王靖岳， 王浩天， 郭立新

（1.沈陽(yáng)理工大學(xué) 汽車與交通學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110159；2.沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136；3.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110819）

由于汽車懸架系統(tǒng)廣泛采用空氣彈簧、電流變阻尼、干摩擦阻尼和磁流變阻尼等元器件，所以系統(tǒng)具有明顯的非線性，可能導(dǎo)致懸架系統(tǒng)發(fā)生混沌振動(dòng)，這已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的熱點(diǎn)問(wèn)題［1－5］。文獻(xiàn)［6］對(duì)非線性汽車懸架系統(tǒng)進(jìn)行了近似線性處理，指出了發(fā)生Hopf分岔時(shí)線性系統(tǒng)失穩(wěn)，研究了周期擾動(dòng)下系統(tǒng)的擬周期、分諧波和混沌運(yùn)動(dòng)；文獻(xiàn)［7］采用非線性曲線擬合方法代替氣體狀態(tài)方程，得到了工作條件下空氣彈簧剛度的工作曲線方程；文獻(xiàn)［8］考慮了汽車運(yùn)行中重力項(xiàng)的影響，采用Melnikov函數(shù)研究了1／4汽車系統(tǒng)的全局同宿軌道分岔以及通往混沌的道路；文獻(xiàn)［9］在研究客車空氣懸架過(guò)程中提出了采用擬合的辦法確定空氣彈簧的變剛度；文獻(xiàn)［10］采用干摩擦理想模型模擬非線性彈簧力和阻尼力，并研究了汽車系統(tǒng)中出現(xiàn)的混沌運(yùn)動(dòng)；文獻(xiàn)［11］利用氣體狀態(tài)方程研究了空氣懸架的振動(dòng)模型和剛度特性；文獻(xiàn)［12］利用空氣彈簧有限元模型擬合出其受力曲線，分析了單頻正弦激勵(lì)下汽車空氣彈簧懸架的四自由度半車模型的非線性行為。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，考慮阻尼減振器的阻尼非線性和空氣彈簧的非線性，建立1／4汽車空氣懸架系統(tǒng)的單自由度非線性動(dòng)力系統(tǒng)模型。以某客車為例，揭示路面不平度激勵(lì)幅值、激勵(lì)頻率、減振器阻尼系數(shù)和非線性阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)中分岔和混沌運(yùn)動(dòng)的影響。

1 系統(tǒng)的模型和運(yùn)動(dòng)微分方程

當(dāng)僅考慮汽車懸架系統(tǒng)的平順性時(shí)，可將汽車簡(jiǎn)化成單自由度1／4汽車懸架模型，如圖1所示。該系統(tǒng)由簧載質(zhì)量、空氣彈簧和阻尼減振器組成。其中，m為車身質(zhì)量。

圖1 單自由度1／4汽車模型

在空氣懸架系統(tǒng)的下方施加一個(gè)隨機(jī)路面激勵(lì)作為輸入［13］，即

其中，a為路面不平度激勵(lì)幅值；σ為激勵(lì)頻率白噪聲強(qiáng)度；ξ（t）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲；ω為激勵(lì)頻率；x（t）為車身質(zhì)量上的位移輸出。則有：

其中，F(xiàn)c為阻尼力，且，c為阻尼系數(shù)，c1為非線性阻尼系數(shù)；Fk為空氣彈簧對(duì)車身質(zhì)量m的作用力，且有［14－16］：

其中，n為氣體多變指數(shù)；α為空氣彈簧體積變化率；p0為大氣壓力；pe為空氣彈簧壓力；δ為空氣彈簧的變形位移；Ve為空氣彈簧的體積；Ae為空氣彈簧有效面積。δ＝x0－x，可得˙δ＝˙x0－˙x，¨δ＝¨x0－¨x，代入（1）式，并令n＝1，整理后得到非線性空氣懸架系統(tǒng)振動(dòng)的微分方程為：

其中，彈性力為：

當(dāng)δ＝0時(shí)，f（0）＝peAe－p0Ae－mg，由于在平衡狀態(tài)時(shí)滿足peAe－p0Ae＝mg，即f（0）＝0。而，則f′（0）＞0。

利用泰勒公式將（2）式簡(jiǎn)化，彈性力項(xiàng)f（δ）在δ＝0處進(jìn)行泰勒展開(kāi)，舍去高階無(wú)窮小項(xiàng)o（δ3），整理后得：

