韓 江， 張魁榜， 楊清艷， 夏 鏈

（合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

齒輪是機(jī)械產(chǎn)品的重要基礎(chǔ)件，應(yīng)用非常廣泛，磨齒是實(shí)現(xiàn)齒輪精加工的有效方法，而在磨齒加工中蝸桿砂輪磨齒是一種高精度、高效率的磨削方法，可以減小齒形誤差、實(shí)現(xiàn)齒廓修形、提高齒輪承載能力、降低傳動(dòng)噪音，是小模數(shù)、大批量齒輪精加工的最佳選擇［1］。但機(jī)床影響各項(xiàng)精度的因素比較復(fù)雜，它的精度指標(biāo)是影響工件加工精度的重要因素。提高機(jī)床精度和減小加工誤差的主要途徑是提高機(jī)床的機(jī)械性能、實(shí)時(shí)對(duì)機(jī)床空間誤差進(jìn)行補(bǔ)償［2－5］。

本文利用多體系統(tǒng)理論并考慮數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，建立了機(jī)床空間幾何誤差模型并進(jìn)行誤差補(bǔ)償解耦，解出的各軸運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償量可以為蝸桿砂輪磨齒機(jī)的實(shí)時(shí)誤差補(bǔ)償提供理論基礎(chǔ)。

1 數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)加工原理

數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)數(shù)控系統(tǒng)柔性電子齒輪箱［6－7］采用主從式電子齒輪箱結(jié)構(gòu)，并在自主開(kāi)發(fā)的系列齒輪數(shù)控系統(tǒng)中得以實(shí)現(xiàn)，其原理圖如圖1所示。通過(guò)編碼器將主軸電機(jī)運(yùn)動(dòng)信息反饋到微處理器DSP，根據(jù)齒輪加工聯(lián)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，電子齒輪箱插補(bǔ)模塊實(shí)時(shí)計(jì)算其他各運(yùn)動(dòng)伺服軸位置和速度參數(shù)，完成齒輪加工所需的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)各種不同類型的齒輪加工。

圖1 電子齒輪箱原理示意圖

齒輪加工機(jī)床如圖2所示，運(yùn)動(dòng)軸有：砂輪的轉(zhuǎn)動(dòng)B軸（切削運(yùn)動(dòng)）、齒坯的轉(zhuǎn)動(dòng)C軸（分齒運(yùn)動(dòng)）、砂輪沿工件軸向的走刀運(yùn)動(dòng)Z軸、砂輪沿工件徑向的走刀運(yùn)動(dòng)X軸、切向走刀運(yùn)動(dòng)Y軸和砂輪角度調(diào)整軸A軸。

圖2 蝸桿砂輪磨齒機(jī)床結(jié)構(gòu)

蝸桿砂輪磨齒加工時(shí)各軸聯(lián)動(dòng)關(guān)系為：

其中，nB、nC分別為砂輪轉(zhuǎn)速和工件轉(zhuǎn)速，單位為r／min；vY、vZ分別為Y軸、Z軸的移動(dòng)速度，單位為 mm／min；k為砂輪頭數(shù)；z0為工件齒數(shù)；β、λ分別為斜齒輪螺旋角和刀具的安裝角；mn為齒輪的法面模數(shù)；kZ、kY為系數(shù)常量。當(dāng)采用往復(fù)多次磨削加工工藝時(shí)，Y軸沒(méi)有進(jìn)給運(yùn)動(dòng)；在深切緩進(jìn)磨削加工時(shí)需要進(jìn)行Y軸方向竄刀運(yùn)動(dòng)。采用“差動(dòng)法”加工斜齒輪或深切緩進(jìn)加工方法磨齒時(shí)，機(jī)床工件主軸與機(jī)床砂輪主軸之間不僅要實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的展成分齒運(yùn)動(dòng)，還要完成與Z軸、Y軸或Z軸和Y軸進(jìn)給有關(guān)的附加合成運(yùn)動(dòng)。

2 蝸桿砂輪磨齒機(jī)空間誤差模型分析

由于制造、安裝等方面存在的誤差，一構(gòu)件相對(duì)另一構(gòu)件運(yùn)動(dòng)后會(huì)偏離理想位置，產(chǎn)生誤差。磨齒加工時(shí)，每一刀刃在回轉(zhuǎn)中的切削是從切入齒坯到切出齒坯，刀刃上任一點(diǎn)的回轉(zhuǎn)平面與齒面呈λ角，砂輪刀刃磨削過(guò)程中齒坯始終在連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，磨齒過(guò)程是一個(gè)刀刃周而復(fù)始的切削運(yùn)動(dòng)，形成接近漸開(kāi)線的折線段。加工過(guò)程中的誤差都是通過(guò)刀具的切削刃廓形及刀具與工件之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)傳遞到工件上，因此可以建立數(shù)學(xué)模型真實(shí)地反映磨齒過(guò)程，得出磨齒機(jī)空間誤差。

