楊 謙魏 兵*李林茜葛德彪

①(西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院 西安 710071)

②(西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心 西安 710071)

DGTD用于RCS計(jì)算的初步研究

楊 謙①②魏 兵*①②李林茜①②葛德彪①②

①(西安電子科技大學(xué)物理與光電工程學(xué)院 西安 710071)

②(西安電子科技大學(xué)信息感知技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心 西安 710071)

時(shí)域離散伽遼金法(Discontinuous Galerkin Time Domain, DGTD)同時(shí)具有時(shí)域有限元算法(Finite Element Time Domain, FETD)非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格剖分和時(shí)域有限差分算法(Finite Difference Time Domain, FDTD)顯式迭代的優(yōu)點(diǎn)，是一種非常有前途的電磁計(jì)算方法，該文首先描述了基于矢量基函數(shù)的時(shí)域離散伽遼金法的基本原理。然后，給出了DGTD處理散射問題時(shí)平面波入射加入的具體實(shí)現(xiàn)方法。最后，給出了金屬球、介質(zhì)球和金屬彈頭寬帶散射的算例，算例結(jié)果的比較表明了該文算法的正確性和有效性。該文的研究，為復(fù)雜目標(biāo)雷達(dá)散射截面RCS的準(zhǔn)確預(yù)估打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

時(shí)域離散伽遼金方法；時(shí)域有限差分；有限元；雷達(dá)散射截面

1 引言

在目標(biāo)特性的精確預(yù)估中，矩量法(Method of Moment, MoM)、有限元法(Finite Element Method, FEM)和時(shí)域有限差分方法(Finite Difference Time Domain, FDTD)均是應(yīng)用廣泛的計(jì)算方法。MoM主要長(zhǎng)于金屬目標(biāo)散射問題的處理，F(xiàn)EM和FDTD方法則更適宜于復(fù)雜媒質(zhì)的計(jì)算。MoM和FEM需要求解大型線性方程組，應(yīng)用于電大尺寸目標(biāo)時(shí)求解效率低。FDTD采用顯式迭代的方式，易于并行計(jì)算，并且計(jì)算復(fù)雜度低，但其在對(duì)目標(biāo)擬合上存在臺(tái)階誤差，即使采取亞網(wǎng)格或共形網(wǎng)格也很難精確擬合。近年來，離散伽遼金法(Discontinuous Galerkin method)算法受到了人們的重視[1]。該算法在流體力學(xué)及有限體積法

(Finite volume method)中早有應(yīng)用[2]，近年來被引入有限元計(jì)算當(dāng)中來形成了時(shí)域離散伽遼金算法(Discontinuous Galerkin Time Domain, DGTD)[3,4]。DGTD結(jié)合了FDTD顯式迭代和FEM網(wǎng)格精確擬合目標(biāo)幾何性形狀的特點(diǎn)，是一種有廣闊應(yīng)用前景的計(jì)算方法。近十余年，國際上的同行對(duì)該方法已經(jīng)進(jìn)行了多方面的研究，但在國內(nèi)將基于矢量基函數(shù)的DGTD方法用于目標(biāo)散射特性的分析還未見相關(guān)報(bào)道。本文首先簡(jiǎn)要介紹了基于棱邊矢量基函數(shù)的3維DGTD方法的基本思想。然后，給出了在該方法實(shí)現(xiàn)中的平面波引入及總場(chǎng)邊界條件。最后，給出目標(biāo)單站散射特性的算例表明本文算法的正確性。