其中

平衡狀態(tài)時(shí)有peAe－p0Ae＝mg，所以k0－p0Ae－mg＝0，則（3）式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

令z1＝δ，z2＝˙δ，則（4）式的狀態(tài)方程為：

2 分岔與混沌分析

2.1 激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

選 取 某 客 車 系 統(tǒng) 參 數(shù) 如 下［14，17］：m＝5 456kg，pe＝5×105Pa，Ae＝0.033 5m2，α＝1.8，Ve＝0.008 62m3，c＝7 400N／（m·s－1），c1＝650N／（m·s－3），ω＝12.56rad／s。初始條件為：z1（0）＝0，z2（0）＝0。用 4－5 階 Runge－Kutta法對(duì)（2）式進(jìn)行數(shù)值積分，得到系統(tǒng)在路面不平度激勵(lì)幅值a∈（0，0.10）時(shí)的分岔圖，如圖2所示。當(dāng)a∈（0，0.036）時(shí)，系統(tǒng)作周期1運(yùn)動(dòng)；取a＝0.02m時(shí)，如圖3所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為1個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝ － 0.675 272、λ2＝ － 0.683 154。 當(dāng)a＝0.028 5m時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象，振幅和速度發(fā)生巨大的變化，汽車的平順性和舒適性變差。隨著路面不平度激勵(lì)幅值a的增大，當(dāng)a＝0.036 4m時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，開(kāi)始作周期2運(yùn)動(dòng)；取a＝0.04m時(shí)，如圖4所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.674 621、λ2＝－0.685 011。當(dāng)a＝0.043 7m時(shí)，系統(tǒng)又作周期1運(yùn)動(dòng)；取a＝0.06m時(shí)，可得系統(tǒng)的相圖、Poincaré映射圖、時(shí)間歷程曲線和功率譜圖，如圖5所示，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.677 860、λ2＝－0.684 910。當(dāng)a＝0.069 3m時(shí)，系統(tǒng)再次發(fā)生跳躍現(xiàn)象。當(dāng)a＝0.078 9m時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔，從周期1運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為周期2運(yùn)動(dòng)；取a＝0.083m時(shí)，如圖6所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.566 086、λ2＝－0.576 651。當(dāng)a＝0.084 4m時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔由周期2運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為周期4運(yùn)動(dòng)。隨著路面不平度激勵(lì)幅值a的增大，當(dāng)a＝0.085 6m時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)倍化分岔由周期4運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)；取a＝0.086m時(shí)，如圖7所示，相圖曲線是不封閉的，Poincaré映射為自相似的點(diǎn)集，時(shí)間歷程曲線無(wú)規(guī)律，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝0.565 287、λ2＝－0.577 094。當(dāng)a＝0.086 8m時(shí)，系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)退化為周期3運(yùn)動(dòng)；取a＝0.09m時(shí)，如圖8所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為3個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.666 329、λ2＝－0.695 184。當(dāng)a＝0.091 2m時(shí)，系統(tǒng)由周期3運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。取a＝0.098m時(shí)，如圖9所示，相圖曲線是不封閉的，Poincaré映射為自相似的點(diǎn)集，時(shí)間歷程曲線無(wú)規(guī)律，功率譜圖為離散譜，λ1＝0.599 936、λ2＝－1.962 349。

以上分析表明，汽車在平坦的路面行駛不會(huì)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，當(dāng)遇到凸凹不平的路面時(shí)會(huì)發(fā)生混沌運(yùn)動(dòng)，這與文獻(xiàn)［12］分析結(jié)果一致。

圖2 路面不平度激勵(lì)幅值a∈（0，0.10）時(shí)系統(tǒng)分岔圖

圖3 a＝0.02m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖4 a＝0.04m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖5 a＝0.06m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖6 a＝0.083m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖7 a＝0.086m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.2 激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

圖8 a＝0.09m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖9 a＝0.098m時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