根據(jù)機(jī)床運(yùn)動(dòng)副誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)原理［8－9］和多體系統(tǒng)理論［10－12］，建立蝸桿砂輪磨齒機(jī)各運(yùn)動(dòng)副間的變換矩陣。蝸桿砂輪磨齒機(jī)在加工過(guò)程中起主要作用的有3個(gè)移動(dòng)軸X、Y、Z和3個(gè)旋轉(zhuǎn)軸A、B、C，建立蝸桿砂輪磨齒機(jī)床的坐標(biāo)系，如圖3所示?；鴺?biāo)系S1（O1X1Y1Z1）固連于床身，坐標(biāo)系S2（O2X2Y2Z2）固聯(lián)于砂輪進(jìn)刀架X軸，S3（O3X3Y3Z3）固 聯(lián) 于 砂 輪 架 進(jìn) 刀Z軸，S4（O4X4Y4Z4）固 聯(lián) 于 砂 輪 架 進(jìn) 刀Y軸，S5（O5X5Y5Z5）固 聯(lián) 于 砂 輪 架 旋 轉(zhuǎn)A軸，S6（O6－X6Y6Z6）固 聯(lián) 于 砂 輪 旋 轉(zhuǎn)B軸，St（Ot－XtYtZt）是砂輪邊緣點(diǎn)坐標(biāo)系，S7（O7X7Y7Z7）固聯(lián)于工件旋轉(zhuǎn)C軸，Sp（OpXpYpZp）是工件邊緣點(diǎn)坐標(biāo)系。

圖3 蝸桿砂輪磨齒機(jī)床的坐標(biāo)系

2.1 理想狀態(tài)下各運(yùn)動(dòng)副的坐標(biāo)齊次變換矩陣

（1）移動(dòng)副坐標(biāo)齊次變換矩陣。當(dāng)機(jī)床的砂輪架進(jìn)刀X軸、砂輪架走刀軸Z軸移動(dòng)無(wú)誤差時(shí)，相鄰體之間的齊次變換矩陣為：

（2）轉(zhuǎn)動(dòng)副坐標(biāo)齊次變換矩陣。當(dāng)A、B、C軸無(wú)旋轉(zhuǎn)誤差時(shí)，其相鄰體之間變換矩陣為：

其中，φ為A軸繞其X5軸的轉(zhuǎn)角；α為B軸繞其Z6軸的轉(zhuǎn)角；β為C軸繞其Y7軸的轉(zhuǎn)角；D為砂輪外徑為砂輪邊緣上點(diǎn)坐標(biāo)系t相對(duì)于砂輪旋轉(zhuǎn)B軸的齊次坐標(biāo)變換。

在理想（無(wú)誤差）情況下，砂輪邊緣上點(diǎn)坐標(biāo)系t和工件坐標(biāo)系p在空間重合，因此砂輪邊緣上點(diǎn)坐標(biāo)系t相對(duì)于機(jī)床底座基坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換，等于坐標(biāo)系p相對(duì)于機(jī)床底座基坐標(biāo)系的齊次坐標(biāo)變換，即

根據(jù)多體系統(tǒng)理論并結(jié)合圖2磨齒機(jī)的結(jié)構(gòu)，可以分別得到：

可以得出工件C軸坐標(biāo)系S7相對(duì)于工件坐標(biāo)系p的齊次變換矩陣為：

顯然，在無(wú)誤差情況下，砂輪邊緣上點(diǎn)坐標(biāo)系t相對(duì)于工件坐標(biāo)系p的齊次變換矩陣為：

其中，I為單位矩陣。

2.2 考慮誤差時(shí)各運(yùn)動(dòng)副坐標(biāo)齊次變換矩陣

在機(jī)床的加工過(guò)程中，如果各種誤差為0，則砂輪邊緣上點(diǎn)的空間坐標(biāo)系t與工件的空間坐標(biāo)系p是重合的；但實(shí)際中，由于各種誤差的存在，砂輪邊緣上點(diǎn)的空間坐標(biāo)與工件的空間坐標(biāo)將發(fā)生分離，此時(shí)砂輪邊緣上點(diǎn)與工件之間的坐標(biāo)變換矩陣即所求的誤差模型矩陣。

根據(jù)機(jī)床多體系統(tǒng)理論，對(duì)于數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)加工過(guò)程中的3個(gè)移動(dòng)軸X、Y、Z和3個(gè)旋轉(zhuǎn)軸A、B、C，總共包括39項(xiàng)空間誤差。