2 基于棱邊基函數(shù)的3 維DGTD

DGTD可以看作由時(shí)域有限元方法(Finite Element Time Domain, FETD)改變邊界條件的處理方式得到。FETD是從支配方程和邊界條件出發(fā)將計(jì)算區(qū)域劃分為多個(gè)單元后導(dǎo)出矩陣方程并求解的方法，J. M. Jin, J. F. Lee等人在FETD方面做了很多工作[5–7]。一般來說，F(xiàn)ETD方程推導(dǎo)有兩種途徑，即變分法與Galerkin法。變分法尋找一個(gè)適當(dāng)泛函對(duì)應(yīng)于支配方程和邊界條件，Galerkin法通過加權(quán)余量來尋找支配方程和邊界條件的相應(yīng)弱解形式。兩種方法都會(huì)得到一個(gè)大型矩陣方程。在FETD中的若干基本概念如基函數(shù)、單元積分、局域、全域、Galerkin加權(quán)等均可在DGTD中繼承使用，而兩種有限元算法的局域邊界處理方式有差異。

下面從Maxwell方程組出發(fā)描述DGTD的基本思想，Maxwell旋度方程為：

式中ε為介電系數(shù)，μ為磁導(dǎo)系數(shù)；σ為電導(dǎo)率，σm為導(dǎo)磁率；E和H分別為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量與磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量；J與Jm分別為電磁流。

本文中采用四面體作為DGTD算法的基本離散單元(如圖1所示)，采用Galerkin加權(quán)法[6]，對(duì)式(1)在四面體單元內(nèi)積分，可得

圖1 四面體單元示意圖Fig. 1 Schematic diagram of tetrahedron

式中v為積分權(quán)函數(shù)。對(duì)式(2)中包含及的體積分項(xiàng)做代數(shù)變換

在流體力學(xué)中為求解雙曲方程，邊界條件采用Numerical Flux[2]，后又被引入了時(shí)域有限體積法(FVTD)[8]，又被引入DGTD作核心思想[4]。在邊界上定義E*與H*為：

式(4)中E*,H*稱為Numerical Flux，在兩個(gè)相鄰的四面體單元面兩側(cè)不相等但依賴于兩個(gè)相接面的切向場(chǎng)；為外法向單位矢量，E,H為待計(jì)算單元場(chǎng)值，E+,H+為與待計(jì)算單元的相鄰單元場(chǎng)值。

由于E*,H*僅定義在邊界上，可得

表1 Numerical Flux系數(shù)表達(dá)式Tab. 1 Coefficient of Numerical Flux

經(jīng)整理后得矩陣形式的偏微分方程組，此方程組針對(duì)單個(gè)四面體，實(shí)際計(jì)算中在計(jì)算域內(nèi)循環(huán)所有四面體迭代求解。

3 DGTD中的平面波引入及總場(chǎng)邊界條件

用DGTD計(jì)算散射問題時(shí)可將計(jì)算區(qū)域劃分為總場(chǎng)區(qū)和散射場(chǎng)區(qū)，如圖2所示。采用等效原理，類似FDTD中的總場(chǎng)邊界條件，在總場(chǎng)邊界上設(shè)置入射波的切向分量即可將入射波引入到總場(chǎng)區(qū)[10]。

圖2 總場(chǎng)區(qū)與散射場(chǎng)區(qū)的劃分Fig. 2 The total field region and the scattered field region

為便于說明總場(chǎng)邊界條件的加入，圖3中以三角形代替四面體，規(guī)定散射場(chǎng)區(qū)單元的場(chǎng)均屬于散射場(chǎng)，總場(chǎng)區(qū)單元的場(chǎng)均屬于總場(chǎng)。在總場(chǎng)區(qū)內(nèi)部及散射場(chǎng)區(qū)內(nèi)部，DGTD計(jì)算方式如前文所述，需要特殊處理的是邊界處相鄰的單元計(jì)算式，具體來講是在Numerical Flux表達(dá)式中增加入射波的計(jì)算部分。

圖3 DGTD總場(chǎng)散射場(chǎng)邊界Fig. 3 TF/SF boundary for DGTD

(1) 當(dāng)四面體處于總場(chǎng)邊界的總場(chǎng)區(qū)一側(cè)時(shí)，應(yīng)在Numerical Flux上加上入射波值，此時(shí)屬于總場(chǎng)，屬于散射場(chǎng)，Ei, Hi為入射波。

