鄧冠男，宋蓮蓮

(東北電力大學(xué)理學(xué)院，吉林吉林132012)

模糊推理是進(jìn)行模糊信息處理和實(shí)現(xiàn)機(jī)器智能的重要工具，也是模糊控制器的核心［1，2］。給定一組模糊規(guī)則:

以及某一事實(shí)x1is，x2is，…，xnis，模糊推理的基本問(wèn)題是根據(jù)給定模糊規(guī)則，按照給定事實(shí)，確定能夠得到怎樣的推理結(jié)果y，這里Aij和(i=1…m，j=1…n)是論域Xj上的模糊集，Bi是論域Y上的模糊集。這樣的模糊推理問(wèn)題以簡(jiǎn)單的FMP(Fuzzy Modus Ponens)模型為基礎(chǔ)，即給定規(guī)則If x is A，then y is B及事實(shí)x is A*，求推理結(jié)果y。

為解決模糊推理問(wèn)題，1973年，Zadeh［3］首先給出模糊推理理論中最基本的規(guī)則即模糊分離規(guī)則，隨后Mamdani等人［4］又將其算法化，形成如今廣泛使用的CRI方法(Compositional Rule of Inference)。CRI方法首先利用蘊(yùn)涵算子將模糊規(guī)則A→B轉(zhuǎn)化成一個(gè)X×Y上的模糊關(guān)系R，然后將A*與R進(jìn)行復(fù)合即得到B*:

其中，R通常稱(chēng)作A→B的真域。CRI方法由于其簡(jiǎn)單易用的特點(diǎn)，自從其產(chǎn)生以來(lái)，逐漸成為廣泛使用的一種模糊推理算法。然而，模糊推理遠(yuǎn)較經(jīng)典邏輯學(xué)中的二值推理復(fù)雜得多，李洪興［5］指出基于CRI方法的模糊系統(tǒng)本質(zhì)上是一種插值器。王國(guó)俊［6］指出CRI方法在求B*時(shí)采用了復(fù)合運(yùn)算，這一步帶有一定的隨意性，偏離了語(yǔ)義蘊(yùn)涵的框架。

為了解決CRI方法的不足，許多學(xué)者提出了多種模糊推理算法，如真值推理法［7］、全蘊(yùn)涵三I算法［6］、基于相似度的模糊推理算法［8，9］、真值流推理法［10］、變權(quán)綜合模糊推理［11］、簡(jiǎn)易插值模糊推理［12］、SIS算法［13］、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊推理［14］、最優(yōu)模糊推理方法［15］等等，更多的可見(jiàn)參見(jiàn)文獻(xiàn)［16］。然而，盡管模糊推理的算法有很多，但是這方面的研究大多停留在理論層面，在實(shí)際中很少有成功的運(yùn)用，并且由于推理結(jié)果缺乏評(píng)價(jià)機(jī)制，因此無(wú)法直接衡量各個(gè)算法的優(yōu)略。

近來(lái)，我們?cè)谖墨I(xiàn)［17］中提出一種新的模糊推理算法，稱(chēng)之為真域貼近模糊推理算法，其基本思想是通過(guò)最大化A→B的真域與A*→B*的真域之間的貼近度來(lái)獲得推理結(jié)果。本文中，我們將進(jìn)一步對(duì)這種算法進(jìn)行研究，探討真域貼近模糊推理算法與CRI方法的聯(lián)系，研究采用最大－最小貼近度及某些常用蘊(yùn)涵算子的真域貼近模糊推理算法，比較真域貼近模糊推理算法與CRI方法及全蘊(yùn)涵三I算法的推理能力。

1 真域貼近模糊推理算法的基本原則

真域貼近模糊推理算法基于模糊推理的一種假設(shè)，即在FMP問(wèn)題中，當(dāng)給定事實(shí)A*與規(guī)則前件A偏離不大時(shí)，推理結(jié)果B*與規(guī)則后件B偏離也不大。因而，為了保持原有推理規(guī)則的正確性，應(yīng)該使A*→B*的真域R*盡可能地接近A→B的真域R。在模糊集理論中，通常采用貼近度來(lái)度量模糊集之間的接近程度，因此若設(shè)δ為一個(gè)貼近度函數(shù)，則真域貼近模糊推理可以描述為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，即