在有誤差的情況下，t與p在空間上產(chǎn)生了分離，t相對(duì)p的齊次變換矩陣即為誤差矩陣，也就是所求的誤差模型為：

把（12）式代入（13）式中，得到所要求的誤差模型，基于小誤差假設(shè)綜合誤差矩陣為：

其中，ΔξX、ΔξY、ΔξZ為平移誤差；ΔφX、ΔφY、ΔφZ(yǔ)為轉(zhuǎn)角誤差。將（12）式展開(kāi)并舍去二次及二次以上的分量，再結(jié)合（14）式得到該磨齒機(jī)的3個(gè)位置及3個(gè)轉(zhuǎn)角的綜合誤差模型。以上所有的誤差都將轉(zhuǎn)化到砂輪刀具上來(lái)，在加工過(guò)程中最終將砂輪的位置偏差轉(zhuǎn)化到工件上來(lái)。

3 基于電子齒輪箱的幾何誤差補(bǔ)償解耦

為了對(duì)綜合誤差進(jìn)行補(bǔ)償，文獻(xiàn)［13］提出了根據(jù)綜合誤差進(jìn)行解耦獲得各運(yùn)動(dòng)副的位置或方向誤差補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)量，必須通過(guò)各運(yùn)動(dòng)副關(guān)節(jié)的微分運(yùn)動(dòng)來(lái)加以補(bǔ)償（補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)中不考慮誤差運(yùn)動(dòng)）。補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)為誤差運(yùn)動(dòng)的逆運(yùn)動(dòng)，其目標(biāo)為實(shí)施補(bǔ)償后使分離的刀尖坐標(biāo)系t和工件坐標(biāo)系p在空間重合，即＝I，其中為砂輪邊緣上點(diǎn)坐標(biāo)系t相對(duì)于工件坐標(biāo)系p的補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)變換矩陣，左上標(biāo)c表示補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)。

以上的理論對(duì)一般的各個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)軸是適合的，但對(duì)于蝸桿砂輪磨齒機(jī)這樣的各個(gè)軸運(yùn)動(dòng)有比例關(guān)系的，誤差解耦應(yīng)該再考慮各軸的聯(lián)動(dòng)關(guān)系，進(jìn)一步解耦，使加工誤差最小。

3.1 各軸的誤差補(bǔ)償量初步解耦計(jì)算

在進(jìn)行加工過(guò)程中，砂輪主軸B是電子齒輪箱插補(bǔ)主動(dòng)軸，其他軸跟隨B軸按照一定的聯(lián)動(dòng)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，因此對(duì)于蝸桿砂輪磨齒機(jī)在加工過(guò)程中能夠進(jìn)行補(bǔ)償?shù)挠蠿、Y、Z、A、C軸?；谛≌`差補(bǔ)償假設(shè)，根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的微分變換原理可得刀尖坐標(biāo)系t相對(duì)于工件坐標(biāo)系p的變換微分為：

其中，Δx、Δy、Δz、ΔA、ΔC分別為X、Y、Z、A、C軸運(yùn)動(dòng)副及轉(zhuǎn)動(dòng)副的補(bǔ)償微分運(yùn)動(dòng)量，且有：

根據(jù)相關(guān)的變換矩陣、逆變換矩陣，可以得出d關(guān)于 Δx、Δy、Δz、ΔA、ΔC的矩陣表達(dá)式即（17）式，其計(jì)算過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)［10］。

其中，h1、h2、h3計(jì)算公式如下：

基于小誤差補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)，砂輪邊緣上點(diǎn)坐標(biāo)系t相對(duì)于工件坐標(biāo)系p的齊次坐標(biāo)變換矩陣即誤差補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)矩陣，可用齊次變換矩陣描述，即

其中，ΔθX、ΔθY、ΔθZ為方向補(bǔ)償量；ΔεX、ΔεY、ΔεZ為位置補(bǔ)償量。且有：

可以由（17）式和（19）式解出關(guān)于 Δx、Δy、Δz、Δβ、Δα、Δφ的表達(dá)式。

其中，h4＝－zcosα－xcosα－0.5Dcosα－0.5D；h5＝－zsinα－xsinα－0.5Dsinφ－

ΔξX、ΔξY、ΔξZ，ΔφX、ΔφZ(yǔ)可由誤差矩陣的齊次坐標(biāo)表示，也是機(jī)床X、Y、Z、A、C軸運(yùn)動(dòng)誤差補(bǔ)償量，但該方程沒(méi)有解。對(duì)于蝸桿砂輪磨齒機(jī)，必須考慮其電子齒輪箱耦合運(yùn)動(dòng)的特殊性。