其他參數(shù)不變，路面不平度激勵(lì)幅值a取0.02m，以激勵(lì)頻率f為分岔參數(shù)，可得系統(tǒng)在f∈（0，5）時(shí)的分岔圖，如圖10所示。取f＝4.0Hz時(shí)，如圖11所示，相圖為封閉曲線、Poincaré映射圖為1個(gè)點(diǎn)、時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.679 888、λ2＝－0.687 029；可見(jiàn)，系統(tǒng)作周期1運(yùn)動(dòng)；從圖10可以看出，隨著激勵(lì)頻率f的減小，當(dāng)f＝3.24Hz時(shí)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)分岔作周期2運(yùn)動(dòng)；當(dāng)f＝3.0Hz時(shí)，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.674 696、λ2＝－0.684 574。當(dāng)f＝2.48時(shí)，系統(tǒng)又從周期2運(yùn)動(dòng)到周期1運(yùn)動(dòng)。取f＝1.0Hz時(shí)，系統(tǒng)相圖、Poincaré映射圖、時(shí)間歷程曲線和功率譜圖，如圖12所示；經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝ －0.673 944、λ2＝ －0.684 167。在（1.50，2.48）上，系統(tǒng)發(fā)生了跳躍現(xiàn)象，振幅突然變化。由于存在跳躍和分岔現(xiàn)象，因而參數(shù)的變化將引起系統(tǒng)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，有必要對(duì)其他參數(shù)進(jìn)行分析［12］。

圖10 以激勵(lì)頻率f為分岔參數(shù)的分岔圖

圖11 當(dāng)f＝4.0Hz時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖12 f＝1.0Hz時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.3 阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，取a＝0.04m，以阻尼系數(shù)c為分岔參數(shù)得到系統(tǒng)分岔圖，如圖13所示。當(dāng)c∈（0，300）時(shí)，系統(tǒng)作混沌運(yùn)動(dòng)；取c＝100N／（m·s－1）時(shí)，如圖14所示，系統(tǒng)的相圖為不封閉曲線，Poincaré映射圖為自相似的點(diǎn)集，時(shí)間歷程曲線無(wú)規(guī)律，功率譜圖為連續(xù)譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝0.604 113、λ2＝－0.627 275。

當(dāng)c∈（300，10 000）時(shí)，系統(tǒng)作周期2運(yùn)動(dòng)；取c＝6 000N／（m·s－1）時(shí)，如圖15所示，系統(tǒng)的相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov 指 數(shù)λ1＝ － 0.551 344、λ2＝－0.552 031?？梢?jiàn)在小阻尼范圍內(nèi)，汽車容易出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，這與文獻(xiàn)［12］分析結(jié)果一致。

圖13 阻尼系數(shù)c為分岔參數(shù)的分岔圖

圖14 c＝100N／（m·s－1）時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

圖15 c＝6 000N／（m·s－1）時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

2.4 非線性阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔和混沌的影響

其他參數(shù)不變，取a＝0.04m，f＝2.0Hz，以阻尼系數(shù)c1為分岔參數(shù)得到系統(tǒng)的分岔圖，如圖16所示。取c1＝500N／（m·s－3）時(shí)，如圖17所示，系統(tǒng)的相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖為2個(gè)點(diǎn)，時(shí)間歷程曲線規(guī)則有序，功率譜圖為離散譜，經(jīng)計(jì)算Lyapunov指數(shù)λ1＝－0.673 366、λ2＝－0.685 181，系統(tǒng)作周期2運(yùn)動(dòng)?？梢?jiàn)在此汽車參數(shù)下，非線性阻尼對(duì)汽車的分岔和混沌運(yùn)動(dòng)影響較小。

圖16 以阻尼系數(shù)c1為分岔參數(shù)分岔圖

圖17 c1＝500N／（m·s－3）時(shí)系統(tǒng)各參數(shù)曲線和圖譜

3 結(jié)束語(yǔ)

基于阻尼減振器的阻尼非線性和空氣彈簧的非線性建立起來(lái)的1／4汽車空氣懸架系統(tǒng)在隨機(jī)路面激勵(lì)作用下確實(shí)存在混沌和分岔現(xiàn)象。路面不平度激勵(lì)幅值越大，汽車發(fā)生混沌的可能性越大；激勵(lì)頻率在某個(gè)特定區(qū)間容易發(fā)生跳躍現(xiàn)象和分岔；減振器阻尼系數(shù)越小，系統(tǒng)越容易發(fā)生混沌；非線性阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)影響較小。通過(guò)合理選擇汽車結(jié)構(gòu)參數(shù)，避開(kāi)汽車發(fā)生分岔和混沌的區(qū)域，可以提高汽車的平順性和舒適性。本文可為汽車懸架參數(shù)的匹配設(shè)計(jì)提供參考。

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