一般來(lái)說(shuō)，(1)式的求解并不容易，然而通過(guò)觀(guān)察R*的構(gòu)造可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于給定的yj∈Y，B*(yj)僅用來(lái)構(gòu)造R*的第j列，也就是說(shuō)B*(yj)僅與R*的第j列有關(guān)系，因此要最大化R與R*的貼近度，不如轉(zhuǎn)化為對(duì)于?yj∈Y，最大化R與R*第j列之間的貼近度，即

由此，給出真域貼近模糊推理算法的基本原則。

真域貼近模糊推理原則(FMP)設(shè)X與Y是非空集合，A，A*∈F(X)，B∈F(Y)，則FMP問(wèn)題的解B*是使對(duì)?yj∈Y(2)式均成立的F(Y)中的模糊集。

注:1)FMT問(wèn)題的真域貼近模糊推理可以轉(zhuǎn)化成FMP問(wèn)題的真域貼近模糊推理，即

其中，Ac，Bc為A與B的補(bǔ)集。

2)滿(mǎn)足(2)式的模糊集有時(shí)并不唯一，選擇哪一個(gè)作為最終的推理結(jié)果建議結(jié)合貼近度函數(shù)及蘊(yùn)涵算子進(jìn)行考慮。

2 真域貼近模糊推理算法與CRI方法

單點(diǎn)模糊化是實(shí)際中最常用的，也是最簡(jiǎn)單的一種模糊化方法。設(shè)論域?yàn)閄，輸入變量為x*，采用單點(diǎn)模糊化方法，則有

下面，考慮采用單點(diǎn)模糊化的真域貼近模糊推理算法及CRI方法。

定理1設(shè)X與Y是非空集合，A∈F(X)，B∈F(Y)，A*為滿(mǎn)足(4)式的模糊集，若蘊(yùn)涵算子I滿(mǎn)足對(duì)?b∈［0，1］，I(0，b)=c(c為常數(shù))且映射f(b)=I(1，b)為關(guān)于b的雙射，則滿(mǎn)足(2)式的模糊集為

證明:?yj∈Y，利用蘊(yùn)涵算子I將A→B(yj)和A*→B*(yj)表示成向量形式，設(shè)分別為

時(shí)，Rj與的貼近程度最大。

推論1設(shè)X與Y是非空集合，A∈F(X)，B∈F(Y)，A*為滿(mǎn)足(4)式的模糊集，若蘊(yùn)涵算子I滿(mǎn)足對(duì)?b∈［0，1］，I(0，b)=c(c為常數(shù))且I(1，b)=b，則滿(mǎn)足(2)式的模糊集為B*(yj)=I(A(x*)，B(yj))，?yj∈Y。

定理2設(shè)X與Y是非空集合，A∈F(X)，B∈F(Y)，A*為滿(mǎn)足(4)式的模糊集，I為蘊(yùn)涵算子，采用CRI方法的FMP問(wèn)題的解為

證明:對(duì)?xi∈X，yj∈Y，R(xi，yj)=I(A(xi)，B(yj))，B*=A*°R，因此，

注意到(4)式，因此有B*(yj)=I(A(x*)，B(yj))。

事實(shí)上，許多常用的蘊(yùn)涵算子，如

Mamdani蘊(yùn)涵:RM(a，b)=a∧b，Zadeh蘊(yùn)涵:RZ(a，b)=(1－a)∨(a∧b)，

Lukasiewicz蘊(yùn)涵:RLK(a，b)=1∧(1－a+b)，Gougen蘊(yùn)涵均滿(mǎn)足推論1所需的條件?b∈［0，1］，I(0，b)=c及I(1，b)=b。對(duì)比推論1與定理2可知，當(dāng)蘊(yùn)涵算子滿(mǎn)足?b∈［0，1］，I(0，b)=c及I(1，b)=b時(shí)，采用單點(diǎn)模糊化的真域貼近模糊推理算法與CRI方法的推理結(jié)果是一致的，這從側(cè)面反映了CRI方法具有某些合理性。