3.2 基于電子齒輪箱的各軸誤差補(bǔ)償解耦計(jì)算

蝸桿砂輪磨齒機(jī)在采用深切緩進(jìn)磨削時(shí)，各軸運(yùn)動(dòng)關(guān)系如（1）式，在聯(lián)動(dòng)展成運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，主軸B是基準(zhǔn)軸，僅進(jìn)行速度控制，不進(jìn)行位置控制，無(wú)法進(jìn)行誤差補(bǔ)償，因此可以進(jìn)行補(bǔ)償?shù)妮S有Z軸、Y軸、A軸和C軸。

在電子齒輪箱插補(bǔ)進(jìn)行之前調(diào)整好A軸，它不參加聯(lián)動(dòng)展成關(guān)系，因此在調(diào)整過(guò)程中對(duì)其誤差進(jìn)行補(bǔ)償即可。在聯(lián)動(dòng)插補(bǔ)過(guò)程中，只需對(duì)Z軸、Y軸和C軸進(jìn)行補(bǔ)償。

對(duì)（1）式進(jìn)行微分變形得：

其中，B軸補(bǔ)償量為0，整理得：

聯(lián)立（20）式和（22）式，求出X、Y、Z、A、C各軸的誤差補(bǔ)償值，即得出關(guān)于蝸桿砂輪磨齒機(jī)的幾何誤差解耦補(bǔ)償量，其解如下：

4 誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)研究

自主開(kāi)發(fā)的HFUT－GSK系列蝸桿砂輪磨齒加工數(shù)控系統(tǒng)平臺(tái)如圖4所示。

在此平臺(tái)上進(jìn)行誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)研究，電機(jī)采用Panasonic MINAS A5系列，具體型號(hào)為MADHT1505。數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)周期為1ms，直線軸分辨率為10－4mm，旋轉(zhuǎn)軸分辨率為0.000 1°。

工件與刀具具體參數(shù)見(jiàn)表1所列，工件是標(biāo)準(zhǔn)的漸開(kāi)線圓柱齒輪，刀具是標(biāo)準(zhǔn)的蝸桿砂輪，采用多次磨削法進(jìn)行加工，不需要Y軸參與聯(lián)動(dòng)。

表1 工件與刀具參數(shù)

對(duì)電機(jī)施加穩(wěn)定載荷，以達(dá)到與機(jī)床實(shí)際加工運(yùn)行相接近的狀況，通過(guò)測(cè)試代碼，獲取數(shù)控系統(tǒng)編程位置，與電機(jī)實(shí)際編碼器反饋器相比較，從而獲得位置誤差，測(cè)試部分代碼如下：

G81開(kāi)啟電子齒輪箱后，Y、Z、B、C軸通過(guò)電子展成形成齒輪加工，測(cè)試X、Z軸進(jìn)給，每次進(jìn)給10mm，共進(jìn)給100mm，數(shù)控系統(tǒng)每隔30ms從編碼器讀取反饋位置，自動(dòng)計(jì)算編程位置與實(shí)際電機(jī)位置差值，獲取實(shí)時(shí)誤差信息。獲取位置誤差后，在自主研發(fā)的數(shù)控系統(tǒng)內(nèi)核中開(kāi)發(fā)誤差補(bǔ)償功能模塊，進(jìn)行齒輪加工誤差補(bǔ)償，誤差補(bǔ)償效果如圖5所示。

由圖5a可知，X軸補(bǔ)償前最大誤差為0.012mm，補(bǔ)償后為0.001 2mm；Z軸補(bǔ)償前最大誤差為0.008mm，補(bǔ)償后為0.001mm。

根據(jù)聯(lián)動(dòng)關(guān)系，C軸跟隨Y、Z、B軸運(yùn)動(dòng)，因此存在較大波動(dòng)，從圖5b中可以看出，補(bǔ)償前C軸平均誤差約為0.03mm，補(bǔ)償后平均誤差約為0.004mm。

因此根據(jù)誤差解耦補(bǔ)償公式，可以獲得很好的誤差補(bǔ)償效果。

5 結(jié)束語(yǔ)

為了提高蝸桿砂輪加工齒面精度，本文先對(duì)蝸桿砂輪磨齒加工原理進(jìn)行了詳細(xì)的分析，利用齊次坐標(biāo)變換理論建立了符合實(shí)際加工的蝸桿砂輪磨齒機(jī)幾何誤差數(shù)學(xué)模型。結(jié)合蝸桿砂輪磨齒機(jī)運(yùn)動(dòng)聯(lián)動(dòng)關(guān)系，在一般解耦方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)行基于電子齒輪箱的各軸聯(lián)動(dòng)誤差耦合的解耦算法研究；在自主開(kāi)發(fā)的數(shù)控系統(tǒng)平臺(tái)上進(jìn)行誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)，獲得了良好的補(bǔ)償效果，驗(yàn)證了蝸桿砂輪磨齒加工幾何誤差補(bǔ)償解耦算法的正確性。

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