祝要輝

數(shù)學的邏輯嚴謹性主要體現(xiàn)在數(shù)學概念的系統(tǒng)性上，后繼概念大多是在前概念基礎上的邏輯建構(gòu).因此，數(shù)學課堂教學中教師要把教材提供的知識內(nèi)容進行有效激活，并結(jié)合學生的數(shù)學思維發(fā)展水平，立足于學生的最近發(fā)展區(qū)，立足于構(gòu)建“前后一致邏輯連貫性”的學習過程，創(chuàng)設出恰當?shù)臄?shù)學課堂探究情境和數(shù)學思維探究過程，使數(shù)學課堂探究活動適合學生的認知發(fā)展規(guī)律.下面結(jié)合筆者的教學實踐，談談教材在編排“兩角差的余弦公式”時的課前鋪墊與課后拓展，不妥之處懇請指正.

1鋪墊

教學片斷1（文[1]第104頁）：我們證明運算律（3）a+b·c=a·c+b·c.

圖1證明如圖1，任取一點O，作OA=a，AB=b，OC=c，因為a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，所以|c|·|a+b|cosθ=|c|·|a|cosθ1+|c|·|b|cosθ2，所以c·a+b=c·a+c·b，所以a+b·c=a·c+b·c.

鋪墊1在兩角差的余弦公式的探究過程中，構(gòu)造圖形2有一定難度，從表面看與數(shù)量積似乎沒有多大聯(lián)系，其實不然，對比圖2與圖1可以發(fā)現(xiàn)，圖形2構(gòu)造過程中線段OM就是線段OA與AP分別在OM上的投影之和，它的主要依據(jù)就是向量數(shù)量積的幾何意義，從中可以看出這與向量數(shù)量積分配律的證明思路是一致的；進一步研究發(fā)現(xiàn)，兩角差的余弦公式的推導利用了向量數(shù)量積的定義及其它的坐標表示，其中向量數(shù)量積的坐標表示“a·b=x1x2+y1y2”起到了關(guān)鍵作用.也就是說兩角差的余弦公式的證明過程或直接或間接地應用了向量數(shù)量積，二者應用的數(shù)學思想方法也是完全吻合的.

圖2圖3教學片斷2：（文[1]第108頁，習題2.4B組）如圖3，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），試用A、B兩點的坐標表示∠AOB的余弦值.（借助向量OA=（cosα，sinα），OB=（cosβ，sinβ）的數(shù)量積就能解決問題.）

鋪墊2知識之間原本就是互相聯(lián)系的整體.對于單一問題來說學生容易掌握，但不容易發(fā)現(xiàn)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此學習一段時間后有必要引導學生回歸教材、從整體角度來審視這些問題，并將它們串起來、形成問題鏈，進而達到融會貫通的效果.在教學片斷2的情境下推證兩角差的余弦公式就能順利地將新舊知識有效連結(jié)起來、找到問題間的內(nèi)在聯(lián)系，使向量數(shù)量積的定義及其坐標表示的引入不那么突然.

2拓展

教學片斷3（文[1]第121頁，復習參考題B組）點P0（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式如何推導？設P（x，y）是直線Ax+By+C=0上任一點，記點P0到直線l的距離為d，l的法向量n=（A，B），P0P與n的夾角為θ，則P0P=（x-x0，y-y0），于是A（x-x0）+B（y-y0）=|n|·|P0P|cosθ，即-Ax0+By0+C=|n|·|P0P|cosθ，又d=||P0P|cosθ|，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

拓展3這樣，點到直線的距離公式也可以用向量的數(shù)量積推導出來.那么asinx+bcosx=a2+b2cos（x-φ）能否利用點到直線的距離公式導出呢？設asinθ+bcosθ=c，令X=sinθ，Y=cosθ，則單位圓的圓心O到直線aX+bY=c的距離d=|c|a2+b2，又因為d=|cos（θ-φ）|（其中tanφ=ba），所以|c|a2+b2=|cos（θ-φ）|，即asinx+bcosx=a2+b2cos（x-φ）.既然兩角差的余弦公式以向量數(shù)量積為主要推證方法，就可以用向量數(shù)量積的坐標表示來解決（文[1]第144頁）：6.（1）略.（2）你能用a，b表示函數(shù)y=asinx+bcosx的最大值與最小值嗎？設OA=（b，a），OB=（cosx，sinx），則OA·OB=asinx+bcosx=a2+b2cos（x-φ）.

從中可以看出，設計課堂教學時首先要考慮的就是學生的經(jīng)驗和已有的知識，即學生知道了什么，怎么知道的，以什么方式知道的，這其實包含了認知的廣度、認知的方式和認知的結(jié)構(gòu)三方面的含義，在學生已有的知識范圍內(nèi)選擇合適的教學情境作為切入點，用合適的方式激活學生的認知，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的有效對接，為學生的思維發(fā)展提供平臺.其次要考慮的是教材的結(jié)構(gòu)特征與編寫者的意圖，現(xiàn)行高中數(shù)學教材“模塊整合，螺旋上升”導致同一知識模塊分布在不同的章節(jié)中，創(chuàng)設教學情境時要理清各個模塊之間的邏輯關(guān)系，用思想方法來統(tǒng)領(lǐng)模塊知識；作為教師也只有領(lǐng)會到教材的結(jié)構(gòu)特征與教材編寫者的意圖才能從宏觀上把握教材、理清知識脈絡，設計出合乎情理的教學情境.

參考文獻

[1]劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修4[M].北京：人民教育出版社，2007.