(2) 當(dāng)四面體處于總場(chǎng)邊界的散射場(chǎng)區(qū)一側(cè)時(shí)，應(yīng)在Numerical Flux上減去入射波值，此時(shí)屬于散射場(chǎng)，屬于總場(chǎng)，Ei, Hi為入射波。

采取上面的方法即可將平面波引入總場(chǎng)區(qū)域。

4 算例

為說明本文算法的正確性，用DGTD方法計(jì)算半徑為1 m的金屬球的后向RCS并與解析解結(jié)果相對(duì)比。計(jì)算區(qū)域被離散成為319308個(gè)四面體(計(jì)算域剖分截面圖如圖4所示)，空間離散尺度為0.15 m，采用1階Mur吸收邊界。圖5是金屬球后向單站RCS的計(jì)算結(jié)果(圓圈)，作為比較，圖中還給出了Mie級(jí)數(shù)計(jì)算結(jié)果(實(shí)線)，由圖可見兩者的結(jié)果吻合較好。本算例DGTD消耗內(nèi)存約280 MB，計(jì)算耗時(shí)約20 min，計(jì)算平臺(tái)為Intel Core i5 3470；采用FETD計(jì)算所需內(nèi)存消耗為2 G，計(jì)算時(shí)間在6 h以上。顯然，本文方法有更高的計(jì)算效率。

設(shè)介質(zhì)球參數(shù)為ε=4ε0,μ=μ0,σ=0.00015 S/m，其余參數(shù)同上。圖6是本文方法(圓圈)與

Mie級(jí)數(shù)計(jì)算結(jié)果(實(shí)線)的比較，由圖可見，兩者相吻合。

圖4 計(jì)算域剖分截面圖Fig. 4 Sectional view of the computational domain

圖5 金屬球單站RCSFig. 5 The monostatic RCS of PEC sphere

圖6 介質(zhì)球單站RCSFig. 6 The monostatic RCS of medium sphere

為說明本文算法對(duì)于計(jì)算較為復(fù)雜目標(biāo)的適用性，下面計(jì)算金屬彈頭的后向RCS。彈頭模型如圖7所示(底面半徑為1 m，高為2 m)。電磁波沿z軸負(fù)方向，電場(chǎng)沿x方向極化入射。圖8為彈頭的后向RCS，實(shí)線為DGTD算法的結(jié)果，斜十字為MoM算法掃頻結(jié)果。由圖可見，兩種算法的結(jié)果符合較好。

圖7 彈頭模型Fig. 7 Model of PEC bullet

圖8 金屬彈頭單站RCSFig. 8 The monostatic RCS of PEC bullet

5 結(jié)論

在散射問題的DGTD的分析中吸收邊界條件、時(shí)間離散方式、近遠(yuǎn)場(chǎng)外推和四面體相鄰單元的快速判斷等方面都需要精細(xì)考慮，限于篇幅，本文沒有討論這些內(nèi)容。目前，由于吸收邊界采用1階Mur吸收邊界，本文算例中DGTD的計(jì)算精度有待提高。采用UPML吸收邊界、高階基函數(shù)及精度更高的時(shí)間離散方案將是我們下一步的工作?？梢灶A(yù)期，作為一種新興算法，DGTD將在目標(biāo)特性的精確預(yù)估，特別是含復(fù)雜媒質(zhì)的低RCS目標(biāo)特性的精確預(yù)估方面扮演重要角色。

[1]Ji X, Lu T, Cai W,et al.. Discontinuous Galerkin Time Domain (DGTD) methods for the study of 2-D waveguidecoupled microring resonators[J].Journal of Lightwave Technology, 2005, 23(11): 3864–3874.

[2]Shu C W. A brief survey on discontinuous Galerkin methods in computational fluid dynamics[J].Advances in Mechanics, 2013, 43(6): 541–553.

