胡晉賓　劉洪璐

1數(shù)學(xué)好課三種味道的提出

教師都要上課，也都希望把課上好.什么叫做數(shù)學(xué)好課？它有標(biāo)準(zhǔn)嗎？

提及標(biāo)準(zhǔn)，人們常會(huì)想起《全國(guó)中學(xué)青年數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)》.在其中，教學(xué)活動(dòng)被劃分為教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過程、教學(xué)資源、教學(xué)效果、專業(yè)素養(yǎng)等6個(gè)條目，并配有具體描述.文[1]列舉了評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)課的相關(guān)性、聯(lián)系性、平衡性等12個(gè)重要方面.然而，最后評(píng)價(jià)時(shí)，還是人們（評(píng)委）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的描述進(jìn)行價(jià)值判斷和量化打分.具體的教學(xué)時(shí)，教師不可能如同西醫(yī)化驗(yàn)一樣參照指標(biāo)對(duì)號(hào)入座.雖然數(shù)學(xué)的內(nèi)容和知識(shí)是相對(duì)確定的、客觀的，但是數(shù)學(xué)教學(xué)卻是帶有很強(qiáng)主觀性的交互活動(dòng).因此，上述標(biāo)準(zhǔn)與其說是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，不如說是一個(gè)參照.

如果說上述標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)微觀分析式的量化考察的話，那么我們不妨換個(gè)思路來進(jìn)行宏觀概略式的質(zhì)性審視.

人們常說，讀經(jīng)味如稻粱，讀史味如肴饌，讀諸子百家味如醯醢（音希海，即醋和肉醬）.也就是說，讀書有三種味道：讀四書五經(jīng)之類味如吃米面，是食之本；讀史記味如喝美酒吃佳肴；讀諸子百家之類的書，味如醬醋（好比烹調(diào)中的佐料一樣）.類似的，我們認(rèn)為，上出好課如同燒制一道好菜，數(shù)學(xué)好課是同行品評(píng)之際的一種良好感覺，是師生教學(xué)活動(dòng)飄散開來的一種美妙味道.數(shù)學(xué)好課應(yīng)該至少體現(xiàn)數(shù)學(xué)味、教學(xué)味或者文化味中的一種味道.

2數(shù)學(xué)好課三種味道的涵義

2.1數(shù)學(xué)好課的數(shù)學(xué)味

所謂數(shù)學(xué)味，就是數(shù)學(xué)好課應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象化、形式化、模式化和公理化等特點(diǎn)，反對(duì)“去數(shù)學(xué)化”.許多學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的“數(shù)學(xué)味”都很重視.1952年，陳建功提出支配數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)、材料和方法的有實(shí)用、心理和論理三大原則，并指出要將它們統(tǒng)一起來[2].也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該注意數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值、契合數(shù)學(xué)的教學(xué)心理，以及強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的邏輯推理.張奠宙等認(rèn)為一般教學(xué)原則不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)際，于是提出學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化、適度形式化、問題驅(qū)動(dòng)、滲透數(shù)學(xué)思想等4條數(shù)學(xué)教學(xué)原則[3].我們不難看出，陳建功所提的論理原則和張奠宙的4條原則，都是對(duì)“數(shù)學(xué)味”的一種強(qiáng)調(diào).在數(shù)學(xué)課上，尤其是高年級(jí)的數(shù)學(xué)課上，數(shù)學(xué)味是數(shù)學(xué)課的關(guān)鍵.提倡教學(xué)要注意數(shù)學(xué)味，除了要力避差錯(cuò)、硬傷以外，還要注意以下幾點(diǎn).

第一，反對(duì)“去數(shù)學(xué)化”，要注意揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，防范非本質(zhì)屬性泛化.比如，一個(gè)關(guān)于集合學(xué)習(xí)的案例，就是“去數(shù)學(xué)化”的典型.在其中，教師教學(xué)時(shí)分別叫男生、女生、白人、黑人起立，指出這些人都可以構(gòu)成集合；然而學(xué)生并沒有真正理解集合的本質(zhì)（是一類具有確定性、互異性和無序性的元素的聚合），卻誤以為只有能站立的元素才能構(gòu)成集合.又如，在利用分豆子進(jìn)行除法教學(xué)時(shí)，不能老是讓學(xué)生停留在分豆子階段，以為除法就是分東西，而應(yīng)該適時(shí)抽去“腳手架”，讓學(xué)生在頭腦中進(jìn)行抽象思考.