3 采用最大－最小貼近度的真域貼近模糊推理算法

本節(jié)考慮采用最大－最小貼近度(簡(jiǎn)稱(chēng)δ1貼近度)

的真域貼近模糊推理算法。

上文提到，滿(mǎn)足(2)式的模糊集有時(shí)并不唯一，對(duì)于δ1型真域貼近模糊推理算法給出如下的結(jié)果選擇策略:

1)若蘊(yùn)涵算子I滿(mǎn)足I(0，b)=I(a，0)=c(a，b∈［0，1］，c為常數(shù))，那么選擇滿(mǎn)足(2)式的最小模糊集;

2)若蘊(yùn)涵算子I滿(mǎn)足I(0，b)=I(a，1)=c(a，b∈［0，1］，c為常數(shù))，那么選擇滿(mǎn)足(2)式的最大模糊集。

在這一策略下，當(dāng)給定事實(shí)A*偏離規(guī)則前件A太多時(shí)，推理結(jié)果為可分辨的無(wú)意義或者無(wú)信息的結(jié)果，如B*=Y或者B*=?。這樣，在實(shí)際問(wèn)題中將無(wú)意義或無(wú)信息的推理結(jié)果過(guò)濾掉，就可以得到正確的推理結(jié)果。下面給出采用δ1貼近度及RM、RZ、RLK、RGG的真域貼近模糊推理算法及其還原性。

定理3(δ1＆RM型真域貼近模糊推理算法)設(shè)X，Y為非空集合，A，A*∈F(X)，B∈F(Y)，則滿(mǎn)足(2)式的最小模糊集為

其中，E(yj)={0，1}∪{A(xi)∧B(yj)∧A*(xi)|xi∈X}∪{A*(xi)|xi∈X}。

定理4設(shè)X，Y為非空集合，A∈F(X)，B∈F(Y)，則δ1＆RM型真域貼近模糊推理算法滿(mǎn)足還原性當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?yj∈Y，B(yj)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件之一:

1)?xk∈X，使得B(yj)＜A(xk);

2)B(yj)=。

定理5(δ1＆RZ型真域貼近模糊推理算法)設(shè)X，Y為非空集合，A，A*∈F(X)，B∈F(Y)，則滿(mǎn)足(2)式的最大模糊集為

其中，

定理6設(shè)X，Y為非空集合，A∈F(X)，B∈F(Y)，則δ1＆RZ型真域貼近模糊推理算法滿(mǎn)足還原性當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?yj∈Y，B(yj)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件之一:

1)?xk∈X，使得A(xk)＞0.5＆1－A(xk)≤B(yj)＜A(xk);

2)B(yj)=1。

定理7(δ1＆RLK真域貼近模糊推理算法)設(shè)X，Y為非空集合，A，A*∈F(X)，B∈F(Y)，則滿(mǎn)足(2)式的最大模糊集為

其中，

定理8設(shè)X，Y為非空集合，A∈F(X)，B∈F(Y)，則δ1＆RLK真域貼近模糊推理算法滿(mǎn)足還原性當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?yj∈Y，B(yj)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件之一:

1)?xk∈X，使得B(yj)＜A(xk);

2)B(yj)=1。

定理9(δ1＆RGG真域貼近模糊推理算法)設(shè)X，Y為非空集合，A，A*∈F(X)，B∈F(Y)，則滿(mǎn)足(2)式的最大模糊集為

其中，E(yj)={RGG(A(xi)，B(yj))·A*(xi)，A*(xi)xi∈X}∪{1}。

定理10設(shè)X，Y為非空集合，A∈F(X)，B∈F(Y)，則δ1＆IGG真域貼近模糊推理算法滿(mǎn)足還原性當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?yj∈Y，B(yj)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件之一:

1)?xk∈X，使得B(yj)＜A(xk);

