)時(shí)機(jī)尚不成熟之時(shí)，就在教學(xué)進(jìn)程之中“強(qiáng)勢(shì)推出”，學(xué)生是無法感知數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)數(shù)學(xué)模型融入學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)是十分不利的.因此，模型教學(xué)應(yīng)融合到正常的教學(xué)進(jìn)程之中，只要到了模型“成熟”之時(shí)，無論是什么課型，什么教學(xué)內(nèi)容，我們都應(yīng)讓其順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知需求，順勢(shì)將這些模型歸納并推出，使之快速進(jìn)入到學(xué)生的視野，成為學(xué)生分析問題和解決問題的工具.本文中共呈現(xiàn)了三個(gè)模型，其中“光線的反射”是學(xué)生已經(jīng)掌握的物理模型，當(dāng)然，也是一種常見的數(shù)學(xué)基本圖形，“一線三直角”模型和“K形圖”模型是相似三角形中的重要模型，是學(xué)生獲取相似三角形的知識(shí)及應(yīng)用相似三角形解決問題的重要工具.“相似三角形”的新授課上，這些數(shù)學(xué)模型并不具備生成基礎(chǔ)，只有當(dāng)學(xué)生獲得了相似三角形的整章知識(shí)，通過一定量的練習(xí)加以鞏固，才能夯實(shí)模型生成的基礎(chǔ).所以，我們應(yīng)將這些模型的教學(xué)安排在“相似三角形”復(fù)習(xí)課上，用一道例題建構(gòu)出探究情境，學(xué)生在分析問題過程中提取出先期獲得的相似三角形的知識(shí)，形成知識(shí)提取與應(yīng)用的“思維鏈”，并不斷鞏固、強(qiáng)化這些思維鏈上的知識(shí)關(guān)聯(lián)，從而順勢(shì)建構(gòu)出符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基本圖形（一線三直角，K形圖等），讓這些原本存在于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)模型“現(xiàn)身”.

2.疊加多維元素，建構(gòu)適量模型

數(shù)學(xué)模型的形式是多樣的，有方程、不等式、函數(shù)等代數(shù)模型，也有幾何中融合著特殊位置關(guān)系和特殊數(shù)量關(guān)系的基本圖形，還有統(tǒng)計(jì)與概率中的數(shù)據(jù)模型和概率模型.由此可見，參與數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的元素應(yīng)是多維的，基本知識(shí)、幾何圖形的位置、形狀、大小、數(shù)字、符號(hào)等都可能參與到數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)之中.當(dāng)然，數(shù)學(xué)模型應(yīng)選擇其中最具代表性的元素特征作為模型特征.以本文中所述的“K形圖”模型為例，相似三角形（或全等三角形）是這些模型的圖形基礎(chǔ)，“對(duì)應(yīng)角知識(shí)相等、對(duì)應(yīng)邊成比例（或相等）”是模型的知識(shí)基礎(chǔ)，圖形中存在的“K字”是外形基礎(chǔ).在這些元素中，學(xué)生抓住了圖形的外形都與“字母K”相似這一特征，將圖2、圖3、圖5歸納為“K形圖”模型，將學(xué)生歸納的“一線三直角”模型和物理上的“光線的反射”模型整合成了一個(gè)模型.所以，我們?cè)诮虒W(xué)中，要充分關(guān)注組成數(shù)學(xué)模型的各種不同元素的共性特征，選取最具代表性的特征作為模型特征.很明顯，數(shù)學(xué)模型應(yīng)以適用為前提，數(shù)量適中，不宜過多.對(duì)于一些有明顯關(guān)聯(lián)的幾何圖形、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，我們應(yīng)抓住其典型特征進(jìn)行準(zhǔn)確歸類，能合并的合并，從數(shù)量上對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行總量控制.

3.發(fā)揮主體效應(yīng)，力求學(xué)生適用

圖1

數(shù)學(xué)模型的使用主體是學(xué)生，只有學(xué)生需要的、能夠接受的知識(shí)板塊才能成為數(shù)學(xué)模型融入到學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中.所以，模型教學(xué)的主體也應(yīng)充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.在教學(xué)過程中，我們應(yīng)讓學(xué)生自主經(jīng)歷模型建構(gòu)基礎(chǔ)梳理的過程，讓他們理清數(shù)學(xué)模型的知識(shí)、技能、思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ).我們還應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)模型和建構(gòu)模型的過程，當(dāng)他們數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和數(shù)學(xué)能力的疊加到達(dá)一定高度后，獨(dú)立發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型并順利提取出數(shù)學(xué)模型是完全可能的.最后，我們還應(yīng)讓他們用好自己發(fā)現(xiàn)的模型，只有在反復(fù)應(yīng)用中，數(shù)學(xué)模型才能“生根發(fā)芽”.很明顯，在上面的教學(xué)過程中，學(xué)生的讀題標(biāo)注和思路分析，很好地梳理了與問題解決有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，這些恰好是“一線三直角”模型和“K形圖”模型的生產(chǎn)基礎(chǔ).接下來的解法交流，讓全體學(xué)生都知道問題是如何解決的，將例題所要揭示的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)“大白于全班”.依托學(xué)生建構(gòu)出的三幅圖形所進(jìn)行的模型抽象，教師更是調(diào)取了學(xué)生已有的模型建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn).在建構(gòu)“K形圖”模型過程中，學(xué)生的思維陷入了“困境”，此時(shí)教師適時(shí)提醒學(xué)回憶“8字形”和“A字形”模型的建構(gòu)歷程，意在喚醒，讓學(xué)生將建構(gòu)這些模型的經(jīng)驗(yàn)移植到新的模型中來.這是學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有效遷移，是符合他們的認(rèn)知需求和認(rèn)知規(guī)律的.對(duì)學(xué)生來說，這種情況下得出的數(shù)學(xué)模型也一定是適用的.

三、寫在最后

數(shù)學(xué)模型是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，它既可以幫助學(xué)生獲得新知，也可以幫助學(xué)生解決問題.由于在考試中有著巨大的價(jià)值，所以，不光老師重視數(shù)學(xué)模型的教學(xué)，學(xué)生也非常關(guān)注.這就要求老師要做好模型教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，為學(xué)生發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)模型提供一切便利，而我們應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生參與到數(shù)學(xué)模型的教學(xué)中去，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并用好模型.從教學(xué)時(shí)機(jī)看，模型教學(xué)應(yīng)適時(shí)，能在新授課上進(jìn)行固然可喜，復(fù)習(xí)課上同樣可以實(shí)施，只要能讓模型恰到好處地出現(xiàn)，哪怕是試卷講評(píng)課，甚至是練習(xí)課，都無所謂；從模型數(shù)量看，數(shù)學(xué)模型不是越多越好，只有對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知有利的知識(shí)鏈接才能成為模型，對(duì)那些有明顯干擾的邊緣知識(shí)鏈，我們寧可不建模也不能誤導(dǎo)學(xué)生；從教學(xué)成效看，數(shù)學(xué)模型應(yīng)以學(xué)生適用為前提，畢竟數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用主體是學(xué)生自己，所以，我們應(yīng)多站在學(xué)生的角度思考模型教學(xué)的成效，一切以學(xué)生為中心，努力設(shè)計(jì)出符合學(xué)生發(fā)展要求的模型教學(xué)來.數(shù)學(xué)模型是常態(tài)課堂下的最重要的教學(xué)產(chǎn)品，是教學(xué)“水到渠成”的產(chǎn)物，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)全面提升的最重要的載體.我們應(yīng)高度重視模型教學(xué)，并將其落實(shí)到常態(tài)課堂之上.H