第二，反對(duì)“去數(shù)學(xué)化”，就要防范數(shù)學(xué)異化.比如，時(shí)下新課改中一些教師為了體現(xiàn)三維目標(biāo)尤其是情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)，在教學(xué)中增加趣味性、情境性過多的內(nèi)容，有些花里胡哨的做法沖淡了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)的本質(zhì).又如，在利用信息技術(shù)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師沒有進(jìn)行很好的調(diào)控，從而學(xué)生將注意力偏移到技術(shù)的熱鬧、動(dòng)畫的形象之中，沒有聚焦到數(shù)學(xué)思考和數(shù)學(xué)理解之中.再如，把數(shù)學(xué)教學(xué)窄化為習(xí)題講解和機(jī)械訓(xùn)練，讓學(xué)生掙扎在無邊的題海之中，以致使學(xué)生形成錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)觀念，以為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是沒完沒了的解題.與之相反的是，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該時(shí)刻關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，圍繞“數(shù)學(xué)味”做文章.例如，我們?cè)诮柚霸鯓訜_水最省煤氣”開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，考慮到不可能在諸如收集和處理數(shù)據(jù)等枝節(jié)問題上花費(fèi)更多時(shí)間，而要在函數(shù)建模這一主旨下，把精力對(duì)準(zhǔn)問題的提出、模型的篩選、結(jié)論的反思、過程的體悟和數(shù)學(xué)課堂文化的構(gòu)建上，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象到數(shù)學(xué)問題的數(shù)學(xué)化過程，體會(huì)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性.經(jīng)過這樣教學(xué)設(shè)計(jì)的再創(chuàng)造，效果較好[4].

第三，反對(duì)“去數(shù)學(xué)化”，要注意適度“數(shù)學(xué)化”.“數(shù)學(xué)化”是學(xué)生的“數(shù)學(xué)化”，而不是數(shù)學(xué)家的“數(shù)學(xué)化”.課改中我們不能以數(shù)學(xué)家的高標(biāo)準(zhǔn)來要求普通學(xué)生，從而避免重蹈新數(shù)運(yùn)動(dòng)的覆轍.世紀(jì)之交發(fā)生在美國(guó)的“數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng)”[5]和中國(guó)的數(shù)學(xué)課程改革爭(zhēng)議，從某種意義上來說也是不同群體之間的“數(shù)學(xué)教育戰(zhàn)爭(zhēng)”.當(dāng)下，人們非常擔(dān)心以大眾數(shù)學(xué)為口號(hào)的改革會(huì)喪失中國(guó)的好不容易形成的雙基教學(xué)優(yōu)勢(shì)，擔(dān)心對(duì)傳統(tǒng)的歐氏幾何內(nèi)容的削減和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的淡化會(huì)降低學(xué)生的修養(yǎng).實(shí)際上，數(shù)學(xué)化要適度，要循序漸進(jìn)和與時(shí)俱進(jìn)——如若學(xué)完實(shí)數(shù)就向?qū)崝?shù)理論進(jìn)軍，學(xué)生肯定吃不消；但若在信息時(shí)代還將對(duì)數(shù)運(yùn)算當(dāng)做重點(diǎn)，無疑有些保守.可能將數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)化，定位于“數(shù)學(xué)教育意義下的數(shù)學(xué)化”更好一些.而且，我們也不可能真正還原到數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展時(shí)的數(shù)學(xué)化，只是一種加工過后的數(shù)學(xué)教育意義上的數(shù)學(xué)化.不僅如此，一千個(gè)人有一千個(gè)哈姆雷特，不同的人就有不同的數(shù)學(xué)化.

第四，不應(yīng)該簡(jiǎn)單地把“去數(shù)學(xué)化”和設(shè)置現(xiàn)實(shí)情境、自主探究、分組活動(dòng)和使用多媒體劃上等號(hào).教學(xué)手段與方法要立足實(shí)事求是，要追求合乎自然，不要華而失實(shí)，不要喧賓奪主.