2)B(yj)=1。

由定理4、定理6、定理8及定理10可知，若模糊集A為正規(guī)模糊集，即?xk∈X，使得A(xk)=1，則采用RM、RZ、RLK、RGG的δ1型真域貼近模糊推理算法均為還原算法。事實(shí)上，對(duì)于滿(mǎn)足I(1，b)=b，?b∈［0，1］的蘊(yùn)涵算子I，若A為正規(guī)模糊集，則δ1＆I型真域貼近模糊推理算法為還原算法。

定理11設(shè)X，Y為非空集合，A∈F(X)，B∈F(Y)，蘊(yùn)涵算子I滿(mǎn)足I(1，b)=b，?b∈［0，1］，如果A為正規(guī)模糊集，則δ1＆I型真域貼近模糊推理算法滿(mǎn)足還原性。

當(dāng)然，A為正規(guī)模糊集僅是δ1＆I型真域貼近模糊推理算法滿(mǎn)足還原性的一個(gè)充分條件，事實(shí)上可以將這個(gè)條件進(jìn)一步擴(kuò)展。

定理12設(shè)X，Y為非空集合，A∈F(X)，B∈F(Y)，若存在xk∈X，使得g(b)=I(A(xk)，b)為關(guān)于b的單調(diào)函數(shù)，則δ1＆I型真域貼近模糊推理算法滿(mǎn)足還原性。

4 真域貼近模糊推理算法與CRI方法及全蘊(yùn)涵三I算法的比較

CRI方法及全蘊(yùn)涵三I算法(簡(jiǎn)稱(chēng)三I算法)是兩種廣受關(guān)注的模糊推理算法，其中，CRI方法因其簡(jiǎn)單易于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于模糊控制等許多實(shí)際問(wèn)題，而三I算法具有較好的邏輯語(yǔ)義特性，目前是模糊推理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)內(nèi)容。本節(jié)我們將通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比真域貼近模糊推理算法與CRI方法及全蘊(yùn)涵三I算法的推理能力，其中蘊(yùn)涵算子使用上節(jié)提到的RM、RZ、RLK、RGG四種蘊(yùn)涵算子，相應(yīng)的三I算法使用文獻(xiàn)［18］的結(jié)論。

設(shè)A為定義在［0，16］上的模糊集，B為定義在［0，12］上的模糊集，如圖1所示。

推理規(guī)則依然為If x is A，then y is B，設(shè)輸入模糊集A*為如下四種情形:

圖1 模糊集A與B

1)A*=很A=A2;2)A*=略A=;

3)A*=A左傾;4)A*=A右傾很多。

具體如圖2所示。這里，我們沒(méi)有考慮A*=A的情

形，即考慮算法的還原性問(wèn)題，事實(shí)上由于A為正規(guī)模糊集，因此三I算法及真域貼近模糊推理算法均滿(mǎn)足還原性的條件。

圖2 模糊集A*

1)采用Mamdani蘊(yùn)涵，分別計(jì)算使用CRI方法、三I算法以及真域貼近模糊推理算法的推理結(jié)果，如圖3所示，其中OS表示真域貼近模糊推理算法。

圖3 采用Mamdani蘊(yùn)涵的推理結(jié)果

由圖3可以看出，采用Mamdani蘊(yùn)涵時(shí)，若A*為很A或者略A時(shí)，這三種方法得到的推理結(jié)果都不是期望的很B或者略B，由此可見(jiàn)Mamdani蘊(yùn)涵不適用于這種類(lèi)型的模糊推理。當(dāng)A*為A左傾或右傾時(shí)，CRI方法與三I算法的推理結(jié)果是一樣的，真域貼近模糊推理算法的結(jié)果略小于CRI及三I算法的推理結(jié)果。由于算法無(wú)法判斷推理結(jié)果B*應(yīng)當(dāng)左傾或右傾，因此推理結(jié)果沒(méi)有明顯的傾向性這是合理的，實(shí)際問(wèn)題中通過(guò)規(guī)則庫(kù)及合適的去模糊化方法均會(huì)得到合理的推理結(jié)果。