[3]Gedney S D, Kramer T, Luo C,et al.. The Discontinuous Galerkin Finite Element Time Domain method (DGFETD)[C]. IEEE International Symposium on Electromagnetic Compatibility, 2008: 1–4.

[4]Alvarez J. A Discontinuous Galerkin Finite Element Method for the Time-Domain Solution of Maxwell Equations[D]. [Ph.D. dissertation], University of Granada (Spain), 2013: 31–39.

[5]Lee Jin-Fa, Lee Robert, and Cangellaris Andreas. Timedomain finite-element methods[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1997, 45(3): 430–442.

[6]Jin Jian-ming. The Finite Element Method in Electromagnetic[M]. New York: John Wiley & Sons, 2002: 22–23.

[7]Riley D J, Jin Jian-ming, Lou Z,et al.. Total-and scatteredfield decomposition technique for the finite-element timedomain method[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2006, 54(1): 35–41.

[8]Shankar V, Mohammadian A H, and Hall W F. A timedomain, finite-volume treatment for the Maxwell equations[J].Electromagnetics, 1990, 10(1/2): 127–145.

[9]Bossavit A. Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism[J].IEE Proceedings A(Physical Science,Measurement and Instrumentation,Management and Education,Reviews), 1988, 135(8): 493–500.

[10]葛德彪, 魏兵. 電磁波時(shí)域計(jì)算方法(下冊(cè))[M]. 西安電子科技大學(xué)出版社, 2014: 188–191. Ge D B and Wei B. Time Domain Computational Method for Electromagnetic Wave (Volume II)[M]. Xi’an: Xidian University Press, 2014: 188–191.

楊 謙(1989–)，男，博士研究生，主要研究方向?yàn)橛?jì)算電磁學(xué)。

E-mail: zijiangy@126.com

魏 兵(1970–)，男，教授，博士，主要研究方向?yàn)殡姶爬碚?、?fù)雜系統(tǒng)中的場(chǎng)與波和計(jì)算電磁學(xué)等。

E-mail: bwei@xidian.edu.cn

李林茜(1985–)，男，博士研究生，主要研究方向?yàn)橛?jì)算電磁學(xué)。

E-mail: 395106835@qq.com

Preliminary Research on RCS Using DGTD

Yang Qian①②Wei Bing①②Li Lin-qian①②Ge De-biao①②

①(School of Physics and Optoelectronic Engineering,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

②(Collaborative Innovation Center of Information Sensing and Understanding,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

Discontinuous Galerkin Time Domain (DGTD) method appears to be very promising which combines the advantages of unstructured mesh in Finite Element Time Domain (FETD) and explicit scheme in Finite Difference Time Domain (FDTD). This paper first describes principle of DGTD base on vector basis function. Secondly, Specific method for incident plane wave is given for scattering problem. At last, the monostatic Radar Cross Section (RCS) of PEC sphere, medium sphere and the PEC bullet are computed by DGTD method. The numerical results illustrate the feasibility and correctness of the presented scheme. The study of this paper is a foundation for analyzing the RCS of complex target.

Discontinuous Galerkin Time Domain (DGTD); Finite Difference Time Domain (FDTD); Finite Element Method (FEM); Radar Cross Section (RCS)

O441.4

A

2095-283X(2015)03-0361-06

10.12000/JR15052

楊謙, 魏兵, 李林茜, 等. DGTD用于RCS計(jì)算的初步研究[J]. 雷達(dá)學(xué)報(bào), 2015, 4(3): 361–366.

10.12000/JR15052.

Reference format:Yang Qian, Wei Bing, Li Lin-qian,et al.. Preliminary research on RCS using DGTD[J].Journal of Radars, 2015, 4(3): 361–366. DOI: 10.12000/JR15052.

2015-05-05收到，2015-06-16改回

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61231003, 61401344)資助課題

*通信作者： 魏兵 bwei@xidian.edu.cn