2.2數(shù)學(xué)好課的教學(xué)味

所謂數(shù)學(xué)好課應(yīng)該有教學(xué)味，就是數(shù)學(xué)好課應(yīng)該體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用，倡導(dǎo)基于教學(xué)實(shí)際進(jìn)行教學(xué)法加工，實(shí)現(xiàn)從學(xué)術(shù)形態(tài)到教學(xué)形態(tài)的轉(zhuǎn)化，展現(xiàn)出數(shù)學(xué)的從“冰冷的美麗”到“動(dòng)人的鮮活”的生動(dòng)過程.教師在教學(xué)時(shí)既要有所預(yù)設(shè)，也要基于課堂實(shí)際情境努力實(shí)現(xiàn)建構(gòu)創(chuàng)生.陳建功提出的心理原則，實(shí)際上也就是強(qiáng)調(diào)教學(xué)要切合學(xué)生的心理實(shí)際，要體現(xiàn)教學(xué)味.提倡數(shù)學(xué)課有教學(xué)味，要注意以下幾點(diǎn).

第一，反對(duì)不顧教學(xué)實(shí)際照本宣科，反對(duì)把教科書當(dāng)做圣典頂禮膜拜.古德萊德認(rèn)為課程有5種形態(tài)，即理想的課程、正式的課程、領(lǐng)悟或理解的課程、運(yùn)作的課程、經(jīng)驗(yàn)的課程.那么，教師主要的任務(wù)是從理想的課程到經(jīng)驗(yàn)的課程之間架起橋梁.“教材不是供傳授的經(jīng)典，不是供掌握的目的，不是供記憶的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)，而是供教學(xué)使用的材料.面對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)，教師和學(xué)生不是‘材料員而是‘建筑師，他們是材料的主人，更是新材料和新教學(xué)智慧創(chuàng)生的主體”.[6]這就要求教師既要備課，也要備人；既要預(yù)設(shè)，更要生成.教師要對(duì)教材有整體的把握和駕馭，既要對(duì)教材進(jìn)行深入細(xì)致的解構(gòu)，也要針對(duì)教學(xué)實(shí)際進(jìn)行整合重組.（相關(guān)案例參見文[7]）

第二，反對(duì)教學(xué)墨守陳規(guī)，或者簡(jiǎn)單照搬、拷貝他人教案，提倡根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行改造和再創(chuàng)造，鼓勵(lì)反思超越和大膽原創(chuàng).比如，我們?cè)趯?duì)分類計(jì)數(shù)與分步計(jì)數(shù)原理的公開課教學(xué)時(shí)，考慮到教學(xué)班級(jí)是文科重點(diǎn)班，學(xué)生熱愛寫作，思維活躍，數(shù)學(xué)基本功比較扎實(shí)，也有小組合作學(xué)習(xí)的經(jīng)歷，因此我們嘗試著借鑒文學(xué)創(chuàng)作的一些手法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).經(jīng)過這樣處理后，更好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的智力參與，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生親近感，從而產(chǎn)生良好的情感體驗(yàn)，起到意想不到的效果[8].

第三，反對(duì)教師不顧課堂變化而過度忠實(shí)，不敢創(chuàng)生.教師要有所預(yù)設(shè)，更應(yīng)注意生成.課堂教學(xué)是瞬息萬(wàn)變的，計(jì)劃趕不上變化，過度忠實(shí)于教材或者教案只會(huì)凝固思維的交鋒，窒息創(chuàng)造的生成.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，這種思維活動(dòng)的實(shí)現(xiàn)是通過學(xué)習(xí)共同體中的師生、生生對(duì)話得以實(shí)現(xiàn)的.我們?cè)谶M(jìn)行高三基本不等式一輪復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，一方面，很多同學(xué)在回答的時(shí)候不很完善，教師通過對(duì)話和追問使得粗糙的解答完善起來；另一方面，上課前教師已經(jīng)在其他班級(jí)進(jìn)行了2次預(yù)講，對(duì)所授內(nèi)容和學(xué)生的各種可能反應(yīng)有所準(zhǔn)備，形成了大致的教學(xué)預(yù)設(shè)，但是實(shí)際生成時(shí)還是有很大的差異，教師及時(shí)捕捉了課堂上的變化，并積極促成了交互生成，從而取得了較好效果[9].