2)采用Zadeh蘊(yùn)涵，分別計(jì)算使用CRI方法、三I算法以及真域貼近模糊推理算法的推理結(jié)果，如圖4所示。

圖4 采用Zadeh蘊(yùn)涵的推理結(jié)果

由圖4可以看出，無(wú)論哪種情形，采用Zadeh蘊(yùn)涵的推理結(jié)果都不是十分理想，當(dāng)A*為很A或者略A時(shí)，真域貼近模糊推理算法得到的結(jié)果能夠盡量維持為B或B附近，而CRI方法及三I算法的推理結(jié)果已經(jīng)偏離B很多。當(dāng)A*為A左傾時(shí)，CRI方法及三I算法的推理結(jié)果接近一條直線(xiàn)，推理結(jié)果已經(jīng)沒(méi)有太多意義。當(dāng)A*為A右傾很多時(shí)，這三種推理方法得到的結(jié)果均為B*=Y，但是需注意真域貼近模糊推理算法得到的結(jié)果與CRI方法及三I算法存在著不同，CRI方法及三I算法得到B*=Y是由于存在點(diǎn)xi∈X，使得A(xi)=0且A*(xi)=1，這也是CRI方法及三I算法的一個(gè)弊端，而真域貼近模糊推理算法得到B*=Y是由于A*偏離A較多的緣故，此時(shí)算法認(rèn)為A*與A貼近程度不高，所得推理結(jié)果B*=Y為便于分辨的無(wú)意義結(jié)果，這種情形在后邊兩個(gè)蘊(yùn)涵算子中也有體現(xiàn)。

3)采用Lukasiewicz蘊(yùn)涵及Gougen蘊(yùn)涵，分別計(jì)算使用CRI方法、三I算法以及真域貼近模糊推理算法的推理結(jié)果，如圖5及圖6所示。

圖5 采用Lukasiewicz蘊(yùn)涵的推理結(jié)果

圖6 采用Gougen蘊(yùn)涵的推理結(jié)果

由圖5及圖6可以看出，采用Lukasiewicz蘊(yùn)涵及Gougen蘊(yùn)涵的真域貼近模糊推理算法推理結(jié)果明顯要好于CRI方法及三I算法，當(dāng)A*為很A時(shí)，推理結(jié)果接近于很B;當(dāng)A*為略A時(shí)，推理結(jié)果接近于略B;當(dāng)A*為A左傾或A右傾很多時(shí)，推理結(jié)果也相對(duì)合理。

從以上的實(shí)驗(yàn)可以看出，與CRI方法及三I算法相比，真域貼近模糊推理算法具有較好的推理能力，如果采用恰當(dāng)?shù)奶N(yùn)涵算子，如Lukasiewicz蘊(yùn)涵或Gougen蘊(yùn)涵時(shí)，可以滿(mǎn)足多種情形的模糊推理問(wèn)題。

5 結(jié)論

本文提出并研究一種新的模糊推理算法，稱(chēng)為真域貼近模糊推理算法，其基本思想是通過(guò)最大化真域的貼近度來(lái)獲取推理結(jié)果?；谶@一思想，給出真域貼近模糊推理的基本原則，并以單點(diǎn)模糊化為例分析了真域貼近模糊推理算法與CRI方法之間的關(guān)系，進(jìn)一步地，給出采用最大－最小貼近度的真域貼近模糊推理算法。最后，本文構(gòu)建實(shí)驗(yàn)比較真域貼近模糊推理算法、三I算法以及CRI算法的推理能力。真域貼近模糊推理算法是一種全新的模糊推理算法，其思想簡(jiǎn)單自然，推理算法具有一定的邏輯基礎(chǔ)，而且通過(guò)實(shí)驗(yàn)比較可以看出真域貼近模糊推理算法具有較好的推理能力。接下來(lái)，我們將分析真域貼近模糊推理算法的函數(shù)逼近性;構(gòu)造模糊系統(tǒng)的響應(yīng)能力;真域貼近模糊控制器的構(gòu)建及應(yīng)用等等。

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