2.3數(shù)學(xué)好課的文化（人文）味

所謂數(shù)學(xué)好課應(yīng)該有文化（人文）味，就是教師要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)蘊(yùn)含的理性精神和文化價(jià)值，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)是基于證明與反駁的一種社會(huì)建構(gòu)和文化再生.按照鄭毓信的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)應(yīng)被看成一個(gè)由理論、方法、問題和符號(hào)語(yǔ)言等多種成分所組成的復(fù)合體，它是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)是形式與非形式、科學(xué)性和藝術(shù)性、知識(shí)成分與關(guān)聯(lián)成分的辯證統(tǒng)一，等等，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的文化系統(tǒng)[10].數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)除了數(shù)學(xué)知識(shí)的獲取、數(shù)學(xué)能力的提高以外，還有數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成、數(shù)學(xué)文化的熏陶，它們共同構(gòu)成了學(xué)習(xí)主體的數(shù)學(xué)發(fā)展.提倡數(shù)學(xué)課有文化味，要注意以下幾點(diǎn).

第一，在教學(xué)過程中，應(yīng)該體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文性.要揭示出數(shù)學(xué)家在發(fā)明和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)的痛苦、迷茫、超越等喜怒哀樂的人文性，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)不是絕對(duì)客觀的，數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展不是一蹴而就的，而是由歷代數(shù)學(xué)家不斷累積且永遠(yuǎn)處于動(dòng)態(tài)發(fā)展中的，反對(duì)“目中無人”，從而展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)作為一種社會(huì)建構(gòu)的人文側(cè)面.比如，數(shù)系的不斷擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的艱難引入就具有相當(dāng)?shù)娜宋慕逃齼r(jià)值.再如，在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)時(shí)，我們可以這樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究[11]：人們通常會(huì)通過辨識(shí)“標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表”來檢測(cè)視力，既然叫做“對(duì)數(shù)視力表”，難道和對(duì)數(shù)有關(guān)系？如果和對(duì)數(shù)有關(guān)系，那么它的背后又有多少“數(shù)學(xué)內(nèi)核”？仔細(xì)觀察視力表就會(huì)發(fā)現(xiàn)，上面有14行每行不等個(gè)數(shù)的“E”形圖標(biāo)等距離自上而下排列，旁邊標(biāo)有兩列數(shù)據(jù)，其中五分記錄分別為規(guī)則的等差數(shù)列40，41，…，52，53，對(duì)應(yīng)的小數(shù)記錄卻為不規(guī)則的數(shù)列01，012，015，02，025，03，04，05，06，08，10，12，15，20.為什么會(huì)有這樣的設(shè)計(jì)？我國(guó)專門頒布了視力表的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，它的意義究竟何在？……實(shí)際上，研讀視力表的發(fā)展歷史可知，從“標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表”的發(fā)明，到國(guó)際上許多國(guó)家紛紛仿制對(duì)數(shù)視力表，再到1989年國(guó)家頒布相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，直至今天它在日常體檢、視力防治等方面發(fā)揮著的廣泛作用，其間經(jīng)歷了無數(shù)風(fēng)霜雪雨.當(dāng)年納皮爾等先賢為了簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù)，現(xiàn)如今人們把它運(yùn)用到了視力檢測(cè)和視力表研制上來.很難想象，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系的慧眼和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的匠心，“標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表”就不會(huì)被中國(guó)溫州醫(yī)學(xué)院繆天榮教授發(fā)明并走這么遠(yuǎn).

第二，在教學(xué)過程中，應(yīng)該倡導(dǎo)一種積極的、平等的、建構(gòu)的、對(duì)話的數(shù)學(xué)課堂文化.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)共同體的建構(gòu)、反思、證明、批判的互動(dòng)過程，是經(jīng)驗(yàn)和擬經(jīng)驗(yàn)的統(tǒng)一.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是一個(gè)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的累積過程，而且也是一個(gè)文化觀念的繼承過程.數(shù)學(xué)教學(xué)只有以人為本，師生才能在教學(xué)之中體驗(yàn)到思維的樂趣和創(chuàng)新的幸福.

第三，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，從數(shù)學(xué)文化的視角來進(jìn)行立意.要在教學(xué)中讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)本來就是人類的一種文化現(xiàn)象，沒有人就沒有數(shù)學(xué).作為一種文化來體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價(jià)值，一方面數(shù)學(xué)可以運(yùn)用于實(shí)際并解決實(shí)際問題，另一方面數(shù)學(xué)具有內(nèi)在思維價(jià)值.數(shù)學(xué)是一種文化，體現(xiàn)在模式、思想和理性精神等方面；西方現(xiàn)代文明從某種意義上來說，是一種源自古希臘的科學(xué)理性文明.正因?yàn)閿?shù)學(xué)是一種文化，而文化的主體和境域是多元的，所以數(shù)學(xué)文化是多元的，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該體現(xiàn)對(duì)不同的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)文化的尊重和理解.比如，具有以歐幾里得《原本》為代表的公理化演繹體系特色的西方數(shù)學(xué)，和具有以《九章算術(shù)》為代表的機(jī)械化算法體系特色的東方數(shù)學(xué)，以及不同族裔的民俗數(shù)學(xué)，和不同個(gè)體的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，都應(yīng)該平等對(duì)待，同等珍視.

3數(shù)學(xué)好課三種味道的關(guān)系

數(shù)學(xué)好課是一種追求，實(shí)際教學(xué)中也不可能堂堂精彩、句句華章.對(duì)于具體的一節(jié)數(shù)學(xué)好課來說，數(shù)學(xué)好課三種味道要是能夠體現(xiàn)至少一種就算不錯(cuò).數(shù)學(xué)味、教學(xué)味、文化味（人文味）之間的關(guān)系，可以用如下的示意圖來表示.

首先，數(shù)學(xué)好課必須具有數(shù)學(xué)味道，具有明顯差錯(cuò)、硬傷，沒有數(shù)學(xué)味道的課，肯定不是數(shù)學(xué)好課.數(shù)學(xué)好課的“數(shù)學(xué)味”，實(shí)際上反映了教師的數(shù)學(xué)觀，體現(xiàn)了教師的數(shù)學(xué)修養(yǎng)（功底）.這是基本要求，對(duì)應(yīng)于文[12]中的經(jīng)驗(yàn)水平，指向教學(xué)的“是什么”樣態(tài)，是必須的、基本的.

其次，數(shù)學(xué)好課的“教學(xué)味”是指教師應(yīng)該根據(jù)不同的教學(xué)情境、對(duì)象、內(nèi)容和時(shí)空進(jìn)行教學(xué)法加工，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的協(xié)商生成.這實(shí)際上反映了教師的教學(xué)觀，體現(xiàn)了教師的教學(xué)修養(yǎng)（功底）.這個(gè)味道對(duì)應(yīng)于文[12]中的科學(xué)技術(shù)與藝術(shù)水平，達(dá)到教學(xué)的“為什么”樣態(tài).

再次，數(shù)學(xué)好課的“文化味”（人文味）是指教師應(yīng)該揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的人文特質(zhì)，構(gòu)建體現(xiàn)猜想與證明、批判與反思的課堂文化，并從數(shù)學(xué)文化的高度來進(jìn)行教學(xué)立意.這實(shí)際上反映了教師的文化觀，體現(xiàn)了教師的文化修養(yǎng)（功底）.這個(gè)味道對(duì)應(yīng)于文[12]中的文化水平，是一種側(cè)重關(guān)注師生主體體驗(yàn)的樣態(tài).

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)需要在數(shù)學(xué)味、教學(xué)味和文化味（人文味）之間尋求一種動(dòng)態(tài)平衡.數(shù)學(xué)好課宛如具有數(shù)學(xué)修養(yǎng)、教學(xué)修養(yǎng)、文化修養(yǎng)的數(shù)學(xué)教師烹制出來的一道好菜，應(yīng)該至少蘊(yùn)含數(shù)學(xué)味、教學(xué)味或文化味（人文味）中的一種味道.

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作者介紹胡晉賓，男，1975年生，博士生，副編審，主要從事數(shù)學(xué)教育研究等.劉洪璐，女，1979年生，碩士，中教高級(jí)，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)及研究.